Na egzaminie z matematyki dyskretnej pojawią się:
cztery zadania podobne do tych rozwiązywanych na ćwiczeniach (każde za jeden punkt) oraz sześć pytań z poniższej listy (też każde za jeden punkt).
(1) (a) Kiedy dwa zbiory nazywamy równymi? Podaj przykład zbiorów równych.
(b) Podaj definicję i przykład sumy zbiorów.
(c) Podaj definicję i przykład różnicy zbiorów.
(d) Podaj definicję i przykład iloczynu (mnogościowego) zbiorów.
(e) Podaj definicję i przykład iloczynu kartezjańskiego zbiorów.
(f) Podaj definicję funkcji bxc (podłoga).
(g) Podaj definicję funkcji dxe (sufit).
(h) Podaj definicję i przykład relacji.
(i) Kiedy zbiory nazywamy równolicznymi? Podaj przykład dwóch różnych zbiorów, które są przeliczalne.
(j) Podaj dowolny sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego na dwójkowy.
(k) Dodaj do siebie dwie dowolnie∗ wybrane liczby (co najmniej dwucyfrowe) zapisane w systemie dwójkowym.
(l) Odejmij od siebie dwie dowolnie∗ wybrane liczby (co najmniej dwucyfrowe) zapisane w systemie dwójkowym.
(m) Pomnóż przez siebie dwie dowolnie∗ wybrane liczby (co najmniej dwucyfrowe) zapisane w systemie dwójkowym.
(n) Podziel przez siebie dwie dowolnie∗ wybrane liczby (co najmniej dwucyfrowe) zapisane w systemie dwójkowym.
(2) (a) Sformułuj zasadę indukcji matematycznej.
(b) Udowodnij dowolnie∗ wybrany wzór stosując zasadę indukcji matematycznej.
(c) Podaj siedem pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego.
(3) (a) Sformułuj prawo sumy.
(b) Jak definiujemy współczynnik dwumienny Newtona?
(c) Podaj i udowodnij wzór rekurencyjny na współczynnik dwumienny Newtona.
(d) Sformułuj zasadę szufladkową.
(e) Sformułuj prawo iloczynu.
(f) Uzasadnij wzór na liczbę różnych n-elementowych ciągów złożonych z zer i jedynek.
(g) Uzasadnij wzór na liczbę różnych funkcji działających ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy.
(h) Uzasadnij wzór na liczbę różnych injekcji działających ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy.
(i) Uzasadnij wzór na liczbę różnych bijekcji działających ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy.
(j) Sformułuj prawo włączania-wyłączania (dla trzech zbiorów).
(4) (a) Podaj definicję i przykład podkostki kostki binarnej.
(b) Podaj przykład podkostki wymiaru 2 kostki binarnej Q4.
(c) Znajdź najmniejszą podkostkę kostki binarnej Q5 zawierającą dowolne∗ dwa wierzchołki tej kostki.
(d) Ile jest k-wymiarowych podkostek kostki Qn. Odpowiedź uzasadnij.
(e) Podaj trzy różne kody Graya długości trzy.
1
2
(5) (a) Podaj definicję i przykład permutacji.
(b) Podaj przykład złożenia permutacji.
(c) Podaj przykład permutacji odwrotnej do dowolnie wybranej permutacji.
(d) Kiedy permutację nazywamy cyklem?
(e) Rozłóż dowolnie wybraną permutację na rozłączne cykle.
(f) Podaj definicję i przykład punktu stałego permutacji.
(g) Kiedy permutację nazywamy nieporządkiem. Podaj przykład.
(h) Podaj definicję i przykład permutacji z powtórzeniami.
(i) Podaj definicję i przykład kombinacji.
(j) Podaj definicję i przykład kombinacji z powtórzeniami.
(k) Podaj definicję i przykład wariacji.
(l) Podaj definicję i przykład wariacji z powtórzeniami.
(m) Ile jest różnych rozwiązań równania x1 + x2 + · · · + xk = n w zbiorze N (tu: k, n ∈ N)?
Podaj wszystkie rozwiązania dla k = 2, n = 3.
(n) Ile jest różnych rozwiązań równania x1+ x2+ · · · + xk = n w zbiorze N+ (tu: k, n ∈ N)?
Podaj wszystkie rozwiązania dla k = 2, n = 3.
(6) (a) Na ile różnych sposobów można rozmieścić n rozróżnialnych przedmiotów w k rozróżnial- nych pojemnikach? Zilustruj to przykładem dla n = 2 oraz k = 2.
(b) Na ile różnych sposobów można rozmieścić n rozróżnialnych przedmiotów w k rozróżnial- nych pojemnikach tak, by w każdym pojemniku był co najwyżej jeden przedmiot? Zilustruj to przykładem dla n = 3 oraz k = 2.
(c) Na ile różnych sposobów można rozmieścić n rozróżnialnych przedmiotów w k rozróżnial- nych pojemnikach tak, by w każdym pojemniku był co najmniej jeden przedmiot? Zilustruj to przykładem dla n = 3 oraz k = 2.
(d) Na ile różnych sposobów można rozmieścić n nierozróżnialnych przedmiotów w k rozróż- nialnych pojemnikach? Zilustruj to przykładem dla n = 3 oraz k = 2.
(e) Na ile różnych sposobów można rozmieścić n rozróżnialnych przedmiotów w k rozróżnial- nych pojemnikach z uwzględnieniem porządku w pojemnikach? Zilustruj to przykładem dla n = 2 oraz k = 2.
(f) Podaj definicję funkcji tworzącej dla ciągu (an).
(7) (a) Podaj definicję i przykład relacji zwrotnej.
(b) Podaj definicję i przykład relacji symetrycznej.
(c) Podaj definicję i przykład relacji antysymetrycznej.
(d) Podaj definicję i przykład relacji przechodniej.
(e) Podaj definicję i przykład relacji równoważności.
(f) Podaj definicję i przykład jądra funkcji.
(g) Podaj definicję i przykład klasy abstrakcji.
(h) Podaj definicję i przykład relacji częściowo porządkującej.
(i) Co nazywamy segmentem w zbiorze z relacją częściowo porządkujacą? Podaj przykład.
(j) Narysuj diagram Hassego dla dowolnej∗ relacji.
(8) (a) Podaj definicję i przykład kolorowania n-elementowego zbioru.
(b) Podaj definicję i przykład kolorowań, które nie są istotnie różne (są nierozróżnialne).
(c) Podaj definicję i przykład orbity działania grupy (G-orbity).
(d) Podaj definicję i przykład stabilizatora elementu x ∈ X dla podanej grupy permutacji zbioru X.
3
(e) Podaj definicję i przykład charakteru przekształcenia α należącego do pewnej grupy G przekształceń zbioru X.
(f) Zilustruj na dowolnie∗ wybranym przykładzie lemat Burnside’a.
(g) Niech G będzie dowolną∗ grupą permutacji dowolnego∗ zbioru X. Podaj liczbę istotnie różnych (ze względu na grupę G) kolorowań zbioru X przy użyciu dwóch kolorów.
(h) Niech G będzie dowolną∗ grupą permutacji dowolnego∗ zbioru X. Podaj liczbę istotnie różnych (ze względu na grupę G) kolorowań zbioru X przy użyciu trzech kolorów.
(9) Tu a, b, c to liczby całkowite.
(a) Kiedy a dzieli b?
(b) Udowodnij, że a|a.
(c) Udowodnij, że 1|a.
(d) Udowodnij, że jeśli a|b i b|c, to a|c.
(e) Udowodnij, że jeśli a|b, to a|bc.
(f) Podaj definicję największego wspólnego dzielnika liczb a, b, c.
(g) Zastosuj algorytm Euklidesa dla dowolnie∗ wybranej pary liczb.
(h) Zastosuj rozszerzony algorytm Euklidesa dla dowolnie∗ wybranej pary liczb.
(i) Zastosuj algorytm binarny Steina dla dowolnie∗ wybranej pary liczb.
(10) (a) Kiedy a przystaje do b? Podaj przykład.
(b) Udowodnij, że relacja przystawania modulo m jest relacją zwrotną.
(c) Udowodnij, że relacja przystawania modulo m jest relacją symetryczną.
(d) Udowodnij, że relacja przystawania modulo m jest relacją przechodnią.
(e) Podaj definicję i przykład grupy przemiennej.
(f) Udowodnij, że w każdej grupie jest tylko jeden element neutralny.
(g) Podaj tabelę dodawania modulo 2 w grupie Z2. (h) Podaj tabelę dodawania modulo 3 w grupie Z3. (i) Podaj tabelę dodawania modulo 4 w grupie Z4. (j) Podaj tabelę dodawania modulo 5 w grupie Z5.
(k) Rozwiąż dowolnie∗ wybrane modularne równanie liniowe (kongruencję).
(l) Podaj Chińskie Twierdzenie o Resztach.
(m) Zastosuj na dowolnym∗ przykładzie metodę szybkiego potęgowania modulo.
(11) (a) Co to jest stopień wierzchołka w grafie?
(b) Podaj przykład (rysunek) cyklu w grafie.
(c) Podaj przykład dowolnego grafu skierowanego. Podaj jego macierz sąsiedztwa.
(d) Podaj przykład dowolnego grafu nieskierowanego. Podaj jego macierz sąsiedztwa.
(e) Opisz dowolny graf podając jego słownik.
(f) Podaj definicję i przykład grafu spójnego.
(g) Podaj definicję i przykład grafu niespójnego.
(h) Podaj definicję i przykład grafu acyklicznego.
(i) Podaj definicję i przykład grafu eulerowskiego.
(j) Czy graf eulerowski musi mieć wszystkie wierzchołki parzystego stopnia? Odpowiedź uza- sadnij.
(k) Podaj definicję i przykład grafu hamiltonowskiego.
(l) Podaj jakikolwiek warunek (twierdzenie) gwarantujący istnienie cyklu Hamiltona w grafie.
(m) Podaj definicję i przykład grafu dwudzielnego.
(n) Udowodnij, że kostka Qn zawiera co najmniej jeden kod Graya.
4
(12) (a) Co to znaczy, że wierzchołek pokrywa krawędź? Podaj dowolny przykład.
(b) Podaj definicję nienadmiarowego pokrycia wierzchołkowego grafu. Zilustruj to na dowol- nym przykładzie.
(c) Podaj definicję maksymalnej kliki w grafie. Zilustruj to na dowolnym przykładzie.
(d) Podaj definicję i przykład dopełnienia grafu (do grafu pełnego).
(e) Znajdź wszystkie kliki maksymalne w danym grafie (tu będzie podany albo słownik tego grafu, albo rysunek).
(13) (a) Podaj definicję i przykład drzewa.
(b) Podaj definicję i przykład drzewa spinającego grafu.
(c) Podaj definicję i przykład poddrzewa.
(d) Podaj definicję i przykład drzewa binarnego.
(e) Ile wierzchołków ma pełne drzewo o m rozgałęzieniach i wysokości h? Odpowiedź uzasadnij.
(14) (a) Podaj definicję i przykład grafu ważonego krawędziowo.
(b) Podaj definicję i przykład wagi grafu.
(c) Znajdź minimalne drzewo spinające w dowolnie wybranym grafie ważonym.
(d) Stosując algorytm Dijkstry znajdź drogi o najmniejszej wadze od wybranego wierzchołka do innych wierzchołków w danym grafie skierowanym (tu będzie podany rysunek).
(e) Stosując algorytm Dijkstry znajdź drogi o najmniejszej wadze od wybranego wierzchołka do innych wierzchołków w danym grafie nieskierowanym (tu będzie podany albo słownik tego grafu, albo rysunek).
(f) Podaj definicję i przykład drzewa z wagami.
(g) Podaj definicję i przykład wagi drzewa z wagami.
(h) Podaj definicję i przykład optymalnego drzewa binarnego dla dowolnie∗ wybranego ciągu liczb nieujemnych.
(15) (a) Podaj przykład dowolnej tautologii.
(b) Podaj przykład algebry Boole’a.
(c) Podaj matrycę (boolowską) alternatywy wykluczającej XOR, czyli ⊕.
(d) Podaj wartości funkcji boolowskich odpowiadających bramce:
• NOT
• AND
• OR
• NAND
• NOR
• XOR
(e) Uzasadnij, że ∆[f1(x) + f2(x)] = ∆f1(x) + ∆f2(x).
(f) Uzasadnij, że ∆[cf (x)] = c∆f (x).
(g) Uzasadnij, że ∆(2x) = 2x.
∗ oznacza, że zamiast ”dowolnego” może się pojawić przykład narzucony przez mnie
