Ca lka krzywoliniowa skierowana

Ca lka krzywoliniowa skierowana

Definicja 1. Polem wektorowym nazywamy funkcje wektorow_, a_,

F : R~ ³ ⊃ V 3 (x, y, z) → [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ R³ przy czym ~F ∈ C^r(V ) tzn. P, Q, R ∈ C^r(V ), r ≥ 0.

Definicja 2. Orientacja luku

Niech K bedzie lukiem regularnym w R_, ³ tzn.

~

r : [α, β] 3 t → ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k ∈ R³

gdzie ~r ∈ C¹([α, β]) i ~r⁰(t) 6= 0 dla t ∈ [α, β]. Parametryzacja luku K porzadkuje punkty na_, K w nastepuj_, acym sensie. M´_, owimy, ˙ze ~r(t₁) poprzedza ~r(t₂) je´sli t₁ < t₂. To uporzadkowanie_, okre´sla orientacje luku K. Zwrot wektora ~_, r⁰(t) wskazuje zwrot na luku (orientacje_, luku). Je˙zeli ~r : [α, β] → R³ jest parametryzacja luku, to ~_, r(α) nazywamy poczatkiem luku, a_,

~r(β) ko´ncem luku.

Definicja 3. Ca lka krzywoliniowa skierowana

• Niech dany bedzie luk regularny K =_, −→

AB parametryzowany funkcja_,

~r : [α, β] 3 t → [x(t), y(t), z(t)] ∈ R³.

Oznaczmy ko´nce luku K przez A i B oraz niech ~r(α) = A, ~r(β) = B.

• Dane jest ograniczone pole wektorowe ~F na K

F : K 3 (x, y, z) → [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ R~ ³.

• Tworzymy ciag normalny podzia low (P_{, kn}) przedzia lu [α, β] gdzie P_kn : α = t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ <

t⁽ⁿ⁾₂ < . . . < t⁽ⁿ⁾_k

n = β, n ∈ N. Niech δn = max_i∈Ikn ∆⁽ⁿ⁾_i , gdzie ∆t⁽ⁿ⁾_i = t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾_i−1 oraz lim_n→∞δ_n = 0.

• Punktom t⁽ⁿ⁾_i ∈ [α, β] odpowiadaja punkty ~_, r_i⁽ⁿ⁾ := ~r(t⁽ⁿ⁾_i ), kt´ore definiuja ci_, ag normalny_, podzia lu krzywej K. Niech ∆~ri(n)

:= ~r⁽ⁿ⁾_i − ~r_i−1⁽ⁿ⁾.

• Wybieramy punkty po´srednie ξ⁽ⁿ⁾_i nale˙zace do luku o ko´_, ncu w ~r⁽ⁿ⁾_i i poczatku w ~_, r_i−1⁽ⁿ⁾.

• Tworzymy ciag sum cz_, e´_,sciowych (S_n) =  Pkn

i=1F (ξ~ _i⁽ⁿ⁾)∆~r⁽ⁿ⁾_i  . 1

Je˙zeli dla ka˙zdego ciagu normalnego podzia l´_, ow (P_kn) przedzia lu [α, β] odpowiadajacy ci_, ag sum_, (Sn) jest zbie˙zny do tej samej granicy sko´nczonej niezale˙znej od wyboru punkt´ow po´srednich ξ_i⁽ⁿ⁾, to te wsp´_, olna granic_, e nazywamy ca lk_, a krzywoliniow_, a skierowan_, a (zorientowan_, a)_, z pola ~F po krzywej K =−→

AB i oznaczamy Z

−→AB

F d~~ r = Z

−→AB

P dx + Qdy + Rdz.

Twierdzenie 4. (Zamiana ca lki krzywoliniowej skierowanej na ca lke oznaczon_, a)_, Je˙zeli K = −→

AB jest lukiem regularnym zorientowanym zadanym funkcja ~_, r : [α, β] 3 t → [x(t), y(t), z(t)] ∈ R³ oraz ~w : V 3 (x, y, z) → [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ R³ jest ciag lym polem wektorowym, to istnieje ca lka_, R

−→ABwd~~ r i Z

−→AB

~ wd~r =

Z β α

[P (x(t), y(t), z(t))x⁰(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y⁰(t) + R(x(t), y(t), z(t))z⁰(t)]dt

= Z β

α

( ~w ◦ ~r(t)) ~r⁰(t)dt.

Wniosek 5. Zmiana orientacji luku prowadzi do zmiany znaku ca lki tzn.

Z

−→BA

~

wd~r = − Z

−→AB

~ wd~r.

Ca lka R

KF d~~ r wyra˙za prace jak_, a wykonuje pole si l ~_, F wzd lu˙z luku K przesuwajac punkt_, materialny o masie 1. Warto´s´c tej ca lki nazywa sie tak˙ze cyrkulacj_, a pola ~_, F wzd lu˙z luku K. Je˙zeli K jest krzywa Jordana (kawa lkami regularn_, a) to zamiast_, R

KF d~~ r piszemyH

KF d~~ r.

Definicja 6. Niech D ⊂ R² jest obszarem, ∂D = K jest kawa lkami regularna krzyw_, a Jor-_, dana. Powiemy, ˙ze krzywa K jest zorientowana dodatnio (ujemnie) wzgledem obszaru D, je´_, sli poruszajac si_, e po krzywej zgodnie z jej orientacj_, a obszar D pozostaje po lewej (prawej stronie)_, i oznaczamy symbolem K⁺ (K⁻).

Uwaga 7. Obszary, kt´orych brzeg ma tylko jedna sk ladow_, a bed_, ac_, a krzyw_, a (ci_, ag la- nie musi_, by´c regularna) stanowia przyk lad tzw. obszaru jednosp´_, ojnego.

Twierdzenie 8. (Twierdzenie Greena) Niech D ⊂ R² bedzie obszarem, kt´_, orego brzeg K = ∂D jest kawa lkami regularna krzyw_, a Jordana zorientowan_, a dodatnio wzgl_, edem D,_,

w : D 3 (x, y) → [P (x, y), Q(x, y)] ∈ R~ ² 2

polem klasy C¹(D). Wtedy I

K⁺

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Z Z

D

(Q⁰_x(x, y) − P_y⁰(x, y))dxdy.

Definicja 9. Niech V ⊂ R³ obszar, pole wektorowe ~w = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ C(V ). Ca lka krzywoliniowa R

−→ABP dx + Qdy + Rdz nie zale˙zy od drogi ca lkowania je˙zeli ma te sam_, a warto´_, s´c dla ka˙zdego luku regularnego −→

AB ⊂ V o poczatku w A i ko´_, ncu w B, gdzie A, B ∈ V dowolne punkty.

Poni˙zsze twierdzenia podaja warunki konieczne i dostateczne na potencjalno´s´_, c pola wek- torowego.

Twierdzenie 10. Niech D ⊂ R² obszar, pole wektorowe ~w = [P (x, y), Q(x, y)] ∈ C(D).

Ca lka krzywoliniowa R

−→ABP dx + Qdy nie zale˙zy od drogi ca lkowania wtedy i tylko, gdy pole ~w jest potencjalne tzn. istnieje pole skalarne f ∈ C¹(D) takie, ˙ze f_x⁰(x, y) = P (x, y), f_y⁰(x, y) = Q(x, y) dla ka˙zdego (x, y) ∈ D

Twierdzenie 11. Niech V ⊂ R³obszar, pole wektorowe ~w = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ C(V ). Ca lka krzywoliniowa R

−→ABP dx + Qdy + Rdz nie zale˙zy od drogi ca lkowania wtedy i tylko wtedy, gdy pole ~w jest potencjalne tzn. istnieje pole skalarne f ∈ C¹(V ) takie, ˙ze f_x⁰(x, y) = P (x, y, z), f_y⁰(x, y, z) = Q(x, y, z), f_z⁰(x, y, z) = R(x, y, z) dla ka˙zdego (x, y, z) ∈ V.

Twierdzenie 12. Niech D ⊂ R² obszar, pole wektorowe ~w = [P (x, y), Q(x, y)] ∈ C(D).

Ca lka krzywoliniowa R

−→ABP (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zale˙zy od drogi ca lkowania wtedy i tylko H

KP (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 dla dowolnej kawa lkami regularnej krzywej Jordana K le˙zacej_, w D.

Twierdzenie 13. Niech D ⊂ R² obszar jednosp´ojny, pole wektorowe ~w = [P (x, y), Q(x, y)] ∈ C¹(D). Pole ~w jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy P_y⁰(x, y) = Q⁰_x(x, y) dla ka˙zdego (x, y) ∈ D.

Twierdzenie 14. Niech V ⊂ R³ obszar powierzchniowo jednosp´ojny (og´olnie obszar jed- nosp´ojny), pole wektorowe ~w = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ∈ C¹(V ), to pole ~w jest po- tencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy ~rot ~w = ~0.

3