(8 pkt.) a) Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu ∞ X n=1 2nn! nn

I kolokwium z matematyki IL 8 grudnia 2005 r.

Brak oblicze« po±rednich, uzasadnie« i komentarzy wpªynie na obni»enie oceny.

Zadanie 1. (5 pkt.)

Udowodni¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 2 speªniony jest wzór

n

X

k=2

1

k²− 1 = 3

4− 2n + 1 2n(n + 1).

Zadanie 2. (6 pkt.) Obliczy¢ granice ci¡gów:

a) lim

n→∞n(n−√

n²+ 3),

b) lim

n→∞

√n

3n²+ 2n + 1.

Zadanie 3. (8 pkt.)

a) Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu

∞

X

n=1

2ⁿn!

nⁿ . b) Znale¹¢ przedziaª zbie»no±ci szeregu

∞

X

n=1

(x− 3)²ⁿ 4ⁿn² .

Zadanie 4. (6 pkt.)

a) Znale¹¢ dziedzin¦ funkcji

arc sin √ 2x 2x− 1 . b) Znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania równania

3cosh x − sinh x = 3.

Zadanie 5. (5 pkt.)

Znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania równania z jedn¡ niewiadom¡ zespolon¡ z z²− (3 − 2i)z + 5 − i = 0

i wyrazi¢ je w postaci z = a + ib, gdzie a i b s¡ liczbami rzeczywistymi.

Powodzenia!