Ca lka powierzchniowa skierowana

Ca lka powierzchniowa skierowana

Definicja 1. Orientacja w R² to wyb´or uporzadkowanej pary liniowo niezale˙znych wektor´_, ow takich, ˙ze macierz przej´scia L ma dodatni wyznacznik wzgledem bazy {~i,~j} = {~_, e₁, ~e₂}.

Analogicznie orientacja w R³ to wyb´or uporzadkowanej tr´_, ojki liniowo niezale˙znych wek- tor´ow takich, ˙ze macierz przej´scia L ma dodatni wyznacznik wzgledem bazy {~i,~j, ~k} =_, {~e₁, ~v₂, ~e₃}.

Definicja 2. Niech D ⊂ R² bedzie obszarem. Orientacj_, e okre´_, sla sie tak, ˙ze ka˙zdemu punktowi_, p ∈ D przypisujemy pare wektor´_, ow { ~w₁(p), ~w₂(p)}, kt´ora zmienia sie w spos´_, ob ciag ly wraz z_, punktem p ∈ D.

Definicja 3. Niech G ⊂ R² bedzie obszarem jednosp´_, ojnym, Q ⊂ G domkniety obszar ograni-_, czony krzywa Jordana kawa lkami regularn_, a_,

~r : G → R³, ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k.

Za lo˙zmy, ˙ze Q jest zorientowany dodatnio. Niech para { ~w₁, ~w₂} wyznacza dodatnia orien-_, tacje obszaru Q w punkcie p. Wtedy para wektor´_, ow {~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)} wyznacza orientacje_, w p laszczy´znie stycznej do p lata S w punkcie ~r(p), poniewa˙z

• wektory {~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)} sa liniowo niezale˙zne, bo ~_, r⁰(p) - macierz Jacobiego w punkcie p ma maksymalny rzad (z definicji p lata regularnego)._,

• wektory {~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)} wyznaczaja t_, e sam_, a orientacj_, e w przestrzeni stycznej co_, wektory ~r_u⁰(p), ~r_v⁰(p) (macierz przej´scia od bazy ~r_u⁰(p), ~r⁰_v(p) do bazy {~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)}

ma dodatni wyznacznik

• wektory {~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)} zmieniaja si_, e w spos´_, ob ciag ly wraz ze zmian_, a p ∈ Q,_, poniewa˙z ~r ∈ C¹(Q).

Za orientacje p lata S w punkcie ~_, r(p) przyjmujemy orientacje p laszczyzny stycznej do S w_, punkcie ~r(p) wyznaczona przez wektory {~_, r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)}. Tak zdefiniowana orientacj_, e_, nazywamy indukowana. Og´_, olnie wektory {~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂)} wyznaczaja orientacj_, e p lata_, S je´sli wektory wektory { ~w1, ~w2} zmieniaja si_, e w spos´_, ob ciag ly na Q. P lat regularny z tak_, wybrana orientacj_, a nazywamy p latem regularnym zorientowanym._,

Definicja 4. Wersory normalne w ~r(p):

• _|~^~n_n| := _|~^~r_r^u0^{0(p)×~r0v(p)}

u(p)×~r⁰_v(p)| = _|~^~r_r⁰0(p)( ~^{(p)( ~w}w¹1^)×~)×~^rr⁰⁰(p)( ~^{(p)( ~}w^w2²⁾)|. 1

• −_|~^~n_n| := _|~^~r_r^v0^{0(p)×~r0u(p)}

v(p)×~r⁰_u(p)| = _|~^~r_r⁰0(p)( ~^{(p)( ~w}w²2^)×~)×~^rr⁰⁰(p)( ~^{(p)( ~}w^w1¹⁾)|.

gdzie { ~w₁, ~w₂} maja orientacj_, e zgodn_, a z orientacj_, a {~_, e₁, ~e₂}.

Wyb´or wersora normalnego wyznacza wyb´or strony p lata (orientacje p lata)._,

strona zewnetrzna:= orientacja dodatnia, strona wewn_, etrzna:= orientacja ujemna._, Wektory ~n, ~r⁰(p)( ~w₁), ~r⁰(p)( ~w₂) sa zwiazane ze sob_, a regu l_, a ´_, sruby prawoskretnej._,

Definicja 5. Ca lka powierzchniowa skierowana (zorientowana)

• Niech G ⊂ R² bedzie obszarem jednosp´_, ojnym, Q ⊂ G domkniety obszar ograniczony_, krzywa Jordana kawa lkami regularn_, a ~_,r : G → R³, ~r(u, v) = x(u, v)~i+y(u, v)~j +z(u, v)~k.

• Niech S = ~r(Q) bedzie p latem regularnym. Orientacja p lata jest zadana wersorem_,

~n

|~n| = _|~^~r_r^u00^×~rv0

u×~r_v⁰| (lub _|~^~n_n| = _|~^~r_r^0v0^×~r0u v×~r⁰_u|).

• Niech ~F : S → R bedzie ograniczonym polem wektorowym_, tzn. ~F : S(x, y, z) → [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]

• Tworzymy ciag normalny podzia l´_, ow (Pkn) obszaru Q. Mo˙zemy zak lada´c, ˙ze Pkn jest suma prostok_, at´_, ow Q⁽ⁿ⁾₁ , . . . , Q⁽ⁿ⁾_kn pokrywajacych obszar Q, zawartych w G oraz dla_,

∀i 6= j zachodzi intQ⁽ⁿ⁾_i ∩ intQ⁽ⁿ⁾_j 6= ∅ dla i 6= j.

• Jemu odpowiada podzia l p lata S na p laty S_i⁽ⁿ⁾, i = 1, . . . , k_n. Zadajemy orientacje plata_, S~_i⁽ⁿ⁾ := _|~^~n_n||S_i⁽ⁿ⁾|.

• Wybieramy punkty po´srednie ξ_i⁽ⁿ⁾∈ S_i⁽ⁿ⁾ i tworzymy ciag sum cz_, e´sciowych_, (S_n) = 

Pkn

i=1F (ξ~ ⁽ⁿ⁾_i ) · ~S_i⁽ⁿ⁾

=  Pkn

i=1F (ξ~ _i⁽ⁿ⁾) · _|~^~n_n|

  S_i⁽ⁿ⁾



, gdzie |S_i⁽ⁿ⁾| oznacza pole p lata S_i⁽ⁿ⁾.

Je˙zeli dla ka˙zdego ciagu normalnego podzia l´_, ow (Pkn) prostokata Q odpowiadaj_, acy ci_, ag sum_, (S_n) jest zbie˙zny do tej samej granicy sko´nczonej niezale˙znej od wyboru punkt´ow po´srednich (ξ_i⁽ⁿ⁾) to te wsp´_, olna granic_, e nazywamy ca lk_, a powierzchniow_, a skierowan_, a (zorien-_, towana) z pola F po p lacie S i oznaczamy_,

Z Z

S~

F (x, y, z)d ~~ S

| {z }

calka zorientowana

= Z Z

S~

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy

| {z }

calka zorientowana

.

2

Uwaga 6. Wyra˙zenie ~F ·_|~^~n_n| nazywamy rzutem prostokatnym wektora ~_, F nA wersor _|~^~n_n|. 1. Je˙zeli istnieja ca lki_, RR

S~F~₁(x, y, z)d ~S i RR

S~F~₂(x, y, z)d ~S oraz α, β ∈ R, to istnieje ca lka R R

S~(α ~F₁(x, y, z) + β ~F₂(x, y, z))d ~S oraz Z Z

S~

(α ~F₁(x, y, z) + β ~F₂(x, y, z))d ~S = α Z Z

S~

F~₁(x, y, z)d ~S + β Z Z

S~

F~₂(x, y, z))d ~S.

2. Je˙zeli istnieje ca lka RR

S~F (x, y, z)d ~~ S i S = S₁ ∪ S₂, S₁ i S₂ maja co najwy˙zej wsp´_, olna_, krawedz oraz ∂S_{, 1} i ∂S₂ sa przeciwnie skierowane, to istniej_, a ca lki_, R R

S~1

F (x, y, z)d ~~ S i RR

S~2

F (x, y, z)d ~~ S oraz Z Z

S~

F (x, y, z)d ~~ S = Z Z

S~1

F (x, y, z)d ~~ S + Z Z

S~2

F (x, y, z)d ~~ S.

Twierdzenie 7. (Zamiana ca lki powierzchniowej skierowanej na ca lke podw´_, ojna)_, Je˙zeli S jest p latem regularnym zadanym funkcja ~_, r : Q 3 (u, v) → ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k ∈ S ⊂ R³, orientacja p lata S jest zadana wektorem ~n, ~F : S(x, y, z) → [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ R³ jest ciag lym polem wektorowym, to istnieje ca lka po-_, wierzchniowa skierowana RR

S~F (x, y, z)d ~~ S oraz prawdziwy jest wz´or Z Z

S~

F (x, y, z)d ~~ S

| {z }

calka zorientowana

= Z Z

S

F (x, y, z) ·~ ~n

|~n|dS

| {z }

calka niezorientowana

= Z Z

Q

F (~~ r(u, v)) · (

~ n(~r(u,v))

z }| {

r~_u⁰(u, v) × ~r⁰_v(u, v)) dudv

| {z }

calka podw´ojna

.

Uwaga 8. Je´sli S jest wykresem funkcji z = g(x, y) dla (x, y) ∈ Q i g ∈ C¹(Q). Orientacja S jest zadana wektorem normalnym ~n = [−g_x⁰, −g⁰_y, 1]) (lub wektorem ~n = [g_x⁰, g_y⁰, −1])), ~F : S → R³ ciag le pole wektorowe, to_,

Z Z

S~

F (x, y, z)d ~~ S :=

Z Z

Q

F (x, y, g(x, y)) · [−g~ ⁰_x(x, y), −g_y⁰(x, y), 1]dxdy.

( odpowiednio RR

S~F (x, y, z)d ~~ S :=RR

QF (x, y, g(x, y)) · [g~ _x⁰(x, y), g_y⁰(x, y), −1]dxdy. )

F - pole pr~ edko´sci cieczy nie´sci´sliwej o g_, esto´sci ρ(x, y, z) = 1, S p lat regularny zorientowany,_, orientacja S zadana wektorem normalnym ~n. Iloczyn ~F ·_|~^~n_n| oznacza rzut wektora F na wersor

~ n

|~n|. Ca lka RR

S~F d ~~ S oznacza strumie´n cieczy przep lywajacy przez p lat ~_, S w jednostce czasu.

3

Twierdzenie 9. (Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego)

Niech V ⊂ R³ obszar ograniczony kawa lkami regularna powierzchni_, a zamkni_, et_, a zorientowan_, a_, zewnetrznie. Niech ~_, F = [P, Q, R] pole wektorowe klasy C¹ na V . W´owczas

Z Z

S~

F d ~~ S

| {z }

calka zorientowana

= Z Z

S

F ·~ ~n

|~n|dS

| {z }

calka niezorientowana

= Z Z Z

V

div ~F dxdydz.

Inny zapis

Z Z

S~

P dydz + Qdzdx + Rdydz = Z Z Z

V

(P_x⁰ + Q⁰_y + R⁰_z)dxdydz.

Definicja 10. Niech S p lat regularny zorientowany, K = ∂S krzywa kawa lkami regularna zorientowana. M´owimy, ˙ze obieg krzywej K (orientacja krzywej K) jest zgodna z orientacja_, p lata S je´sli obieg krzywej i zwrot wersora normalnego (zadajacego orientacj_, e p lata S) s_, a_, zwiazane regu l_, a ´_, sruby prawoskretnej._,

Zgodno´s´c orientacji definiuje sie tak˙ze w nast_, epuj_, acy spos´_, ob.

Definicja 11. Orientacja krzywej i p lata sa zgodne, gdy obserwator umieszczony na krzywej_, i zwr´ocony w strone wersora normalnego poruszaj_, ac si_, e po krzywej K zgodnie z jej zwrotem_, widzi p lat po lewej stronie.

Twierdzenie 12. (Twierdzenie Stokesa) Niech S bedzie p latem regularnym sparametry-_, zowany funkcja_,

~r : Q → S, ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k,

orientacja p lata S jest zadana wersorem _|~^~n_n|, K -krawed´_, z p lata S - kawa lkami regularna za- mknieta zorientowana zgodnie z orientacj_, a p lata S oraz ~_, F = [P, Q, R] pole wektorowe klasy C¹ na S. W´owczas

I

K

F d~~ r = Z Z

S~

rot ~F d ~S.

R´ownowa˙znie I

K

P dx + Qdy + Rdz = Z Z

S~

(R⁰_y− Q⁰_z)dydz + (P_z⁰− R⁰_x)dzdx + (Q⁰_x− P_y⁰)dxdy.

4