Ca lka powierzchniowa nieskierowana
Definicja 1. Niech G ⊂ R2 obszar jednosp´ojny, ~r : G → R3. Zak ladamy, ˙ze:
1. ~r ∈ C1(G),
2. ~r jest r´o˙znowarto´sciowe,
3. ∀u, v ∈ G, ~r0(u, v) jest r´o˙znowarto´sciowa tzn. ˙ze macierz Jacobiego ~r0(u, v) ma maksy- malny rzad.,
Niech Q ⊂ G obszar domkniety (wn, etrze int(G) 6= ∅) i ograniczony krzyw, a Jordana kawa lkami, regularna. Wtedy,
S = ~r(Q) nazywamy p latem regularnym.
Uwaga 2. Za lo˙zenie (3) gwarantuje, ˙ze mamy p laszczyzne styczn, a w ka˙zdym punkcie i nie-, zererowy wektor normalny (!). Odpowiada to za lo˙zeniu, ˙ze ~r0(t) 6= 0 dla krzywych.
Definicja 3. - Ca lka powierzchniowa nieskierowana
• Niech G ⊂ R2 bedzie obszarem jednosp´, ojnym, Q ⊂ G domkniety obszar ograniczony, krzywa Jordana kawa lkami regularn, a,
~r : G → R3, ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k.
• Niech S = ~r(Q) bedzie p latem regularnym.,
• Niech f : S → R bedzie ograniczonym polem skalarym.,
• Tworzymy ciag normalny podzia l´, ow (Pkn) obszaru Q. Mo˙zemy zak lada´c, ˙ze Pkn jest suma prostok, at´, ow
Q(n)1 , . . . , Q(n)k
n
pokrywajacych obszar Q, zawartych w G oraz dla ∀i 6= j zachodzi intQ, (n)i ∩ intQ(n)j 6= ∅ dla i 6= j.
• Wybieramy punkty po´srednie ξ(n)i ∈ Si(n) i tworzymy ciag sum cz, e´,sciowych
(Sn) =
kn
X
i=1
f (ξi(n))|Si(n)|
! , gdzie |Si(n)| oznacza pole p lata Si(n).
1
Je˙zeli dla ka˙zdego ciagu normalnego podzia l´, ow (Pkn) obszaru Q odpowiadajacy ci, ag sum (S, n) jest zbie˙zny do tej samej granicy sko´nczonej niezale˙znej od wyboru punkt´ow po´srednich (ξ(n)i ) to te wsp´, olna granic, e nazywamy ca lk, a powierzchniow, a niezorientowan, a (nieskie-, rowana) z pola f po p lacie S i oznaczamy,
Z Z
S
f (x, y, z)dS = lim
n→∞
kn
X
i=1
f (ξi(n))|Si(n)|.
1. Je˙zeli istnieja ca lki, RR
Sf1(x, y, z)dS i RR
Sf2(x, y, z)dS oraz α, β ∈ R to istnieje ca lka R R
S(αf1(x, y, z) + βf2(x, y, z))dS oraz Z Z
S
(αf1(x, y, z) + βf2(x, y, z))dS = α Z Z
S
f1(x, y, z)dS + β Z Z
S
f2(x, y, z))dS.
2. Je˙zeli istnieje ca lka RR
Sf (x, y, z)dS i S = S1∪ S2 (IntS1∩ IntS2 = ∅), to istnieja ca lki, R R
S1f (x, y, z)dl i RR
S2f (x, y, z)dS oraz Z Z
S
f (x, y, z)dS = Z Z
S1
f (x, y, z)dS + Z Z
S2
f (x, y, z)dS.
Twierdzenie 4. (Zamiana ca lki powierzchniowej nieskierowanej na ca lke podw´, ojna), Je˙zeli S jest p latem regularnym zadanym funkcja,
~
r : Q 3 (u, v) → ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k ∈ S ⊂ R3,
f : S → R jest ciag lym polem skalarnym, to istnieje ca lka powierzchniowa nieskierowana, RR
Sf (x, y, z)dS oraz prawdziwy jest wz´or Z Z
S
f (x, y, z)dS = Z Z
Q
f (~r(u, v))| ~r0u(u, v) × ~rv0(u, v)|dudv.
Uwaga 5. Je´sli S jest wykresem funkcj z = g(x, y) dla (x, y) ∈ Q i g ∈ C1(Q), f : S → R ciag la, to,
Z Z
S
f (x, y, z)dS :=
Z Z
Q
f (x, y, g(x, y))q
1 + gx02(x, y) + g0y2(x, y)dxdy.
2
