Wykład 8

Elektrodynamika z elementami teorii pola

Wykład 8

r m r

r r m

A π

= µ

× π

= µ

rot 4 ) 4

(

_dip ⁰ ₃ ⁰

3 0 0

0 dip 0

grad 4 )

( div)

grad 4 (

rot 4 rot )

( r

r r m

r m m r

r m

B π

− µ δ

µ

= +

∆ π −

= µ π

= µ

) 3 (

) 1 (

3 4

P 1 4

-grad 1

0 5

2 0

3 0

dip

d r

r

d r r

d r r

r

E d δ

− ε

−

⋅

= πε

⋅

= πε

) 3 (

2 )

( 3 P 4

)

(

_dip ⁰ ₅ ² ₀

m r

r

m r r

m r r

B − + µ δ

π

= µ

×

= r j r r

m ( ) d

³

2

1

r j

x j

x r

j x r

j x j

x

_{i j j i} ³ _{i j} ³

(

_{i j j i}

) d

³

2 d 1

) (

0 d

) (

∞

∞

∞

−

=

= r +

j

_i

d

³

0

∞

=

×

−

=

×

= r j r r j r r r

m

³

( ) d

³

2 d 1

) 2 (

1

0 d

2 d

)

( +

³

= ⋅

³

=

∞

r j r r

j x j

x

_{i i i i}

3 3

1 2 2

1 3

1 2 3

2

1

( ) d

2 d 1

d r x j r x j x j r m

j

x = − = − =

∞

∞

∞

' '

d

3 _{ijk k} j

i

j r m

x = ε

∞

r j

x

m

_{k kij i j}

d

³

2

1

∞

ε

'

=

'

2

_kk

ijk

kij

ε = δ

ε

( ^× ) ⁼ ( ) ^{⋅ −} ( ^⋅ )

×

= r j r B r r B j r r B r j r r

N ( ) d

³

( ) d

³

( ) d

³

(B – stałe w małym obszarze lokalizacji):

B m

N = ×

k j ijk j

kij k i

k k

i

B x j r r B m m B

N = ( ) d

³

= ε = ε

Moment siły w polu magnetycznym

ε

=

− +

ε

= j r B x x B r B x j r r

F

_{i ijk}

(

_j

( )(

_k

(

_{a a}⁰

)

_k,a

)d

³ _{ijk k,a a j}

( ) d

³

( )

(

k k

)

_i

i k k k

i k

p a k ak ip kp

ia p

ajp a k ijk i

m B

m B m

B

m B m

B F

, , ,

, ,

=

=

−

=

= δ

δ

− δ δ

= ε

ε

=

) ( m B F = − ∇ − ⋅

(rozkład pr du dobrze zlokalizowany):

B m

F = ( ⋅ ∇ )

Gdy układ i ródła pola rozdzielone (pole zewn trzne bezwirowe na dipolu), jest te :

) (

) (

)

(m⋅B = m⋅∇ B +m× ∇×B

∇

Ze wzgl du na to samo : Siła w polu magnetycznym

W polu elektrycznym było pro ciej:

E d E r r

r r

E r r

N = × ( ρ ( ) ) d

³

= ( ρ ( )) d

³

× = ×

)d )

( )(

(

( ρ + −

⁰ _, ³

= r E x x E r

F

_{k k a a k a}

) (

)

( d E d E

F = ∇ ⋅ = − ∇ − ⋅

E d

F = ( ⋅ ∇ )

Dla pola bezwirowego (w elektrostatyce), jest te :

Podobnie jak elektryczne, pole magnetyczne musi by u rednione po obszarach mikroskopowo du ych a makroskopowo małych.

Pole w materii.

'

|' d

|

)' (

)' ( ) 4

(

⁰ ₃ ³

r

r r

r r

r r j

B −

−

× π

= µ

U redniamy całkuj c po zmiennej we wn trzu kuli o rodku w punkcie A.

Raz ju to robili my! Dla punktu le cego poza kul , wychodził wektor:

r ' r

|'

3

|

)' (

r r

r r

A A

−

−

A dla punktów wewn trznych:

3

)' (

R

r

r

_A

−

Taki u redniony wektor, był superponowany dla wszystkich z g sto ci

r ' ρ (r )'

. Całka rozpadała si na cz zewn trzn i wewn trzn . Pole od dalekich molekuł – przybli enie dipolowe. Pole od tych z wn trza kuli wyra ało si przez sumaryczny moment dipolowy.

Teraz podobnie, cho znamienna ró nica dla wn trza!!

−

×

=

=

×

−

=

×

=

' d )' 2 (

)' 1 (

' d )' ( )

' 2 ( ' 1

d )' ( 2 '

1

3

3 3

r r

r r

j

r r

j r

r r

r j r m

A

A

− ρ

−

=

− ρ

= ( r ' )( r ' r ) d

³

r ' ( r ' )( r r )' d

³

r '

d

_{A A}

Dodatkowy „minus” i dodatkowe ½ w porównaniu z polem elektrycznym.

) 3 (

' 2

|' d

|

)' )' (

|' (

|

)' ( )'

( 3 4

' )' d

)' ( 4 (

'

|' d

|

)' )' (

4 (

'

|' d

|

)' (

)' d (

4 4 ) 1

(

0 3

3 5

'|

|

0

3 3

'|

| 3 0 3 '|

|

0

) (

3 3

0 3 3

A M r r

r

r r M

r r r

r M r

r

R r r r r

j r r

r

r r r

j

r r r

r r

r r j

A R B

A A

A A R

r r

A R

r A r

A R

r r

R K

A

A A

µ

− +

−

− −

⋅

− π

= µ

− = π ×

+ µ

−

× − π

= µ

− =

−

× π

µ

= π

>

−

<

−

>

−

) ( )

3 ( ' 1

|' d

|

)' ) (

'

|' (

|

)' ( )'

( 3 4

) 3 (

' 2

|' d

|

)' )' (

|' (

|

)' ( )'

( 3 ) 4

(

0 0

3 3

5 '|

|

0

0 3

3 5

'|

|

0

A M A

M r r

r

r r M

r r r

r M r

r

A M r r

r

r r M

r r r

r M r

A r B

A A

A A R

r r

A A

A A R

r r

A

A

µ + µ

− −

−

− −

⋅

− π

= µ

= µ

− +

−

− −

⋅

− π

= µ

>

−

>

−

bezwirowe

' d )'

|' (

|

)' ( div - 4

3 3

0 r r r

r r

r

M −

π −

= µ

r m r

r r m

A π

= µ

× π

= µ

rot 4 ) 4

(

_dip ⁰ ₃ ⁰

3 0 0

0 dip 0

grad 4 )

( div)

grad 4 (

rot 4 rot )

( r

r r m

r m m r

r m

B π

− µ δ

µ

= +

∆ π −

= µ π

= µ

) 3 (

1 )

( 3 4

P 1 4

-grad 1

5 0

2 3 0

0

dip

d r

r

d r r

d r r

r

E d δ

− ε

−

⋅

= πε

⋅

= πε

) 3 (

2 )

( 3 P 4

)

(

_dip ⁰ ₅ ² ₀

m r

r

m r r

m r r

B − + µ δ

π

= µ

( ^{( )} ) ^{rot ( ) rot ( ) ( rot ( ) ( ))}

rot B

_mol

r + B

_ext

= µ

₀

M r + B

_ext

r = µ

₀

M r + j

_ext

r ))

( )

( rot (

rot B = µ

₀

M r + j

_ext

r

ext

0

- )

/

rot( B µ M = j

H M

H B

H M

B j

H

_ext

/

₀

-

₀

( )

_{r 0}

rot = µ = = µ + = µ µ

Komplikacje magnetyzmu – nieliniowa zale no B(H).

W materiałach liniowych, sytuacja podobna jak w elektrostatyce.

Kluczowa sprawa – warunki brzegowe:

i) ci gło składowej stycznej H (chyba e płynie prawdziwy pr d powierzchniowy), ii) ci gło składowej normalnej B – zawsze.

W elektrostatyce zawsze ci gło stycznej składowej E i ci gło składowej normalnej D (chyba e ład. pow.)

Przykład:

> 1 µ

_r

= 1 µ

_r

I

⊗ .

B

r

B 2I

4

0

π α µ

=

1 1 1

2 1

2

4 _{0 0}

0

0 0

= µ +

α

µ = + π µ µ

π π

α µ

µ = π µ +

π µ

r

r r

r I r

r I

B I B r

r

r B I

r

r

2

4 1

2

₀

π µ + µ

= µ

3

4 0

1 2

r r E Q

r πε

ε

= +

r B = α /

s r

) 2

( /

) 2

/ (

1 / ) 2

( 1 /

0 0

0 0

s r s

NI s

r s

B NI r

NI r

s r r

s

r

r r

r

− π + µ

µ

= µ µ

− π +

= µ

= α

= µ α

− µ π + µ α

⋅

Dla szczeliny bardzo w skiej i cienkiego solenoidu:

j

B B

H B

M

r j B NI

r

r r

r

) 1 (

/ /

/ 2

0 0

0

0 0

− µ

=

= µ µ

− µ

=

− µ

=

µ µ π ≈

µ µ

≈