Kryterium oceny stabilności dynamicznej wielomaszynowego układu elektroenergetycznego badanej metodą Lapunowa

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Serias ELEKTRYKA z. 62

1978 Nr kol. 573

Zbigniew BARTOŃ Edward LAWERA Politechnika Śląaka

Instytut Elektroenergetyki i Sterowania Układów

KRYTERIUM OCENY STABILNOŚCI DYNAMICZNEJ

WIELOMASZYNOWBGO UKiADU ELEKTROENERGETYCZNEGO BADANEJ METODĄ LAPUNOWA

Streszczenie. Określenie granicznego obszaru stabilnośoi było do­

tychczas jednym z najbardziej czasochłonnych etapów obliczeń prowa­

dzonych bezpośrednią metodą Lapunowa. W artykule zaproponowano nową metodę, pozwalającą znacznie skrócić czas tej części obliczeń w po­

równaniu z metodami dotychczas stosowanymi.

Wprowadzono pojęcie, całkowego i wskaźnika identyfikacji przebie­

gu przejściowego, podano jego interpretację i wskazano sposób jego wyznaczania. Zamieszczono ponadto dwa różne przykłady obliczeniowe*

które ilustrują i pozwalają sprawdzić przedstawioną procedurę.

1. Wprowadzenie

Stosowane dotychczas metody badania stabilności pracy systemów elek­

troenergetycznych bazują na określaniu kątów rozohyłów wirników generato­

rów pracujących w systemie elektroenergetycznym [9] , [7] , [8] . 0 ile dla układów o ilości maszyn n ¡S 2 istnieje kryterium ilościowe sformułowane jako zasada równości pól pozwalająca wnioskować odnośnie stabilności pra­

cy z przebiegów kątów rozchyleń wirników nie przekraczających wartości 1T, to dla układów wielomaszynowyeh badania kątów między poszczególnymi para­

mi maszyn muszą odbywać się w większych przedziałach czasowych.

Przy badaniu równowagi układu n-maszynowego o stabilności wnioskować można z przebiegów czasowych ^ (n-1) kątów uzyskiwanych % rozwiązania 2n-1 nieliniowych równań: fróżniczKowych; (r.rj opisujących dynamikę syste­

mu elektroenergetycznego. Badanie równowagi polegające na rozwiązywaniu wspomnianych r.r nawet przy zastosowaniu skomputeryzowanych metod obli­

czeniowych jest możliwe tylko dla ograniczonej liczby maszyn, przy czym ilość ta związana jest, z dokładnością stosowanego modelu matematycznego.

Powyższe trudności skłoniły do szukania innych rozwiązań, które poszły m.in. w kierunku możliwości zastosowania ogólnych kryteriów znanych w te­

orii sterowania i regulacji, a w szczególności bezpośredniej metody Lapu­

nowa.

Bdward Lawera. Zbigniew Bartoh.

Stosowanie II metody Lapunowa do badań równowagi dynamicznej układów elektroenergetycznych nie stwarza konieczności badania przebiegów przej­

ściowych kątów wzajemnych rozchyleń maszyn, a sprowadza się do badania wartości i zachowania funkcji V charakterystycznej dla tej metody. Funk­

cję tę tworzy się w oparciu o sprowadzony do postaci równań stanu układ równań różniczkowych opisujących dynamikę systemu elektroenergetycznego, przy wprowadzeniu transformacji początku układu do punktów równowagi w stanie pozakłóceniowym.

Pierwsze próby zastosowań metody Lapunowa prowadzone były m.in. przez Zasławską i Tagirowa [17] oraz przez Magnu3sona [10] , przy czym zastoso­

wana funkcja nosiła nazwę funkcji energii stanu przejściowego. Bardziej ogólne wyniki uzyskane zostały m.in. przez Ayletta [12] w zaproponowanym tzw. całkowym kryterium energetycznym.

Metodę Lapunowa kolejno rozwinęli w swoich pracach m.in. Andriejuk {1], Gless [5], El-Abiad i Nagappan [3], Wiennikow [15] oraz bracia Willem3 [16]

i Sta rac ho w [14] .

Pierwsze prace dotyczyły układów jednomaszynowych przyłączonych do sie­

ci sztywnej oraz dwumaszynowych. Wielu autorów koncentrowało swoje wysił­

ki na systematycznej konstrukcji funkcji V. W końcu w oparciu o prace Moore’a-Andersona [11] , uogólniającą kryterium Popowa, dla układów nieli­

niowych sformułowano podstawy analizy systemów n-maszynowych metodą Lapu­

nowa.

Dotychczasowe badania wiążące się z wykorzystaniem wspomnianej zasady, mimo że podejmowane przez wielu autorów, nie rozwiązują jednak całego sze­

regu zagadnień związanych z zastosowaniem jej do praktycznych badań rów­

nowagi dynamicznej. Wymagają w związku z tym dalszych studiów w celu roz­

wiązania pozostałych problemów.

2. Funkcja V dla układu elektroenergetycznego

Istnieje wiele metod pozwalających skonstruować funkcję V przydatną do badań stabilności dynamicznej. Wygodnie jest jednak wykorzystywać funkcję mającą konkretną fizyczną interpretacje. W przypadku systemu elektroener­

getycznego funkcja taka odzwierciedlać powinna całkowitą energię badanego układu, czyli powinna być sumą energii kinetycznych i potencjalnych całe­

go systemu.

Dla układu elektroenergetycznego opisanego równaniem stanu:

X = AZ - BF(6).

6 = CX,

Kryterium oceny stabilności dynamiezae.1» 137

gdzie s

X,P^6) i S - są odpowiednio wektorami stanu sterowania i odpowiedzi, A, 3, C - są macierzami o stałych elementach.

Funkcję o wspomnianych wyżej właściwościach można uzyskać z następują­

cej zależności [12] s

L °iX

V(x) = XTPX + 2 li f (Z)

i=1 o

gdzie:

°r%"1^ J • 1 = 1*2,

- jest wierszem macierzy C.

W równaniu (2) macierz P określona jest przez rozwiązanie układu rów­

nań macierzowych Riccatiego.

Jak wynika z relacji ? Z) do określenia funkcji V niezbędne są ponadto:

macierz admitancji układu w stanie pozakłóceniowym, którą uzyskuje się po dokonaniu inwersji podmacierzy stanu przedzakłóceniowegoj pozakłóceniowe punkty równowagi, które uzyskuje się po rozwiązaniu układu nieliniowych algebraicznych równań opisujących stan systemu po wyłączeniu zaburzenia.

W celu określenia obszaru stabilności dynamicznej systemu elektroener­

getycznego należy wyznaczyć tzw. krytyczną (kryterialną) wartość funkcji (2). Wartość ta jest w ogólnym przypadku hiperpowierzehnią i można ją zde­

finiować jako:

Vc = min|y(X)j t(x) = o}. (3)

Dotychczas wykorzystano wiele metod w celu wyznaczenia wartości V,,. Do najczęściej stosowanych sposobów w badaniach układów n-maszynowych zali­

czyć można:

a) stosowanie skomplikowanych programów minimalizacyjnych [15], [18], b) wyznaczenie 2 (2n-1-l) najbliższych punktów równowagi nietrwałej, [3],

[13] , [16] .

Metoda pierwsza była i jest jednak czaso- i pracochłonna oraz wymaga dysponowania odpowiednio rozbudowanym oprogramowaniem i oprzyrządowaniem maszyny cyfrowej. Metoda druga, stosowana w większości przypadków, polega z kolei na wyznaczeniu rozwiązań układu nieliniowych równań algebraicz­

nych. Obydwie więc^metody sprawiały wiele trudności i powodowały zmniej­

szenie atrakcyjności przy praktycznym stosowaniu do badania równowagi dy­

namicznej bezpośredniej metody Lapunowa. Podejmowano w związku z powyż-

118 Edward Lawera. Zbigniew'Bartoń

azym próby uproszczenia procedury wyznaczania Vg. Usiłowania te rozwijały się w dwóch kierunkach. Jeden polegał na wyznaczaniu przybliżonej wartoś­

ci Vę [4] , drugi natomiast starał się na podstawie lokalizacji zakłócenia i analizy układu sieciowego określić stany układu elektroenergetycznego, które w konkretnej sytuacji nie mogą wystąpić 1 które należy wykluczyć, co redukowało liczbę rozważanych rozwiązań wspomnianego układu równań róż­

niczkowych 2(2n“1-l) do f2n-3) [6]. Brak było jednak w dalszym ciągu kry­

terium, które pozwoliłoby w możliwie szybki sposób określić stan odpowia­

dający granicy obszaru stabilności systemu badanego. Przyjęcie .takiego kryterium proponuje się w niniejszym artykule.

3. Kryterium całkowe identyfikacji stanu układu elektroenergetycznego

Rozważmy n-maszynowy system elektroenergetyczny. Jeżeli system znajdu­

je się w stanie ustalonym, wtedy wszystkie generatory wirują z prędkością synchroniczną, a zapotrzebowanie mocy odpowiada generacji i jest zgodne z szeregiem nałożonych ograniczeń, m.in. w stosunku do napięć, częstotli­

wości ltp. Jeżeli jednak w określonym miejscu układu wystąpi np. zakłóce­

nie zwarciowe, wtedy stan równowagi układu zostanie naruszony.

V zależności od korelaoji parametrów własnych i wzajemnych pewne gene­

ratory zaczną przyspieszać, inne natomiast będą opóźniały się. Po likwi­

dacji zakłócenia cały układ już może nie powrócić do stanu przedzakłóce- niowego. Będzie on dążył jednak do osiągnięcia stanu pozakłóceniowego, przy czym z różnych punktów startowych będzie on zmierzał do pojedyncze­

go, ściśle określonego punktu To ile równowaga będzie możliwa) pracy.

Punkcja Iapunowa, jak podkreślono w p. .2, jest uogólnioną funkcją ener­

gii. Przedstawia ona energię systemu elektroenergetycznego w różnych punk­

tach przestrzeni stanu, a relaoja V=VC reprezentuje hiperpowierzchnię o stałej energii w rozważanej przestrzeni. Określenie granicy obszaru sta­

bilności odpowiada znalezieniu takiej hiperpowierzchni, która jest naj­

bliższą w stosunku do pozakłóceniowego stanu równowagi, w którym V jest równa zeru.

Zagadnienie sprowadza się więc do znalezienia takiego stanu układu e- lektroenergetycznego, dla którego funkcja V przyjmuje wartość minimalną.

Wystąpienie zwarcia fizycznie oznaczać może wzrost energii systemu w czasie trwania stanu nieustalonego. Ten wzrost przejściowej energii powo­

duje, że określone maszyny przyspieszają zwiększając przy tym kąty wza­

jemnych rczchyleń.

Do oceny energii poszczególnych maszyn proponuje się w związku z powyż­

szym zastosować całkowy wskaźnik identyfikacji stanu określony następują­

cą relacją:

t

o

Kryterium oceny stabilności dynamiczne.i«. 139

gdzie:

- zmienna stanu maszyny i i = 1,2, ..., n,

t' - chwila przed wystąpieniem zakłócenia.

Przyjęcie jako zmiennej stanu, w określonym zależnością (4) kryterium, funkcji kąta § (t) i znalezienie maksymalnej wartośoi wskaźnika W.^ (który liczony jest w stanie zakłóceniowym), pozwala zidentyfikować maszynę, a tym samym uzyskać rozwiązanie, dla którego funkcja V osiąga minimum.

4. Przykłady obliczeniowe

Zaproponowane w niniejszym artykule kryterium zastosowano do określe­

nia współrzędnych! punktów kryterialnyoh J dla dwóch różnych systemów.

W obydwu przypadkach punkty równowagi systemu w stanie pozakłócenio­

wym wyznaczono rozwiązując metodą Newtona-Raphsona układ równań różnicz­

kowych opisujących stan systemu po likwidacji zakłócenia. W układzie rów­

nań stanu (i), spełniając wymagania całkowitej sterowalności i obserwo- walności systemu, przyjęto dla przypadku niejednorodnego tłumienia nastę­

pujące zmienne stanu [12] 1

Takie przyjęcie zmiennych stanu zdeterminowało postać wektora sterowa­

nia, który w tym przypadku przedstawić można w postaci relacji (s)s i a 1,2, n

s -s 1 1 " sj+r*

j S5 1j2f •••» 11—1« (5)

i = 1,2,

j = (i+1)

gdzie:

5 - kąt wirnika,

Ss - kąt wirnika w stanie pozakłócenicwym,

E - napięcie za reaktancją X(j,

b - susceptancja zredukowanego systemu elektroenergetycznego, ó - względna różnica kątów odpowiednich maszyn.

Kryterielny stan układu identyfikowano w oparciu o wartości wskaźników identyfikacji (4). W celu weryfikacji wyników wyznaczono krytyczną war­

tość funkcji V metodą proponowaną w pracy {13] i określono atan układu spełniający relację (3). Wyniki obliczeń przedstawiono w przykładach 1 oraz 2.

140_____________________________________ Edward Ławera. Zbigniew Bartoń

Przykład 1

Obliczenia przeprowadzono dla systemu, którego schemat oraz parametry podano na rys. 1. Założono, że w układzie wystąpiło zwarcie 3-fazowe,trwa­

jące 0,33 s w pobliżu szyn 9, które spowodowało wyłączenie linii L5.

Ha rysunku 2 pokazano przebieg w czasie, w stanie zakłóceniowym wskaź­

nika identyfikacji W^. Porównując wielkości wskaźnika obliczane dla po­

szczególnych maszyn można zauważyć, że przyjmuje on największą wartość dla generatora 04.

Współrzędne punktu kryterialnego określono z kolei w tradycyjny sposób w oparciu o następującą postać funkcji Lapunowa [13] :

n-1 n

V(S,w) = X

X

gdzie:

K = $ ( S 3 ),

(¿•s,0) - punkt równowagi trwałej w stanie pozakłóceniowym, Aij = Ei. Ej Yij»

- moment bezwładności określonej maszyny, M = X M i,

n - liczba maszyn w systemie.

Funkcja V osiągała minimalną wartość V = 0,08258 również wtedy, gdy generator 04 wypadał z.synchronizmu. Dla pozostałych stanów obliczono talo- że wartości funkcji V i były one w każdym przypadku większe od V ln.

Kryterium oceny stabilności dynamiczne, 1 . « . __________________ 141

Sn= ^ 2 5 M V A M = 2 ,3 8 8 M W s 2/ r d Pm-65M W D-CfTMWs/rd

|EI-251kV Xd =2S%

01 P=30MW Q=-fĄ£7Mvar

L1=30km R=0,0068 X-0,0496

L 4 » 5 0 k m R-O.CH13 X*0 ,0 8 2 6

V

/

I

|

DC

L 2 *20 km"

R»QP045 x*qos3i

L 5*100km L7=60 km

.10

L6=40kń71

S N « 1 JOM VA v S Pm -6 0 M W IE I =24'2kV Xd = 17%

M - X>

02

P=140 MW Q * 5ą64 Mvar

R-Qfl09l X=0,0992 05

8

Sn*65MVA

§J P m " « « 8. IEI-254,4kV

Xd - 2 5 % M-1,4076MW^/rd D-O^06MWs/td

11

F 1-5 *80 kra R -0.0182 X *0,1322

P -G 5 M W

Q»35ł08Mvar

‘1,9108 MWs2/rd

*0,524 MWs/td

S n=200mva Pm=80MW IEI = 264W Xrf-2 0 % M*3J321&

młlti

D -0 ,5 3 MWs/fd

Rys. 1. Schemat układu elektroenergetycznego przyjętego do analizy w przy­

kładzie 1

Edward Iawera, Zbigniew Bartoń

Rys. 2. Przebieg w czasie w stanie zakłóceniowym wskaźnika identyfikacji Wt w przykładzie 1

Kryteriom oceny stabilności dynamiezne.1... J A L

Bi-.ykład 28

Obliczenia przeprowadzono dla systemu pokazanego na rys. 3, a badanego w pracach [3] oraz [6^].

Barometry badanego systemu, wyrażone w jednostkach względnych, podano również na rysunku 3. Założono, że w układzie wystąpiło 3-fezowe zwarcie trwające 0,4 s w pobliżu szyn 3, które spowodowało wyłączenie linii 3-4.

Na rysunku 4 pokazano przebieg w czasie, w stanie zakłóceniowym wskaź­

nika identyfikacji ...4)* Wskaźnik największe wartości przyj­

muje dla generatora 08.

Sn=m o o m va M=75350 Pm- 0,0532 D ~ l,0 IE!= 1,000

Xd-qoo4

P «0 ,3 IE I-< P 8 4

Xd « Q ,5

M =22SO D - 2 , 5

P «02t t E I-4 ,0 2 5

Xd .O^ł M -1 5 0 8

n - e

Rys, 3. Schemat układu elektroenergetycznego przyjętego do analizy w przy­

kładzie 2

Współrzędne punktu materialnego

Fys. 4. Przebieg w czasie w stanie zakłóceniowym wskaźnika identyfikacji w przykładzie 2

Współrzędne punktu kryterialnego określono tym razem w oparciu o funk­

cję iapunowa opisaną relacją (8j [6|s

V(S,<o)

r n-"l

L i=1

i r n

7 2 ^ J L k=1

n-1 n

EiEj b.^ cos(5®-gij|) - cosfS^Bj) - 1=1 j=i+1

(8)

- (Si - ¿5, + 6? - s!) sin (S? - S®),

gdzie oznaczenia analogiczne są jak dla relacji (6) i (l).

Kryterium oceny stabilności dynamicznej..

Funkcja V osiągała minimalną wartość VmlQ = 1,018, gdy generator G8 wy­

padał z synchronizmu. Dla pozostałych, stanów układu wartości funkcji V w każdym przypadku były większe od Vmin I6 ]*

5. Wnioski i uwagi końcowe

Kryterium proponowane w niniejszym artykule dotyczy jednej z głównych trudności na drodze do praktycznego zastosowania bezpośredniej metody La- punowa do badania stabilności dynamicznej systemu elektroenergetycznego.

Przedstawione podejście pozwala wyeliminować zasadnicze trudności związa­

ne z określaniem granicy obszaru stabilności, zmniejszając czasochłonność procesu obliczeniowego.

Należy ponadto podkreśiić, że wyznaczanie wskaźnika identyfikacji W^

nie powoduje skomplikowania cyklu obliczeń, ponieważ metoda Lapunowa i tak wymaga całkowania numerycznego układu równań stanu systemu elektro­

energetycznego w stanie zakłóceniowym. Przedstawione w artykule dwa różne przykłady obliczeniowe potwierdzają korzyści wynikające z zastosowania tego kryterium.

LITERATURA

[1] Andriejuk W.A.: Primienienije wtorowo mietoda Ljapunowa dla isslie- dowanija dinamiczeskoj ustojcziwosti elektroenergeticzeskich sistem.

Izd. Nauka, Nowosibirsk 1966.

[2] Aylett P.D.: The transient-energy criterion of transient stability limits of power systems. Prac. I.E.E., vol. 105, 1958.

[3] El-Abiad A.H., Nagappan K.: Transient stability regions of multima­

chine power systems. I.E.E. Trans, on Power App. and Systems. Vol.

PAS-85, Febr. 1966.

[4] El-Abiad A.H., Prabhakara F.S.: A simplified determination of stabi­

lity regions for Lyapunov methods. I.E.E. Trans, on Power npp. and Systems. Vol. PAS-84, H-Ap. 1975.

[5] Giess G.E.: The direct method of Liapunov applied to transient power stability. I.E.E. Trans. Power App. and Systems. Vol. PAS-86, Dec.

1966

.

[6] Gupta C.L., El-Abiad A.H.: Determination of the closest unstable equilibrium state for Liapunov method in transient stability studies.

I.E.E. Trans, on Power App. and Systems. Vol. PAS-95 Sept. 1976.

[7] Jasicki Z.: Zjawiska nieustalone w układach elektroenergetycznych, WNT, Warszawa 1969.

[8] Kamiński A.: Równowaga współpracy układów elektroenergetycznych,WKT, Warszawa 1956.

[9] Kimbark E.W.: Power system stability. Vol. 1 Wiley li.A. 194S.

[10] Magnusson P.C.: The transient-energy method of calculating stability Trans. A.I.E.E. Vol. 66, 1947.

[11] Moore J.B., Anderson D.O.: A generalization of the Pcpov criterion.

J. Franklin Inst. Vol. 285, June 1968.

146 Edward Lawera. Zbigniew Bartoń

[12] Dai M.A. i in.: Power system transient stability regions using Po­

pov's method. Trans. i.E.E. Vol. PAS-69, May-June 1970.

[13] Ribbens-Bavella M., Lemal B.: East determination of stability re­

gions for in-line transient power-system studies. Proc. I.E.E. Vol.

123, July 1976.

[1 4 ] Starachow S.W., Wajman M.J.t Sowriemiennoje sostajanije i wozmożnos-

ti praktiqzeskowo priraienienija wtorowo mietoda Ljapunowa dla ra3- csieta dynamiczeskoj ustojcziwosti elektroenergeticzeskich sistiem.

Elektriczestwo 10/1977.

[15] Wienikow W.A. i in.: Wozmożnosti, mietodologia i perspektywy isslje- dowanija ustojcziwosti elektriczeskich. sistiem. Elektriczestwo 12/1972.

[ 16] Willems J.L., Willems J.C.: The application of Lyapunov methods to the computation of transient stability regions for multimaohine po­

wer systems. Trans. I.E.E., Vol. PAS-89, May-June 1970.

[17] Zasławskaja T.B., Tagirow H.A.: Analiz ustojcziwosti elektriczeskioh sistiem pri koniecznych wozmyszczienijach mietodom funkcji Ljapunova.

Izd. Nauka, Nowosybirsk 1966.

[18] Udrycka-Hassmann A.: Metoda orientacyjna badania stabilności systemu elektroenergetycznego oparta na drugiej zasadzie Lapunowa. Praca dok­

torska I.En., Warszawa 1976.

KPHTEPtiM OUEHKK AKHAMHNECKOil yCTOiiHHBOCTH ŁlHOrOMAUJKHHOii 3HEPT0CHCTEMH,

HOCJIEAyEMOK METOAOM JISIUTHOBA

P e 3 n m e

O n p eflejieH H e r p a H a r a o f i o S j i a c i a cT afiajib H O C T a a B j i a j i o c b r o c a x n o p o;j,hzm h 3 H a a d o n e e r p y a o g M K a x S T a n o B p a c a g i O B n p oso^H M b ix o n p aw eH eH aeM B i o p o r o M eT0.ua J la n y H O B a . B o i a T b e n p e ,n .n a r a e T c a h o b h A K p a i e p a A n 03B 0M K >m aA c y m e o T B u ie a b H C co K p a T H T b Bp eM a o t oR a a c T a p a c v e T O B . B B e a e H o n o H H T ae H H T e r p a jib H o r o n o a a 3 a - T e jia H ^eH iaipH K auH K n e p e x o ^ H o r o n p o u e o o a , ,ąaH a e r o H H i e p n p e i a u n a a c n o c o O . o n p e f le J ie H H a . IIp aB e,ąeH H « B a a a cjie H H H e n p m a e p a a j ix a J i J n o c i p a u a a a b o s m g x c k o c tk

n p o B e p a a n p e ^ o i a B A a e M o r o K p a t e p a a .

Kryterlaoi oceny stabilno^ci dynamiczne.1.

A TRANSIENT STABILITY DETERMINATION CRITERION FOR A MULTIJIACHINE POWER oYSTEM VIA THE LYAPUNOV METHOD ANALYSIS

S u m m a r y

Determination of boundary stability regions has been the most time-con­

suming part in the practical application of the Lyapunov method for power systems transient stability studies.

The paper presents a criterion computationally faster then those used up to now.

An integral identification index of the transient state for the appro­

ximation for the closest unstable equilibrium state has been proposed. A new approach based on the physical behaviour of the power system is pre­

sented. Numerical results of the test studies on two different 4-machine power systems have been given. They illustrate and confirm the procedure suggested.

I