4 Dowód twierdzenia Hilberta o zerach

Andrzej Nowicki

Toruń, UMK, 14 marca 1996

1 Pojęcia wstępne

k = dowolne ciało, n = liczba naturalna,

k[T ] = k[T1, . . . , Tn], pierścień wielomianów nad k, k[t] = pierścień wielomianów jednej zmiennej t nad k.

Jeśli F jest podzbiorem pierścienia k[T ], to przez V(F ) oznaczmy zbiór wszystkich wspól- nych zer zbioru F , tzn. V(F ) = {a ∈ kⁿ; ∀f^∈Ff (a) = 0}. Każdy zbiór postaci V(F ), gdzie F ⊆ k[T ], nazywamy algebraicznym podzbiorem w kⁿ. Wiadomo, że V(F ) = V((F )) = V(^p(F )).

Jeśli X jest podzbiorem zbioru kⁿ, to oznaczmy:

I(X) = {f ∈ k[T ]; ∀

x^∈Xf (x) = 0}.

W szczególności I(∅) = k[T ]. Łatwo wykazać:

Stwierdzenie 1.1.

(1) I(X) jest radykalnym ideałem w k[T ].

(2) Jeżeli X ⊆ Y , to I(Y ) ⊆ I(X).

(3) Jeżeli X ⊆ kⁿ, to X ⊆ VI(X).

(4) Jeżeli F ⊆ k[T ], to F ⊆ IV(F ).

(5) VIV = V.

(6) IVI = I. 

Jeśli X = {a} jest zbiorem jednoelementowym, to ideał I({a}) oznaczać będziemy przez M_a. Mamy zatem: M_a= I({a}) = {f ∈ k[T ]; f (a) = 0}.

Lemat 1.2. Niech a = (a₁, . . . , a_n) ∈ kⁿ i niech B będzie ideałem w k[T ] generowanym przez wielomiany T₁− a₁, . . . , T_n− a_n. Jeśli f ∈ k[T ], to f − f (a) ∈ B.

Dowód. Wystarczy to wykazać w przypadku, gdy f jest jednomianem. Ponieważ

T_i^s− a^s_i = (T_i− a_i)(T_i^s−1+ T_i^s−2a¹_i + · · · + a^s−1_i )

więc każdy wielomian postaci T_i^s− a^s_i należy do B. Niech f = T₁^s1· · · T_n^sn. Mamy wtedy:

f − f (a) = T₁^s1· · · T_n^sn− a^s₁¹· · · a^s_nⁿ

= T₁^s1T₂^s2· · · T_n^sn− a^s₁¹T₂^s2· · · T_n^sn+ a^s₁¹T₂^s2· · · T_n^sn− a^s₁¹a^s₂²· · · a^s_nⁿ

= (T₁^s1 − a^s₁¹)T₂^s2· · · T_n^sn+ a₁^s1(T₂^s2· · · T_n^sn− a^s₂²· · · a^s_nⁿ).

Lemat nasz wynika więc z prostej indukcji ze względu na n.  Stwierdzenie 1.3. Niech a = (a₁, . . . , a_n) ∈ kⁿ. Mamy wówczas:

(1) Ideał (T₁− a₁, . . . , Tn− a_n) jest maksymalny (w k[T ]);

(2) M_a= (T₁− a₁, . . . , Tn− a_n).

1

Dowód. Rozpatrzmy k-algebrową surjekcję k[T ] −→ k, f 7→ f (a). Jądrem tej surjekcji jest oczywiście ideał M_a = I({a}). Zatem M_a jest ideałem maksymalnym w k[T ]. Równość Ma= (T₁− a₁, . . . , Tn− a_n) wynika z Lematu 1.2.

Przypomnijmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte jeśli każdy wielomian należący do k[t] r k ma pierwiastek w k.

Stwierdzenie 1.4. Następujące warunki są równoważne:

(1) Ciało k jest algebraicznie domknięte.

(2) Każdy wielomian nierozkładalny w k[t] jest liniowy.

(3) Jeśli k ⊆ L jest algebraicznym rozszerzeniem ciał, to L = k.

(4) Jeśli k ⊆ L jest skończonym rozszerzeniem ciał, to L = k.

Powyższe stwierdzenie jest dobrze znane. Dowód można znaleźć na przykład w [5] 107 lub [4] 70.

2 Wysłowienie twierdzenia

Twierdzenie 2.1 (Hilberta o zerach). Następujące warunki są równoważne.

(1) Ciało k jest algebraicznie domknięte.

(2) Każdy ideał maksymalny w k[T ] jest postaci

Ma = (T₁− a₁, . . . , Tn− a_n), gdzie a = (a₁, . . . , an) ∈ kⁿ.

(3) Dla każdego ideału A w k[T ], różnego od k[T ], zbiór V(A) jest niepusty.

(4) Dla każdego ideału A w k[T ] zachodzi równość IV(A) =√ A.

(5) Operacje V oraz I ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbiorami algebraicznymi w kⁿ i ideałami radykalnymi w k[T ].

3 Twierdzenie Zariskiego

W dowodzie twierdzenia Hilberta o zerach wykorzystamy następujące

Twierdzenie 3.1 (Zariski 1947). Niech B będzie skończenie generowaną algebrą nad cia- łem k. Jeżeli B jest ciałem, to B jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciała k.

Istnieją różne dowody tego twierdzenia. Patrz na przykład: [1] strony 85 lub 101 w tł. ros.

Przedstawimy dowód, pochodzący od Zariskiego (patrz [1] Zad.18 str.88). W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Pierwszy z tych lematów jest twierdzeniem Zariskiego dla n = 1.

Lemat 3.2. Niech A będzie k-algebrą generowaną nad k przez jeden element. Jeśli A jest ciałem, to k ⊆ A jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciał.

Dowód. Niech A = k[u], gdzie u ∈ A. Jeśli u = 0, to A = k i nie ma czego dowodzić.

Załóżmy więc, że u 6= 0. Element u⁻¹ należy do A (bo A jest ciałem). Istnieją zatem w ciele k elementy a0, a1, . . . , as takie, że

u⁻¹= a_su^s+ · · · + a₁u¹+ a₀

oraz a_s 6= 0. Stąd otrzymujemy równość a_su^s+1+ · · · + a₁u²+ a₀u¹− 1, z której wynika, że element u jest algebraiczny nad k. Ciało A = k[u] jest więc skończonym rozszerzeniem ciała k. 

Lemat 3.3. Każda dziedzina z jednoznacznością rozkładu jest pierścieniem całkowicie dom- kniętym.

Dowód. Załóżmy, że A jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu i K jest jej ciałem ułamków. Niech u ∈ K będzie elementem całkowitym nad A. Należy wykazać, że u ∈ A.

Istnieją elementy a₁, . . . , as ∈ A takie, że u^s+ a₁u^s−1+ · · · + a_n−1u + an = 0. Ponadto, u = p/q ∈ K, gdzie p, q są względnie pierwszymi elementami pierścienia A. Mamy zatem równość

(p/q)^s+ a₁(p/q)^s−1+ · · · + a_n−1(p/q) + a_n= 0,

z której wynika, że p^s= −a₁p^s−1q − a2p^s−2q²− · · · − a_nq^s. Stąd dalej wynika, że q | p, czyli u = p/q ∈ A. 

Jeśli f jest niezerowym wielomianem należącym do k[t], to przez k[t]_f oznaczać będziemy podpierścień ciała k(t) (funkcji wymiernych jednej zmiennej nad k) zdefiniowany jako:

k[t]_f = {_f^gs; g ∈ k[t], s> 0}.

Lemat 3.4. Pierścień k[t]_f nie jest ciałem.

Dowód. Jeśli f ∈ k, to k[t]f = k[t] nie jest oczywiście ciałem. Niech więc f 6∈ k i przypuśćmy, że pierścień k[t]_f jest ciałem. Element (f + 1)/f ma wtedy element odwrotny.

Niech

(f + 1)/f · g/f^s = 1,

dla pewnych g ∈ k[t], s > 0. Wtedy (f + 1)g = f^s+1 wbrew temu, że k[t] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.

Dowód twierdzenia Zariskiego (indukcja ze względu na liczbę generatorów). Jeśli algebra B jest generowana przez jeden element, to teza wynika z Lematu 3.2. Niech B = k[u₁, . . . , u_s], gdzie u₁, . . . , us∈ A. Załóżmy, że s > 1 oraz że twierdzenie jest prawdziwe dla algebr o s − 1 generatorach.

Oznaczmy u = u_s, A = k[u] i niech L będzie ciałem ułamków pierścienia A. Wówczas B = L[u₁, . . . , u_s−1],

a zatem (na mocy indukcji) B jest skończonym rozszerzeniem ciała L.

Elementy u₁, . . . , u_s−1 są pierwiastkami wielomianów monicznych o wspólczynnikach na- leżących do L. Niech f będzie iloczynem mianowników wszystkich współczynników tych wie- lomianów. Elementy u₁, . . . , u_s−1 są więc całkowite nad A_f = {g/f^r; g ∈ A, r> 0}. Zatem pierścień B jest całkowity nad A_f. W szczególności ciało L jest całkowitym rozszerzeniem pierścienia A_f (gdyż L ⊆ B).

Pokażemy teraz, że element u jest algebraiczny nad k. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wów- czas A = k[u] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad k. Jest to pierścień całko- wicie domknięty (Lemat 3.3). W szczególności A jest całkowicie domknięte w A_f.

Zauważmy, że A_f = L. Niech bowiem c ∈ L r Af. Ponieważ L jest całkowite nad A_f więc c^m+_f^w_p1¹c^m−1+ · · · + _f^w_pm^m = 0,

dla pewnych w₁, . . . , w_m ∈ A, m > 0, p₁, . . . , p_m > 0. Niech p = max(p1, . . . , p_m) i niech g = f^p. Możąc powyższą równość stronami przez g^m otrzymujemy równość postaci

(gc)^m+ d₁(gc)^m−1+ · · · + d_m = 0,

w której elementy d₁, . . . , dm należą do A. Stąd wynika, że element gc = f^pc jest całkowity nad A. Wiemy, że pierścień A jest całkowicie domknięty w A_f. Zatem f^pc = a ∈ A, czyli c = a/f^p∈ A_f.

Wykazaliśmy, że A_f = L. Jest to jednak sprzeczne z Lematem 3.4. Sprzeczność ta obala nasze przypuszczenie o niealgebraiczności elementu u.

Zatem L jest skończonym rozszerzeniem ciała k oraz B jest skończonym rozszerzeniem cia- ła L. Stąd wynika, że B jest skończonym rozszerzeniem ciała k. To kończy dowód twierdzenia Zariskiego. 

4 Dowód twierdzenia Hilberta o zerach

(1) ⇒ (2) Niech M będzie ideałem maksymalnym w k[T ]. Wtedy pierścień ilorazowy k[t]/M jest skończenie generowaną k-algebrą będącą ciałem. Ponieważ ciało k jest algebraicznie do- mknięte więc z twierdzenia Zariskiego (oraz ze Stwierdzenia 1.4) wynika, że k[T ]/M = k.

Istnieją zatem w ciele k elementy a₁, . . . , antakie, że T₁+M = a₁+M , . . . , T_n+M = a_n+M . To implikuje, że M_a ⊆ M . Zatem M_a = M , gdyż ideał M_a jest maksymalny (Stwierdzenie 1.3).

(2) ⇒ (3) Niech A będzie ideałem w k[T ] różnym od k[T ]. Istnieje wtedy ideał maksymalny M taki, że A ⊆ M . Z (2) wynika, że M = M_a, dla pewnego a ∈ kⁿ, a zatem a ∈ V(M_a) ⊆ V(A), czyli V(A) 6= ∅.

(3) ⇒ (1) Niech f = f (T₁) będzie wielomianem należącym do k[T₁] r k. Wtedy f ∈ k[T ] = k[T1, . . . , Tn] i oczywiście ideał A = k[T ]f jest różny od całego pierścienia k[T ]. Istnieje zatem (na mocy (3)) punkt a = (a₁, . . . , an) ∈ kⁿbędący wspólnym zerem ideału A. W szczególności a₁ jest pierwiastkiem wielomianu f .

(3) ⇒ (4) Wykazaliśmy już, że warunki (1), (2) i (3) są równoważne. Z (3) wynika zatem, że każdy właściwy ideał pierścienia wielomianów k[T, Y ] = k[T₁, . . . , T_n, Y ] ma wspólne zero w kⁿ⁺¹.

Niech A będzie dowolnym ideałem w k[T ]. Należy wykazać, że IV(A) = √

A. Inkluzja

√

A ⊆ IV(A) zachodzi zawsze (Stwierdzenie 1.1). Wykażemy więc inkluzję w przeciwnym kierunku.

Niech f ∈ IV(A). Jeśli f = 0, to oczywiście f ∈√

A. Załóżmy więc, że f 6= 0 i rozważmy ideał w k[T, Y ] generowany przez zbiór A i wielomian 1−f Y . Jest oczywiste, że zbiór V(A, 1−

f Y ) jest pusty. Z (3) wynika zatem, że rozważany ideał jest całym pierścieniem k[T, Y ];

należy w szczególności do niego jedynka. Istnieją zatem wielomiany g₁, . . . , gm, g ∈ k[T, Y ] oraz wielomiany h₁, . . . , h_m∈ A takie, że

1 = h₁g₁+ · · · + h_mg_m+ (1 − f Y )g.

Zadziałajmy na tę równość k-algebrowym homomorfizmem ϕ : k[T, Y ] −→ k(T ) = k(T₁, . . . , T_n) takim, że ϕ(T_i) = T_i dla i = 1, . . . , n oraz ϕ(Y ) = 1/f . Otrzymamy wówczas równość

1 = h₁(T₁, . . . , Yn)g₁(T₁, . . . , Tn, 1/f ) + · · · hm(T₁, . . . , Yn)g_m(T₁, . . . , Tn, 1/f ),

z której wynika (po pomnożeniu stronami przez odpowiednią potęgę wielomianu f ), że f^s∈ A dla pewnego s > 0. Zatem f ∈√

A.

(4) ⇒ (3) Niech A 6= k[T ] będzie ideałem w k[T ]. Przypuśćmy, że V(A) = ∅. Mamy wówczas sprzeczność: k[T ] 6=√

A = IV(A) = I(∅) = k[T ].

(5) ⇒ (4) Niech A będzie ideałem w k[T ]. Wtedy IV(A) = IV(√

A) =√ A.

(4) ⇒ (5) Ponieważ zawsze zachodzi równość VIV = V (patrz Stwierdzenie 1.1), więc złożenie V ◦ I jest zawsze identycznością na rodzinie wszystkich zbiorów algebraicznych w kⁿ.

Jeśli A jest ideałem radykalnym w k[T ], to A = √

A i (na mocy (4)) IV(A) =√

A = A.

Zatem złożenie I ◦ V jest identycznością na rodzinie wszystkich ideałów radykalnych w k[T ].

To kończy dowód twierdzenia Hilberta o zerach. 

Przedstawiony tu dowód został opracowany na podstawie notatek z wykładu Romana Kiełpińskiego 1971/72 (GeomAlg₁17, patrz również ZIII_A83-85).

5 Uwagi

Twierdzenie Hilberta o zerach, to tzw. the Hilbert Nullstellensatz (patrz np. Zariski &

Samuel [8]). Często twierdzeniem Hilberta o zerach nazywa się tylko pewną część Twierdzenia 2.1. Najbardziej popularna jest implikacja (1) ⇒ (4), którą podaje się zwykle w następującej wersji.

Twierdzenie 5.1. Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte i wielomian f ∈ k[T ] przyjmuje wartość 0 we wszystkich punktach zbioru algebraicznego V(A) wyznaczonego przez ideał A ⊆ k[T ], to pewna potęga wielomianu f należy do ideału A. 

Taką wersję (wraz z dowodem) możemy znaleźć np. w: [8], [7], [5], [2], [3]. Implikacja (1) ⇒ (2) z Twierdzenia 2.1 jest znana w literaturze jako słaba wersja twierdzenia Hilberta o zerach.

Patrz np. [8] lub [1]. Zanotujmy jeszcze pewne sformułowanie implikacji (1) ⇒ (3), które również nazywa się twierdzeniem Hilberta o zerach (patrz np. [3] lub [6]).

Twierdzenie 5.2. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech f₁, . . . , fs będą wielomianami należącymi do pierścienia k[T ]. Rozważmy układ równań:

f₁(T₁, . . . , T_n) = · · · = f_s(T₁, . . . , T_n) = 0.

Jeżeli ideał (f₁, . . . , f_s) jest różny od k[T ], to powyższy układ posiada rozwiązanie w kⁿ. 

Literatura

[1] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley Publishing Company, 1969.

[2] S. Balcerzyk, T. Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN, Warszawa 1985.

[3] A. Białynicki Birula, Zarys Algebry, PWN, Warszawa 1987.

[4] J. Browkin, Wybrane zagadnienia algebry, PWN, Warszawa, 1968.

[5] J. Browkin, Teoria Ciał, PWN, Warszawa, 1977.

[6] W. Fulton, Algebraic Curves, An Introduction to Algebraic Geometry, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, Reading, Mass., (1978).

[7] S. Lang, Algebra, Addison–Wesley Publ. Comp. 1965.

[8] O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, New York: D. Van Nostrand, vol. I, 1958, vol. II, 1960.