Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Funkcje i relacje lista zada«
(na podstawie listy zada« prof. J. Cichonia)
1. Poda¢ przykªad relacji, która jest:
(a) zwrotna i przechodnia, ale nie symetryczna, (b) zwrotna i symetryczna, ale nie przechodnia, (c) przechodnia i symetryczna, ale nie zwrotna.
2. Niech R b¦dzie relacj¡. Udowodnij, »e:
(a) je±li R jest zwrotna, to R ⊆ R ◦ R.
(b) R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ R ⊆ R, (c) R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1. 3. Znajd¹ najmniejsz¡ relacj¦
(a) przechodni¡, (b) symetryczn¡,
(c) równowa»no±ci,
zawieraj¡c¡ relacj¦ R = {(n, n + 1) : n ∈ N}.
4. Niech R = (x, y) ∈ R2: |x| = |y| oraz Q = (x, y) ∈ R2: y = sin x . Wyznacz R ◦ Q oraz Q ◦ R i narysuj wykresy tych relacji. Czy R ◦ Q = Q ◦ R? Co by si¦ zmieniªo, gdyby w de nicji Q zast¡pi¢ sinus kosinusem?
5. Udowodnij, »e dla ka»dej funkcji f i wszystkich zbiorów A, B zachodzi:
(a) f[A ∪ B] = f[A] ∪ f[B], (b) f−1[A ∪ B] = f−1[A] ∪ f−1[B],
(c) f−1[A ∩ B] = f−1[A] ∩ f−1[B], (d) f−1[A \ B] = f−1[A] \ f−1[B].
Czy wzory (a), (b) i (c) mo»na uogólni¢ na sumy i przekroje dowolnych rodzin zbiorów?
6. Podaj przykªad funkcji f takiej, »e f(x) = f[x] oraz f(y) 6= f[y] dla pewnych x, y.
7. Niech f b¦dzie funkcj¡. Udowodnij, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(a) f jest ró»nowarto±ciowa,
(b) f[A ∩ B] = f[A] ∩ f[B] dla wszystkich zbiorów A, B, (c) f[A \ B] = f[A] \ f[B] dla wszystkich zbiorów A, B.
8. Niech X 6= ∅. Wyznaczy¢ ∅∅, X∅ oraz ∅X. 9. Wyznaczy¢ bijekcj¦ mi¦dzy N i Z.
10. Wyznaczy¢ bijekcje mi¦dzy nast¦puj¡cymi parami zbiorów:
(a) (0, 1) oraz (−1, 1), (b) (0, 1) oraz (0, ∞),
(c) (0, 1) oraz R,
(d) (0, 1) oraz [0, 1), (e) (0, 1) oraz [0, 1],
(f) (0, 1) oraz (0, 1) \ 1n : n ∈ N .
11. Udowodni¢, »e je±li istnieje bijekcja mi¦dzy A × A oraz A, to A jest zbiorem pustym, jednoelementowym lub niesko«czonym.
Prawdziwe jest równie» twierdzenie przeciwne! W jego dowodzie wykorzystuje si¦ lemat Kuratowskiego-Zorna.
12. Poda¢ przykªad bijekcji mi¦dzy [0, 1) i [0, 1) × [0, 1).
Wskazówka: Wystarczy znale¹¢ dobry sposób kodowania liczb rzeczywistych za pomoc¡ ci¡gów liczb naturalnych. Narzuca si¦ zapis dziesi¦tny liczb ta metoda daje jednak funkcj¦ nieró»nowarto±ciow¡; da si¦ w ten sposób doj±¢ do celu, ale droga jest dªuga. Ciekawym pomysªem jest zastosowanie innego kodowania liczb. Oto ono:
Niech x b¦dzie liczb¡ rzeczywist¡ z przedziaªu [0, 1). Szukamy liczby naturalnej n takiej, »e x ∈ [1 − n1, 1 −n+11 )i t¦
liczb¦ n uznajemy za pierwszy wyraz ci¡gu reprezentuj¡cego. Nast¦pnie zast¦pujemy x liczb¡ (1−x−(1−1 1n)
n+1)−(1−n1)i powtarzaj¡c procedur¦, uzyskujemy drugi wyraz ci¡gu reprezentuj¡cego. I tak dalej. Mo»na udowodni¢, »e ka»da liczba jest w ten sposób reprezentowana przez dokªadnie jeden niesko«czony ci¡g liczb naturalnych.
