Oblicz granice ciągów: (a n)−12n2 n , (b) 1p+2npp+1+...+np, p &gt

Ćwiczenia nr 6, AM I, 15.11.2019

Twierdzenie Stolza, warunek Cauchego, stała γ Eulera. Zadania różne.

Zadanie 1. Oblicz granice ciągów:

(a) (1+2+3+...+n)−¹₂n²

n ,

(b) ^1p+2_n^pp+1^+...+np, p > −1, (c) ^{√ 1}

n²+1 +^{√ 1}

n²+2 + . . . +^{√ 1}

n²+n, (d) ^{(12+2+32+...+n2)−}

1 3n³

n² ,

(e) ^{(16+26+36+...+n6)−}

1 7n⁷

n⁶ ,

(f) ^qn₁ +^qn₂ +^qn₃ + . . . +^qn_n − 2n.

Zadanie 2. Wykazać, że

(a) lim^1p+2p_n^+...+np ^p −_p+1^{n }= ¹₂, p 6= 1 (b) lim^1p+3p+...+(2n−1)^p

n^p+1

= _p+1^2p .

Zadanie 3. Oblicz granice ciągów (a)√⁴

n sin(√

n + 1−√ n), (b)

√n+n³⁵+ln n¹⁰⁰

n²⁶+1 , (c)^1 + _2n^{1 3n+1}, (d)√³

n³+ n² + 1−√³

n³− n²+ 1, (e)

r

n +^qn +√ n−√

n, (f) ^(1+(−1)n)n

(³2)^n·ln(n+2), (g) _ln(n^ln(n10²⁺ⁿ⁻¹⁾+5⁵−1), (h) ^log_log^2n+log3n

3n+log₄n, (i) sin(π√

n²+ 1), (j) ^3−2n_4n−2n²⁺⁴ⁿ2+1

n²+1

.

Zadanie 4. Oblicz granice ciągów (a) ⁿ_an², gdzie a > 1, (b) ^{ln n}_n , (c) ^{ln n}√3

n, (d) n · (√ⁿ

a − 1).

Zadanie 5. Wiadomo, że lim a_nb_n= 0. Czy wobec tego przynajmniej jeden z ciągów (a_n), (b_n) musi być zbieżny?

Zadanie 6. Wiadomo, że ciąg (an) spełnia nierówności 0 ¬ am+n ¬ am + an dla dowolnych m, n ∈ N. Udowodnij, że

(a) ciąg (^a_nⁿ) jest ograniczony;

(b) ciąg (^a_nⁿ) jest zbieżny.

Zadanie 7. Oblicz granicę ciągów (a)

ln(aⁿ+ bⁿ+ cⁿ)

n ,

gdzie 0 < a < b < c.

(b)

1 +√ 2 +√³

3 + . . . +√ⁿ

n^ln2n + 1 2n .

Zadanie 8. Sprawdź zbieżność ciągu

v u u u t2 +

v u u t3 +

s

2 +

r

3 +

q

2 +√

3 + . . .











n pierwiastkowań

Zadanie 9. Udowodnić zbieżność ciągów (a) ^{sin 1}₂ + ^{sin 2}₂2 + . . . + ^{sin n}₂n ,

(b) a₀+ a₁q + a₂q²+ . . . + a_nqⁿ, gdzie (a_n) jest ciągiem ograniczonym, a |q| < 1.

Zadanie 10. Oblicz sumę 1

1 · 2 · 3 + 1

2 · 3 · 4 + . . . + 1

n(n + 1)(n + 2).

Zadanie 11. Mówimy, że ciąg (a_n) ma ograniczone wahanie, jeśli istnieje stała C taka, że

|a₂− a₁| + |a₃− a₂| + . . . + |a_n− a_n−1| < C

dla każdego n = 2, 3, 4, . . .. Wykazać, że ciągi o ograniczonym wahaniu są zbieżne.

Zadanie 12. Uzasadnij, że granicą ciągu 1 + 1

3+ 1

5+ . . . + 1

2n − 1 −1 2ln n jest ln 2 +¹₂γ, gdzie γ ≈ 0, 577 jest stałą Eulera.

2