ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Serias ELEKTRYKA z. 62
1978 Nr kol. 573
Zbigniew BARTOŃ Edward LAWERA Politechnika Śląaka
Instytut Elektroenergetyki i Sterowania Układów
KRYTERIUM OCENY STABILNOŚCI DYNAMICZNEJ
WIELOMASZYNOWBGO UKiADU ELEKTROENERGETYCZNEGO BADANEJ METODĄ LAPUNOWA
Streszczenie. Określenie granicznego obszaru stabilnośoi było do
tychczas jednym z najbardziej czasochłonnych etapów obliczeń prowa
dzonych bezpośrednią metodą Lapunowa. W artykule zaproponowano nową metodę, pozwalającą znacznie skrócić czas tej części obliczeń w po
równaniu z metodami dotychczas stosowanymi.
Wprowadzono pojęcie, całkowego i wskaźnika identyfikacji przebie
gu przejściowego, podano jego interpretację i wskazano sposób jego wyznaczania. Zamieszczono ponadto dwa różne przykłady obliczeniowe*
które ilustrują i pozwalają sprawdzić przedstawioną procedurę.
1. Wprowadzenie
Stosowane dotychczas metody badania stabilności pracy systemów elek
troenergetycznych bazują na określaniu kątów rozohyłów wirników generato
rów pracujących w systemie elektroenergetycznym [9] , [7] , [8] . 0 ile dla układów o ilości maszyn n ¡S 2 istnieje kryterium ilościowe sformułowane jako zasada równości pól pozwalająca wnioskować odnośnie stabilności pra
cy z przebiegów kątów rozchyleń wirników nie przekraczających wartości 1T, to dla układów wielomaszynowyeh badania kątów między poszczególnymi para
mi maszyn muszą odbywać się w większych przedziałach czasowych.
Przy badaniu równowagi układu n-maszynowego o stabilności wnioskować można z przebiegów czasowych ^ (n-1) kątów uzyskiwanych % rozwiązania 2n-1 nieliniowych równań: fróżniczKowych; (r.rj opisujących dynamikę syste
mu elektroenergetycznego. Badanie równowagi polegające na rozwiązywaniu wspomnianych r.r nawet przy zastosowaniu skomputeryzowanych metod obli
czeniowych jest możliwe tylko dla ograniczonej liczby maszyn, przy czym ilość ta związana jest, z dokładnością stosowanego modelu matematycznego.
Powyższe trudności skłoniły do szukania innych rozwiązań, które poszły m.in. w kierunku możliwości zastosowania ogólnych kryteriów znanych w te
orii sterowania i regulacji, a w szczególności bezpośredniej metody Lapu
nowa.
Bdward Lawera. Zbigniew Bartoh.
Stosowanie II metody Lapunowa do badań równowagi dynamicznej układów elektroenergetycznych nie stwarza konieczności badania przebiegów przej
ściowych kątów wzajemnych rozchyleń maszyn, a sprowadza się do badania wartości i zachowania funkcji V charakterystycznej dla tej metody. Funk
cję tę tworzy się w oparciu o sprowadzony do postaci równań stanu układ równań różniczkowych opisujących dynamikę systemu elektroenergetycznego, przy wprowadzeniu transformacji początku układu do punktów równowagi w stanie pozakłóceniowym.
Pierwsze próby zastosowań metody Lapunowa prowadzone były m.in. przez Zasławską i Tagirowa [17] oraz przez Magnu3sona [10] , przy czym zastoso
wana funkcja nosiła nazwę funkcji energii stanu przejściowego. Bardziej ogólne wyniki uzyskane zostały m.in. przez Ayletta [12] w zaproponowanym tzw. całkowym kryterium energetycznym.
Metodę Lapunowa kolejno rozwinęli w swoich pracach m.in. Andriejuk {1], Gless [5], El-Abiad i Nagappan [3], Wiennikow [15] oraz bracia Willem3 [16]
i Sta rac ho w [14] .
Pierwsze prace dotyczyły układów jednomaszynowych przyłączonych do sie
ci sztywnej oraz dwumaszynowych. Wielu autorów koncentrowało swoje wysił
ki na systematycznej konstrukcji funkcji V. W końcu w oparciu o prace Moore’a-Andersona [11] , uogólniającą kryterium Popowa, dla układów nieli
niowych sformułowano podstawy analizy systemów n-maszynowych metodą Lapu
nowa.
Dotychczasowe badania wiążące się z wykorzystaniem wspomnianej zasady, mimo że podejmowane przez wielu autorów, nie rozwiązują jednak całego sze
regu zagadnień związanych z zastosowaniem jej do praktycznych badań rów
nowagi dynamicznej. Wymagają w związku z tym dalszych studiów w celu roz
wiązania pozostałych problemów.
2. Funkcja V dla układu elektroenergetycznego
Istnieje wiele metod pozwalających skonstruować funkcję V przydatną do badań stabilności dynamicznej. Wygodnie jest jednak wykorzystywać funkcję mającą konkretną fizyczną interpretacje. W przypadku systemu elektroener
getycznego funkcja taka odzwierciedlać powinna całkowitą energię badanego układu, czyli powinna być sumą energii kinetycznych i potencjalnych całe
go systemu.
Dla układu elektroenergetycznego opisanego równaniem stanu:
X = AZ - BF(6).
6 = CX,
Kryterium oceny stabilności dynamiezae.1» 137
gdzie s
X,P^6) i S - są odpowiednio wektorami stanu sterowania i odpowiedzi, A, 3, C - są macierzami o stałych elementach.
Funkcję o wspomnianych wyżej właściwościach można uzyskać z następują
cej zależności [12] s
L °iX
V(x) = XTPX + 2 li f (Z)
i=1 o
gdzie:
°r%"1^ J • 1 = 1*2,
- jest wierszem macierzy C.
W równaniu (2) macierz P określona jest przez rozwiązanie układu rów
nań macierzowych Riccatiego.
Jak wynika z relacji ? Z) do określenia funkcji V niezbędne są ponadto:
macierz admitancji układu w stanie pozakłóceniowym, którą uzyskuje się po dokonaniu inwersji podmacierzy stanu przedzakłóceniowegoj pozakłóceniowe punkty równowagi, które uzyskuje się po rozwiązaniu układu nieliniowych algebraicznych równań opisujących stan systemu po wyłączeniu zaburzenia.
W celu określenia obszaru stabilności dynamicznej systemu elektroener
getycznego należy wyznaczyć tzw. krytyczną (kryterialną) wartość funkcji (2). Wartość ta jest w ogólnym przypadku hiperpowierzehnią i można ją zde
finiować jako:
Vc = min|y(X)j t(x) = o}. (3)
Dotychczas wykorzystano wiele metod w celu wyznaczenia wartości V,,. Do najczęściej stosowanych sposobów w badaniach układów n-maszynowych zali
czyć można:
a) stosowanie skomplikowanych programów minimalizacyjnych [15], [18], b) wyznaczenie 2 (2n-1-l) najbliższych punktów równowagi nietrwałej, [3],
[13] , [16] .
Metoda pierwsza była i jest jednak czaso- i pracochłonna oraz wymaga dysponowania odpowiednio rozbudowanym oprogramowaniem i oprzyrządowaniem maszyny cyfrowej. Metoda druga, stosowana w większości przypadków, polega z kolei na wyznaczeniu rozwiązań układu nieliniowych równań algebraicz
nych. Obydwie więc^metody sprawiały wiele trudności i powodowały zmniej
szenie atrakcyjności przy praktycznym stosowaniu do badania równowagi dy
namicznej bezpośredniej metody Lapunowa. Podejmowano w związku z powyż-
118 Edward Lawera. Zbigniew'Bartoń
azym próby uproszczenia procedury wyznaczania Vg. Usiłowania te rozwijały się w dwóch kierunkach. Jeden polegał na wyznaczaniu przybliżonej wartoś
ci Vę [4] , drugi natomiast starał się na podstawie lokalizacji zakłócenia i analizy układu sieciowego określić stany układu elektroenergetycznego, które w konkretnej sytuacji nie mogą wystąpić 1 które należy wykluczyć, co redukowało liczbę rozważanych rozwiązań wspomnianego układu równań róż
niczkowych 2(2n“1-l) do f2n-3) [6]. Brak było jednak w dalszym ciągu kry
terium, które pozwoliłoby w możliwie szybki sposób określić stan odpowia
dający granicy obszaru stabilności systemu badanego. Przyjęcie .takiego kryterium proponuje się w niniejszym artykule.
3. Kryterium całkowe identyfikacji stanu układu elektroenergetycznego
Rozważmy n-maszynowy system elektroenergetyczny. Jeżeli system znajdu
je się w stanie ustalonym, wtedy wszystkie generatory wirują z prędkością synchroniczną, a zapotrzebowanie mocy odpowiada generacji i jest zgodne z szeregiem nałożonych ograniczeń, m.in. w stosunku do napięć, częstotli
wości ltp. Jeżeli jednak w określonym miejscu układu wystąpi np. zakłóce
nie zwarciowe, wtedy stan równowagi układu zostanie naruszony.
V zależności od korelaoji parametrów własnych i wzajemnych pewne gene
ratory zaczną przyspieszać, inne natomiast będą opóźniały się. Po likwi
dacji zakłócenia cały układ już może nie powrócić do stanu przedzakłóce- niowego. Będzie on dążył jednak do osiągnięcia stanu pozakłóceniowego, przy czym z różnych punktów startowych będzie on zmierzał do pojedyncze
go, ściśle określonego punktu To ile równowaga będzie możliwa) pracy.
Punkcja Iapunowa, jak podkreślono w p. .2, jest uogólnioną funkcją ener
gii. Przedstawia ona energię systemu elektroenergetycznego w różnych punk
tach przestrzeni stanu, a relaoja V=VC reprezentuje hiperpowierzchnię o stałej energii w rozważanej przestrzeni. Określenie granicy obszaru sta
bilności odpowiada znalezieniu takiej hiperpowierzchni, która jest naj
bliższą w stosunku do pozakłóceniowego stanu równowagi, w którym V jest równa zeru.
Zagadnienie sprowadza się więc do znalezienia takiego stanu układu e- lektroenergetycznego, dla którego funkcja V przyjmuje wartość minimalną.
Wystąpienie zwarcia fizycznie oznaczać może wzrost energii systemu w czasie trwania stanu nieustalonego. Ten wzrost przejściowej energii powo
duje, że określone maszyny przyspieszają zwiększając przy tym kąty wza
jemnych rczchyleń.
Do oceny energii poszczególnych maszyn proponuje się w związku z powyż
szym zastosować całkowy wskaźnik identyfikacji stanu określony następują
cą relacją:
t
o
Kryterium oceny stabilności dynamiczne.i«. 139
gdzie:
- zmienna stanu maszyny i i = 1,2, ..., n,
t' - chwila przed wystąpieniem zakłócenia.
Przyjęcie jako zmiennej stanu, w określonym zależnością (4) kryterium, funkcji kąta § (t) i znalezienie maksymalnej wartośoi wskaźnika W.^ (który liczony jest w stanie zakłóceniowym), pozwala zidentyfikować maszynę, a tym samym uzyskać rozwiązanie, dla którego funkcja V osiąga minimum.
4. Przykłady obliczeniowe
Zaproponowane w niniejszym artykule kryterium zastosowano do określe
nia współrzędnych! punktów kryterialnyoh J dla dwóch różnych systemów.
W obydwu przypadkach punkty równowagi systemu w stanie pozakłócenio
wym wyznaczono rozwiązując metodą Newtona-Raphsona układ równań różnicz
kowych opisujących stan systemu po likwidacji zakłócenia. W układzie rów
nań stanu (i), spełniając wymagania całkowitej sterowalności i obserwo- walności systemu, przyjęto dla przypadku niejednorodnego tłumienia nastę
pujące zmienne stanu [12] 1
Takie przyjęcie zmiennych stanu zdeterminowało postać wektora sterowa
nia, który w tym przypadku przedstawić można w postaci relacji (s)s i a 1,2, n
s -s 1 1 " sj+r*
j S5 1j2f •••» 11—1« (5)
i = 1,2,
j = (i+1)
gdzie:
5 - kąt wirnika,
Ss - kąt wirnika w stanie pozakłócenicwym,
E - napięcie za reaktancją X(j,
b - susceptancja zredukowanego systemu elektroenergetycznego, ó - względna różnica kątów odpowiednich maszyn.
Kryterielny stan układu identyfikowano w oparciu o wartości wskaźników identyfikacji (4). W celu weryfikacji wyników wyznaczono krytyczną war
tość funkcji V metodą proponowaną w pracy {13] i określono atan układu spełniający relację (3). Wyniki obliczeń przedstawiono w przykładach 1 oraz 2.
140_____________________________________ Edward Ławera. Zbigniew Bartoń
Przykład 1
Obliczenia przeprowadzono dla systemu, którego schemat oraz parametry podano na rys. 1. Założono, że w układzie wystąpiło zwarcie 3-fazowe,trwa
jące 0,33 s w pobliżu szyn 9, które spowodowało wyłączenie linii L5.
Ha rysunku 2 pokazano przebieg w czasie, w stanie zakłóceniowym wskaź
nika identyfikacji W^. Porównując wielkości wskaźnika obliczane dla po
szczególnych maszyn można zauważyć, że przyjmuje on największą wartość dla generatora 04.
Współrzędne punktu kryterialnego określono z kolei w tradycyjny sposób w oparciu o następującą postać funkcji Lapunowa [13] :
n-1 n
V(S,w) = X
X
MiMk w ik- Bik S ik-AikM°03 5 i J + K’ (7) i=1 k=i+1gdzie:
K = $ ( S 3 ),
(¿•s,0) - punkt równowagi trwałej w stanie pozakłóceniowym, Aij = Ei. Ej Yij»
- moment bezwładności określonej maszyny, M = X M i,
n - liczba maszyn w systemie.
Funkcja V osiągała minimalną wartość V = 0,08258 również wtedy, gdy generator 04 wypadał z.synchronizmu. Dla pozostałych stanów obliczono talo- że wartości funkcji V i były one w każdym przypadku większe od V ln.
Kryterium oceny stabilności dynamiczne, 1 . « . __________________ 141
Sn= ^ 2 5 M V A M = 2 ,3 8 8 M W s 2/ r d Pm-65M W D-CfTMWs/rd
|EI-251kV Xd =2S%
01 P=30MW Q=-fĄ£7Mvar
L1=30km R=0,0068 X-0,0496
L 4 » 5 0 k m R-O.CH13 X*0 ,0 8 2 6
V
/
I
I x|
5■DC
L 2 *20 km"
R»QP045 x*qos3i
L 5*100km L7=60 km
.10
L6=40kń71
S N « 1 JOM VA v S Pm -6 0 M W IE I =24'2kV Xd = 17%
M - X>
02
P=140 MW Q * 5ą64 Mvar
R-Qfl09l X=0,0992 05
8
Sn*65MVA
§J P m " « « 8. IEI-254,4kV
Xd - 2 5 % M-1,4076MW^/rd D-O^06MWs/td
11
F 1-5 *80 kra R -0.0182 X *0,1322
P -G 5 M W
Q»35ł08Mvar
‘1,9108 MWs2/rd
*0,524 MWs/td
S n=200mva Pm=80MW IEI = 264W Xrf-2 0 % M*3J321&
młlti
D -0 ,5 3 MWs/fd
Rys. 1. Schemat układu elektroenergetycznego przyjętego do analizy w przy
kładzie 1
Edward Iawera, Zbigniew Bartoń
Rys. 2. Przebieg w czasie w stanie zakłóceniowym wskaźnika identyfikacji Wt w przykładzie 1
Kryteriom oceny stabilności dynamiezne.1... J A L
Bi-.ykład 28
Obliczenia przeprowadzono dla systemu pokazanego na rys. 3, a badanego w pracach [3] oraz [6].
Barometry badanego systemu, wyrażone w jednostkach względnych, podano również na rysunku 3. Założono, że w układzie wystąpiło 3-fezowe zwarcie trwające 0,4 s w pobliżu szyn 3, które spowodowało wyłączenie linii 3-4.
Na rysunku 4 pokazano przebieg w czasie, w stanie zakłóceniowym wskaź
nika identyfikacji ...4)* Wskaźnik największe wartości przyj
muje dla generatora 08.
Sn=m o o m va M=75350 Pm- 0,0532 D ~ l,0 IE!= 1,000
Xd-qoo4
P «0 ,3 IE I-< P 8 4
Xd « Q ,5
M =22SO D - 2 , 5
P «02t t E I-4 ,0 2 5
Xd .O^ł M -1 5 0 8
n - e
Rys, 3. Schemat układu elektroenergetycznego przyjętego do analizy w przy
kładzie 2
Współrzędne punktu materialnego
Fys. 4. Przebieg w czasie w stanie zakłóceniowym wskaźnika identyfikacji w przykładzie 2
Współrzędne punktu kryterialnego określono tym razem w oparciu o funk
cję iapunowa opisaną relacją (8j [6|s
V(S,<o)
r n-"l
L i=1
X MiMjr"i-“j)2 j=i+1i r n
7 2 ^ J L k=1
n-1 n
EiEj b.^ cos(5®-gij|) - cosfS^Bj) - 1=1 j=i+1
(8)
- (Si - ¿5, + 6? - s!) sin (S? - S®),
gdzie oznaczenia analogiczne są jak dla relacji (6) i (l).
Kryterium oceny stabilności dynamicznej..
Funkcja V osiągała minimalną wartość VmlQ = 1,018, gdy generator G8 wy
padał z synchronizmu. Dla pozostałych, stanów układu wartości funkcji V w każdym przypadku były większe od Vmin I6 ]*
5. Wnioski i uwagi końcowe
Kryterium proponowane w niniejszym artykule dotyczy jednej z głównych trudności na drodze do praktycznego zastosowania bezpośredniej metody La- punowa do badania stabilności dynamicznej systemu elektroenergetycznego.
Przedstawione podejście pozwala wyeliminować zasadnicze trudności związa
ne z określaniem granicy obszaru stabilności, zmniejszając czasochłonność procesu obliczeniowego.
Należy ponadto podkreśiić, że wyznaczanie wskaźnika identyfikacji W^
nie powoduje skomplikowania cyklu obliczeń, ponieważ metoda Lapunowa i tak wymaga całkowania numerycznego układu równań stanu systemu elektro
energetycznego w stanie zakłóceniowym. Przedstawione w artykule dwa różne przykłady obliczeniowe potwierdzają korzyści wynikające z zastosowania tego kryterium.
LITERATURA
[1] Andriejuk W.A.: Primienienije wtorowo mietoda Ljapunowa dla isslie- dowanija dinamiczeskoj ustojcziwosti elektroenergeticzeskich sistem.
Izd. Nauka, Nowosibirsk 1966.
[2] Aylett P.D.: The transient-energy criterion of transient stability limits of power systems. Prac. I.E.E., vol. 105, 1958.
[3] El-Abiad A.H., Nagappan K.: Transient stability regions of multima
chine power systems. I.E.E. Trans, on Power App. and Systems. Vol.
PAS-85, Febr. 1966.
[4] El-Abiad A.H., Prabhakara F.S.: A simplified determination of stabi
lity regions for Lyapunov methods. I.E.E. Trans, on Power npp. and Systems. Vol. PAS-84, H-Ap. 1975.
[5] Giess G.E.: The direct method of Liapunov applied to transient power stability. I.E.E. Trans. Power App. and Systems. Vol. PAS-86, Dec.
1966
.
[6] Gupta C.L., El-Abiad A.H.: Determination of the closest unstable equilibrium state for Liapunov method in transient stability studies.
I.E.E. Trans, on Power App. and Systems. Vol. PAS-95 Sept. 1976.
[7] Jasicki Z.: Zjawiska nieustalone w układach elektroenergetycznych, WNT, Warszawa 1969.
[8] Kamiński A.: Równowaga współpracy układów elektroenergetycznych,WKT, Warszawa 1956.
[9] Kimbark E.W.: Power system stability. Vol. 1 Wiley li.A. 194S.
[10] Magnusson P.C.: The transient-energy method of calculating stability Trans. A.I.E.E. Vol. 66, 1947.
[11] Moore J.B., Anderson D.O.: A generalization of the Pcpov criterion.
J. Franklin Inst. Vol. 285, June 1968.
146 Edward Lawera. Zbigniew Bartoń
[12] Dai M.A. i in.: Power system transient stability regions using Po
pov's method. Trans. i.E.E. Vol. PAS-69, May-June 1970.
[13] Ribbens-Bavella M., Lemal B.: East determination of stability re
gions for in-line transient power-system studies. Proc. I.E.E. Vol.
123, July 1976.
[1 4 ] Starachow S.W., Wajman M.J.t Sowriemiennoje sostajanije i wozmożnos-
ti praktiqzeskowo priraienienija wtorowo mietoda Ljapunowa dla ra3- csieta dynamiczeskoj ustojcziwosti elektroenergeticzeskich sistiem.
Elektriczestwo 10/1977.
[15] Wienikow W.A. i in.: Wozmożnosti, mietodologia i perspektywy isslje- dowanija ustojcziwosti elektriczeskich. sistiem. Elektriczestwo 12/1972.
[ 16] Willems J.L., Willems J.C.: The application of Lyapunov methods to the computation of transient stability regions for multimaohine po
wer systems. Trans. I.E.E., Vol. PAS-89, May-June 1970.
[17] Zasławskaja T.B., Tagirow H.A.: Analiz ustojcziwosti elektriczeskioh sistiem pri koniecznych wozmyszczienijach mietodom funkcji Ljapunova.
Izd. Nauka, Nowosybirsk 1966.
[18] Udrycka-Hassmann A.: Metoda orientacyjna badania stabilności systemu elektroenergetycznego oparta na drugiej zasadzie Lapunowa. Praca dok
torska I.En., Warszawa 1976.
KPHTEPtiM OUEHKK AKHAMHNECKOil yCTOiiHHBOCTH ŁlHOrOMAUJKHHOii 3HEPT0CHCTEMH,
HOCJIEAyEMOK METOAOM JISIUTHOBA
P e 3 n m e
O n p eflejieH H e r p a H a r a o f i o S j i a c i a cT afiajib H O C T a a B j i a j i o c b r o c a x n o p o;j,hzm h 3 H a a d o n e e r p y a o g M K a x S T a n o B p a c a g i O B n p oso^H M b ix o n p aw eH eH aeM B i o p o r o M eT0.ua J la n y H O B a . B o i a T b e n p e ,n .n a r a e T c a h o b h A K p a i e p a A n 03B 0M K >m aA c y m e o T B u ie a b H C co K p a T H T b Bp eM a o t oR a a c T a p a c v e T O B . B B e a e H o n o H H T ae H H T e r p a jib H o r o n o a a 3 a - T e jia H ^eH iaipH K auH K n e p e x o ^ H o r o n p o u e o o a , ,ąaH a e r o H H i e p n p e i a u n a a c n o c o O . o n p e f le J ie H H a . IIp aB e,ąeH H « B a a a cjie H H H e n p m a e p a a j ix a J i J n o c i p a u a a a b o s m g x c k o c tk
n p o B e p a a n p e ^ o i a B A a e M o r o K p a t e p a a .
Kryterlaoi oceny stabilno^ci dynamiczne.1.
A TRANSIENT STABILITY DETERMINATION CRITERION FOR A MULTIJIACHINE POWER oYSTEM VIA THE LYAPUNOV METHOD ANALYSIS
S u m m a r y
Determination of boundary stability regions has been the most time-con
suming part in the practical application of the Lyapunov method for power systems transient stability studies.
The paper presents a criterion computationally faster then those used up to now.
An integral identification index of the transient state for the appro
ximation for the closest unstable equilibrium state has been proposed. A new approach based on the physical behaviour of the power system is pre
sented. Numerical results of the test studies on two different 4-machine power systems have been given. They illustrate and confirm the procedure suggested.
I
