I.4 Paczki falowe. Fale materii. Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Równanie

I.4 Paczki falowe. Fale materii. Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Równanie

Schroedingera

•Fale materii. Wzór de Broglie’a.

•Lokalizacja. Pakiety falowe.

•Interpretacja probabilistyczna

•Zasada nieoznaczoności

•Równanie Schroedingera

E-M+EF+EC: fale są cząstkami/ Cząstki są falami?

Fale e-m sa cząstkami:

•EF, E. Comptona: fotony są zlokalizowane

Elektrony czy neutrony (niewątpliwe cząstki) są falami:

•Obserwujemy dyfrakcję e i n na kryształach

(Davisson & Germer 1927)

Związek między pędem i długością fali dla fotonu:

Louis de Broglie (1923): fale materii;

Cząstkom o pędzie p przyporządkowujemy falę materii. Długość fali przez analogię z fotonem:

h h

E h p

γ

c

ν ν

= , = = λ

E h

p h k

ν ω

λ

= =

= =

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów

Fala elektromagnetyczna, ściślej nieskończony ciąg fal może być opisany w notacji zespolonej:

Efekt fotoelektryczny, efekt Comptona

→ fotony są zlokalizowane w przestrzeni, nie mogą więc być opisywane przez nieskończony ciąg fal.

→ Potrzebny opis zlokalizowanych paczek falowych.

( ) ( )

A i i

A(r, t)

Re exp( p r Et ) exp( p r Et ) 2

È ˘

= Í Î ◊ - + - ◊ - ˙ ˚

Pakiet falowy: superpozycja fal o zbliżonych energiach i pędach. Zjawisko dudnienia

powoduje lokalizację przestrzenną takiej superpozycji.

Dla dwóch fal :

( ) ( )

( )

( ) ( )

gdzie:

k= , k= , = , = A A A A cos k r t cos k r t

k k k k

A cos r t cos r t

A cos k r t cos k r t

k k k k

ω ω

ω ω ω ω

ω ∆ ∆ω

ω ω ω ω

∆ ω ∆ω

0

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0

0

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

i i

= + = - + - =

Ê + + ˆ Ê - - ˆ

= Á ◊ - ˜ Á ◊ - ˜ =

Ë ¯ Ë ¯

= ◊ - ◊ -

+ - + -

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd

k ₀ k

∆ k ^Ω

Związek

dyspersyjny:

ω ₀ = k ₀ c

Uogólniając na superpozycję fal z pewnego przedziału : ∆ ∆ω k ,

( ) ( )

ł ą

ą

0

0

0 0

, gdzie -kula dooko a k ktory falowe wewn trz kuli: k=k

amieniaj c zmienne:

=A k

(x, t) d k A exp(i(k x t))

k

exp i x t d k exp i k x t

Ω

Ω

∆

∆ ∆ ∆ω

0 3

0 3

= ◊ -

+

È ˘

È ◊ - ˘ ◊ ◊ -

Î ˚ Î ˚

Ú

Ú

we Z

Ψ ω

Ψ ω

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd

Dalej będziemy dyskutować jednowymiarowy pakiet falowy (uproszczenie rachunków):

( )

[ ]

( )

( )

k k

k k

k k

(x, t) Re A dk exp i kx t k d ( k) ...

dk

Re A exp i k x t d ex d

sin ( t x) d

dk

d d

p i t x

d

Re A exp i k x t d

d x

k k k t

k

∆

∆

∆

∆

Ψ ω

ω ω ∆ ω ∆

ω ω

ω ∆

ω

ξ

ω

ξ ω

0

0 0

2

2

0

0

0 0 2

0

0 0

1 2

2

+ -

-

Ï Ê - ˆ ¸

Ô Ë ¯ Ô

Ô È ˘ Ô

Ê ˆ

= Ë ◊ - ¯ =

= = + + =

Ï È ˘ È Ê ˆ ˘ ¸

= Ì - ◊ ◊ Í - - ˙ ˝ =

Ì Î - ˚ ˝

Ô - Ô

Ô Ô

Ó

Î ˚ Î Ë ¯ ˚

Ó ˛

=

˛

Ú

Ú

x Re Ψ (x,t)

Ostre maksimum w

g

x d t v t dk

= ω =

V _g =d ω /dk

x k

∆ π

∆

= 2

Relatywistyczny i nierelatywistyczny związek dyspersyjny dla fal de Broglie’a

( )

ą

ś ą ą

2

g

Dla fal de Broglia zachodzi:

E=

Nierelatywistyczne wyrażenie na energię cz stki:

E= p

Pakiet falowy porusza się z prędko ci grupow : v

c c

p k

k

m m

d dE p

dk dp m v Re laty

ω π

λ λ

ω

2

2

2 2

= = =

=

= = = =

( )

^{( )}

wyrażenie na energię:

E= mc = daje nam v

wistyczne

d kc pc mv c

k v

dk E m c

ω γ

ω ω γ

2 2 2

2 2

2

1 2

+ = = 2 = = =

Rozważmy doświadczenie mające na celu zlokalizowanie elektronów w kierunku poprzecznym do ich ruchu. W celu ich zlokalizowania użyjemy szczeliny o szerokości ∆ x.

Zgodnie z teorią falową elektron po przejściu przez szczelinę podlegnie dyfrakcji, a natężenie fali elektronowej o amplitudzie Ψ będzie proporcjonalne do kwadratu jej amplitudy:

I(r, t)d r ₃ = Ψ (r, t) d r ² ₃

Interpretacja probabilistyczna cd.

q _min

∆ x

y x

E

K

R

A

N

Natężenie jest proporcjonalne do

prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w objętości d ₃ r dookoła punktu . r

p(r, t)d r ₃ = Ψ ² d r ₃

Zasada nieoznaczoności

Lokalizacja fali elektronowej: kąt pod jakim widzimy 1 minimum dyfrakcyjne

W wyniku dyfrakcji pojawia się więc składowa poprzeczna, x-owa pędu elektronu. Ma ona

charakter statystyczny, gdyż nie wiemy o jaki kąt ugnie się konkretny elektron przechodzący przez szczelinę.

sin min

d x

λ λ

θ = = ∆

q _min

∆ x

y

x ∆ p _x ∆ x≥h

E

K

R

A

N

Zasada nieoznaczoności cd.

Rozmycie statystyczne x-owej składowej pędu jest nie mniejsze niż p • sin θ _min :

Jest to zasada nieoznaczoności Heisenberga czyli

x min

p x

p p si h

x

x h

n λ

∆ θ

∆

λ ∆

∆

≥ =

≥

Klasycznie atom wodoru (zagadnienie Keplera, orbita kołowa) Związek między energią cząstki E i odległością od jądra

Naiwnie ale kwantowo, korzystając z zasady nieoznaczoności:

Nieoznaczoność położenia dookoła jądra jest rzędu promienia orbity.

Nieoznaczoność pędu jest rzędu pędu:

r

E e

πε r

= -

æ æ æÆ -•

0

1 2 4

x r

h h

p p

x r

∆

∆ ∆

ª

ª ª =

Zasada nieoznaczoności i stany związane cd.

Poszukajmy minimalnej energii:

( )

ł

wynik dok adny=

min

min min

min

min

h e

E mr r

dE h e

h me r

dr mr r

r h . m

me me

E me . eV

h

π πε

πε πε

πε ε

πε

-

ª -

= - + = = - +

= =

= - = -

2 2

2

0

2 2

2 2

3 2 0

0 2

0 9 2

4 2

2 0

2 0

2

2 4

0 4

4

4 2 07 10

1 0 3

4

2 4 5

i

Natężenie jest proporcjonalne do

prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w objętości d ₃ r dookoła punktu . r

p(r, t)d r ₃ = Ψ ² d r ₃

Obliczanie funkcji falowej – równanie Schroedingera Argumentacja Schroedingera dla cząstek

swobodnych:

1. Chcemy, żeby pakiety falowe spełniały pewne równanie różniczkowe. Oznacza to, że:

– Fale płaskie powinny je spełniać, – Spełniona powinna być zasada superpozycji.

2. Rozwiązania powinny spełniać związek de Broglie’a dla cząstek swobodnych:

Obliczmy

; c z y li

( )

p k

E = m ω = m

2 2

2 2

( ) ^{r, t exp i k r} ( ( ^t ) )

Ψ = ◊ - ω

i

i E

t

Ψ ωΨ

ωΨ Ψ

∂ = - æææ Æ- =

∂

2

Jak otrzymać p ² /2m?

Ostatecznie dostajemy następujące równanie, które spełniają fale płaskie:

Równanie jest liniowe- spełniona jest zasada superpozycji

(

) ^{( )}

m

k k k k k

x y z m

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

¥

∂ + ∂ + ∂ = - + + = - æææÆ -

∂ ∂ ∂

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

( ) ^{r, t} ( )

i r, t

t m

Ψ Ψ

∂ = -

∂

2

2

Równanie Schroedingera cd.

Uogólnienie na przypadek cząstki w potencjale V:

( ^{r , t} ) ( ) ^ˆ

i V r , t H

t m

Ψ Ψ Ψ

∂ ∂ = Ê Á Ë - + ˆ ˜ ¯ =

2

2