Wrocªaw, 3 pa¹dziernika 2016 LISTA 2: FUNKCJE ZDANIOWE
A. p(n) ="n jest podzielne przez 17;
B. q(n) ="n jest parzyste;
C. r(n) ="n jest liczb¡ pierwsz¡";
D. s(n) ="n jest z przedziaªu [7, 28];
1. Które spo±ród liczb 1, 2, . . . , 50 speªniaj¡ poni»sze wªasno±ci (a) p(n);
(b) s(n);
(c) p(n) ∧ q(n);
(d) p(n) ∧ r(n);
(e) r(n) ∧ ¬s(n);
(f) (¬p(n)) =⇒ s(n);
(g) q(n) ⇐⇒ r(n);
(h) (p(n) ∨ q(n)) ∧ r(n)
2. Dla ka»dego z poni»szych zbiorów wymy±l funkcj¦ zdaniow¡ p(n), która wytnie go ze zbioru {1, 2, . . . , 50}. Postaraj si¦, »eby zapisa¢ p(n) w postaci prostych funkcji zdaniowych poª¡czonych spójnikami logicznymi.
(a) {10, 20, 30, 40, 50}, (b) {9, 18, 27, 36, 45},
(c) {6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46}, (d) {10, 11, 12, 13, 14, 15}
(e) {2}, (f) {3, 17, 48},
(g) {7, 14, 21, 28, 35, 42, 44}, (h) {10, 20, 30, 40, 50, 60}.
Wymysª wªasny przykªad i zadaj go (koledze ∨ kole»ance).
3. Czy dla wszystkich liczb naturalnych n prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce zdania?
(a) n nie jest podzielne przez 3, je±li n jest liczb¡ pierwsz¡.
(b) n jest podzielne przez 12, o ile jest podzielne przez 3 i 4.
(c) Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to o ile n jest liczb¡ zªo»on¡, to n = 4.
(d) n jest podzielne przez 2 pod warunkiem, »e n jest podzielne przez 5 i 5 < n < 15.
(e) n jest podzielne przez 3 dokªadnie wtedy, gdy n jest podzielne przez 7.
Odpowied¹ uzasadnij. W razie w¡tpliwo±ci zapisz powy»sze zdania formalnie przy pomocy spójników logicznych.
4. Wiemy, »e funkcja zdaniowa r(n) jest równowa»na
(p(n) =⇒ q(n)) ⇐⇒ (¬p(n) ∨ q(n)),
gdzie p(n) i q(n) s¡ pewnymi funkcjami zdaniowymi (o liczbach naturalnych). Dlaczego mo»emy wnioskowa¢, »e r(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych? Czy mogliby±my tak wnioskowa¢, gdyby r(n) byªo równowa»ne
p(n) ⇐⇒ (p(n) ⇐⇒ q(n))?
Uzasadnij!
5. O liczbie rzeczywistej x wiadomo, »e je±li x ≤ 5, to x > 3. Czy st¡d wynika, »e x > 3?
Marcin Preisner [ preisner@math.uni.wroc.pl ].
1
2 LISTA 2: FUNKCJE ZDANIOWE
6. Rozwa»my funkcje zdaniowe o zakresie liczb rzeczywistych:
(a) p(x) = x + 5 = x2;
(b) q(x) = x + 5 < x2;
(c) r(x) = x jest liczb¡ wymiern¡;
Dla których liczb rzeczywistych prawdziwe s¡ zdania p(x), q(x), q(x) ∧ r(x), p(x) =⇒
r(x)? 7. Niech
• p(n) ="n jest podzielne przez 3;
• q(n) ="n jest liczb¡ pierwsz¡";
• r(n) ="n jest z przedziaªu [7, 10];
Podaj przykªad zbioru , którego nie da si¦ wyci¡¢ ze zbioru {1, 2, 3, . . . , 10} za pomoc¡
funkcji zdaniowej zbudowanej z p, q, r (przy pomocy spójników logicznych). Ile ró»nych zbiorów mo»na wyci¡¢ ze zbioru {1, 2, 3, . . . , 10} za pomoc¡ funkcji zdaniowych takich postaci?
