Ca lka krzywoliniowa nieskierowana

Ca lka krzywoliniowa nieskierowana

Definicja 1. Niech I ⊂ R oznacza przedzia l (ograniczony lub nie). Odwzorowanie

~r : I 3 t → ~r(t) = x₁(t) ~e₁+ x₂(t) ~e₂+ . . . + x_n(t) ~e_n ∈ Rⁿ nazywamy funkcja wektorow_, a jednej zmiennej rzeczywistej._,

Definicja 2. Krzywa nazywamy odwzorowanie ci_, ag le ~_, r : I → Rⁿ (przedzia l mo ˙ze by´c otwarty, domknieto-otwarty....)._,

Uwaga 3. Krzywa b_, edziemy r´_, ownie˙z nazywa´c obraz (zbi´or warto´sci) odwzorowania ~r (czyli to co potocznie nazywamy krzywa), a funkcj_, e ~_, r parametryzacja krzywej._,

Uwaga 4. Dla r´o˙znych funkcji ~r₁, ~r₂ : I = [α, β] → Rⁿ zbiory ~r₁(I) i ~r₂(I) moga by´_, c takie same. M´owimy wtedy o r´o˙znych parametryzacji krzywej K = ~ri(I), i = 1, 2.

Definicja 5. Niech K = ~r([α, β]) -krzywa w potocznym znaczeniu (~r jest funkcja ci_, ag l_, a),_, a) Krzywa K nazywamy lukiem prostym je´_, sli funkcja ~r jest ciag la i r´_, o˙znowarto´sciowa.

b) Je˙zeli ~r(α) = ~r(β) to krzywa K nazywamy krzyw_, a zamkni_, et_, a._,

c) Je˙zeli ~r(α) = ~r(β), dla ka˙zdych t1, t2 ∈ (α, β), ~r(t1) 6= ~r(t2), oraz ~r(t) 6= ~r(α) i ~r(t) 6=

~

r(β) dla t ∈ (α, β), to K nazywamy krzywa Jordana (krzyw_, a bez samoprzeci_, e´_,c).

Definicja 6. Niech I ⊂ R, ~r : I 3 t → ~r(t) = Pn

i=1x_i(t)~e_i ∈ Rⁿ. M´owimy, ˙ze funkcja wektorowa ~r jest r´o ˙zniczkowalna w punkcie t0 ∈ I je´sli istnieje taki wektor ~r⁰(t0), ˙ze

t→tlim0

~r(t) − ~r(t₀) − ~r⁰(t₀)(t − t₀) t − t0

= 0.

Definicja 7. Wektor ~r⁰(t₀) zdefiniowany w porzedniej definicji nazywamy pochodna funkcji_, wektorowej ~r w punkcie t₀. Wektor ~r⁰(t₀) jest wektorem stycznym do luku K w punkcier(t~₀).

Definicja 8. Niech I = [α, β] ⊂ R. Za l´o˙zmy, ˙ze odwzorowanie

~r : I 3 t → ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k ∈ R³

okre´sla luk regularny K. Tworzymy ciag normalny podzia l´_, ow (Pkn) przedzia lu [α, β] gdzie P_kn : α = t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ < t⁽ⁿ⁾₂ < . . . < t⁽ⁿ⁾_kn = β, n ∈ N. Niech δn = max_i∈Ikn∆t⁽ⁿ⁾_i , gdzie

1

∆t⁽ⁿ⁾_i = t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾_i−1 oraz lim_n→∞δ_n= 0. Tworzymy lamana o ko´_, ncach A⁽ⁿ⁾₀ , A⁽ⁿ⁾₁ , . . . , A⁽ⁿ⁾_k

n gdzie A⁽ⁿ⁾_i = (x(t⁽ⁿ⁾_i ), y(t⁽ⁿ⁾_i ), z(t⁽ⁿ⁾_i )) odpowiadaja podzia lowi P_{, kn}. D lugo´s´c tej lamanej wynosi

ln:=

kn

X

1

|A⁽ⁿ⁾_i − A⁽ⁿ⁾_i−1| =

kn

X

i=1

q

(x(t⁽ⁿ⁾_i ) − x(t⁽ⁿ⁾_i−1))²+ (y(t⁽ⁿ⁾_i ) − y(t⁽ⁿ⁾_i−1))²+ (z(t⁽ⁿ⁾_i ) − z(t⁽ⁿ⁾_i−1))².

Je˙zeli dla ka˙zdego ciagu normalnego podzia l´_, ow (P_kn) ( lim_n→∞δ_n= 0) przedzia lu [α, β] odpo- wiadajacy ci_, ag sum (l_{, n}) jest zbie˙zny do tej samej granicy sko´nczonej L = lim_n→∞l_n, to luk K nazywamy prostowalnym a granice L nazywamy d lugo´_, scia luku K._,

Twierdzenie 9. Niech I = [α, β] ⊂ R. Za l´o˙zmy, ˙ze odwzorowanie

~r : I 3 t → ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k ∈ R³ okre´sla luk regularny K. Wtedy jego d lugo´s´c wyra˙za sie wzorem_,

L = Z β

α

|~r⁰(t)|dt = Z β

α

px⁰²(t) + y⁰²(t) + z⁰²(t)dt.

Definicja 10. Funkcje f : R_, ⁿ⊃ V → R nazywamy polem skalarnym.

Definicja 11. Ca lka krzywoliniowa nieskierowana

• Niech K bedzie lukiem regularnym zadanym funkcj_, a_,

~r : [α, β] 3 t → ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k ∈ R³.

Z regularno´sci wynika, ˙ze funkcja ~r ∈ C¹([α, β]) oraz ~r⁰(t) 6= 0 dla ka˙zdego t ∈ [α, β].

• Niech f : K 3 (x, y, z) → R bedzie ograniczonym polem skalarnym._,

• Tworzymy ciag normalny podzia low (P_{, kn}) przedzia lu [α, β] gdzie P_kn : α = t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ <

t⁽ⁿ⁾₂ < . . . < t⁽ⁿ⁾_k

n = β, n ∈ N.

• Niech δ_n = max_i∈Ikn∆t⁽ⁿ⁾_i , gdzie ∆t⁽ⁿ⁾_i = t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾_i−1oraz lim_n→∞δ_n= 0. Punktom t⁽ⁿ⁾_i ∈ [α, β] odpowiadaja punkty A_, ⁽ⁿ⁾_i = (x(t⁽ⁿ⁾_i ), y(t_i⁽ⁿ⁾), z(t⁽ⁿ⁾_i )), kt´ore tworza ci_, ag normalny_, podzia lu krzywej K.

• Niech ∆l⁽ⁿ⁾_i oznacza d lugo´s´c luku A⁽ⁿ⁾_i−1A⁽ⁿ⁾_i .

• Wybieramy punkty po´srednie ξ_i⁽ⁿ⁾∈ A⁽ⁿ⁾_i−1A⁽ⁿ⁾_i , i ∈ I_kn. 2

• Tworzymy ciag sum cz_, e´sciowych (S_{, n}) =

Pkn

i=1f (ξ_i⁽ⁿ⁾)∆l⁽ⁿ⁾_i

 .

Je˙zeli dla ka˙zdego ciagu normalnego podzia l´_, ow (P_kn) przedzia lu [α, β] odpowiadajacy ci_, ag sum_, (S_n) jest zbie˙zny do tej samej granicy sko´nczonej niezale˙znej od wyboru punkt´ow po´srednich (ξ_i⁽ⁿ⁾), to te wsp´_, olna granic_, e nazywamy ca lk_, a krzywoliniow_, a nieskierowan_, a (niezo-_, rientowana) z pola f po luku K i oznaczamy_,

Z

K

f (x, y, z)dl = lim

δn→0 kn

X

i=1

f (ξ_i⁽ⁿ⁾)∆l_i⁽ⁿ⁾.

Je´sli oznaczymy A := ~r(α), B = ~r(β), toR

Kf (x, y, z)dl zapisujemy tak˙ze jakoR

ABf (x, y, z)dl.

1. Je˙zeli istnieja ca lki_, R

ABf₁(x, y, z)dl i R

ABf₂(x, y, z)dl oraz α, β ∈ R to istnieje ca lka R

AB(αf₁(x, y, z) + βf₂(x, y, z))dl oraz Z

AB

(αf₁(x, y, z) + βf₂(x, y, z))dl = α Z

AB

f₁(x, y, z)dl + β Z

AB

f₂(x, y, z))dl.

2. Je˙zeli istnieje ca lkaR

ABf (x, y, z)dl i C ∈ AB, to istnieja ca lki_, R

ACf (x, y, z)dl iR

CBf (x, y, z)dl

oraz Z

AB

f (x, y, z)dl = Z

AC

f (x, y, z)dl + Z

CB

f (x, y, z)dl.

Twierdzenie 12. (Zamiana ca lki krzywoliniowej nieskierowanej na ca lke ozna-_, czona) Je˙zeli K = AB jest lukiem regularnym zadanym funkcj_, a_,

~r : [α, β] 3 t → ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k ∈ R³, f : K → R jest ciag lym polem skalarnym, to istnieje ca lka nieskierowana, R

ABf (x, y, z)dl oraz prawdziwy jest wz´or

Z

AB

f (x, y, z)dl = Z β

α

f (~r(t))|~r⁰(t)|dt = Z β

α

f (x(t), y(t), z(t))p

(x⁰(t))²+ (y⁰(t))²+ (z⁰(t))²dt.

3