11DRAP - Zmienne losowe: rozkłady i dystrybuanta
Definicja. 1. Niech X będzie zmienną losową. Dowolną liczbę a ∈ R taką, że PX({a}) = P (X = a) > 0 nazywamy atomem (rozkładu) zmiennej losowej X.
Definicja. 2. Zmienna losowa jest dyskretna (ma rozkład dyskretny), jeśli istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór A = {a1, a2, . . .} (zbiór atomów) taki, że P (ai) > 0 dla każdego ai∈ A oraz
P (X ∈ A) = X
ai∈A
P (X = ai) = 1.
W celu podania rozkładu zmiennej losowej dyskretnej, wystarczy podać wartości pi= P (X = ai) dla wszystkich atomów ai∈ A.
Definicja. 3. Zmienna losowa jest ciągła (ma rozkład ciągły), jeśli istnieje nieujemna funkcja rzeczywista f : < → <
(zwana gęstością) taka, że dla każdego zbioru borelowskiego A ⊆ R mamy PX(A) = P (X ∈ A) =R
Af (x)dx.
Funkcja f spełnia warunekR+∞
−∞ f (x)dx = P (X ∈ R) = 1. Aby podać rozkład zmiennej losowej ciągłej wystarczy podać jej gęstość.
Definicja. 4. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX: R → R określoną zależnością FX(t) = PX((−∞, t]) = P X−1((−∞, t]) = P(X ¬ t).
Twierdzenie. 1. Dystrybuanta FX zmiennej losowej X ma następujące własności:
(i) jest niemalejąca;
(ii) lim
t→−∞FX(t) = 0, lim
t→+∞FX(t) = 1;
(iii) jest prawostronnie ciągła.
Fakt. 2. Dystrybuanta FX zmiennej losowej X ma następujące własności:
P (X = t) = FX(t) − lim
x→t−FX(x), P (X < t) = lim
x→t−FX(x).
Fakt. 3. Niech X będzie zmienną losową ciągłą o gęstości f . Wtedy dystrybuanta FX tej zmiennej losowej jest funkcją ciągłą. Ponadto, f (x) = FX0 (x) dla każdego x, w którym FX jest różniczkowalna.
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Myśliwy ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia do celu lub do momentu wystrzelenia wszystkich naboi. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym strzale jest równe 1/3. Liczba wystrzelonych naboi jest zmienną losową X.
a. Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej losowej X.
b. Opisz własności tej dystrybuanty. Jak „zachowuje się” wykres na zbiorze, na którym jest skupiona zmienna losowa X?
c. Czy X jest zmienną losową ciągłą lub dyskretną? Jeśli tak, to podaj jej rozkład.
Zadanie A.2. Z trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1) wybrano losowo (zgodnie z prawdopodobieństwem geome- trycznym) jeden punkt. Niech X oznacza pierwszą współrzędną wybranego punktu.
a. Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej losowej X.
b. Opisz własności tej dystrybuanty. Jak „zachowuje się” wykres na zbiorze, na którym jest skupiona zmienna losowa X?
c. Czy X jest zmienną losową ciągłą lub dyskretną? Jeśli tak, to podaj jej rozkład.
Zadanie A.3. Grzesiu zwykle ma problem z podjęciem decyzji o wyjściu z imprezy. Zaraz przed północą rzuca monetą.
Jeśli wypadnie orzeł, to wychodzi o północy. Jeśli wypadnie reszka, to wychodzi w losowym momencie między północą a godziną pierwszą. Niech X oznacza moment (czas po północy liczony w godzinach) wyjścia z imprezy.
b. Opisz własności tej dystrybuanty. Jak „zachowuje się” wykres na zbiorze, na którym jest skupiona zmienna losowa X?
c. Czy X jest zmienną losową ciągłą lub dyskretną? Jeśli tak, to podaj jej rozkład.
Zadanie A.4. Zmienna losowa X ma dystrybuantę
a. F (x) =
0 dla x < 0
1
8x3 dla 0 ¬ x ¬ 2 1 dla x > 2
b. F (x) =
0 dla x < −1
1
4x +12 dla − 1 ¬ x < 0
3
4 dla 0 ¬ x < 1
1 dla x 1
c. F (x) =
(0 dla x < −1.
1 − 13bx+2c
dla x −1
Korzystając z dystrybuanty
• rozstrzygnij, na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X;
• wyznacz P (−1 < X < 1), P (X = 1);
• rozstrzygnij, czy zmienna jest dyskretna lub ciągła;
• jeśli zmienna jest dyskretna lub ciągła, podaj jej rozkład.
Zadanie A.5. Niech X ma gęstość
f (x) =
(c(1 − x2) dla − 1 < x < 1;
0 dla pozostałych x.
a. Znajdź c.
b. Wyznacz P (−3 ¬ X ¬ 1/2), P (X = 0).
c. Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej.
Zadanie A.6. Zmienna losowa ciągła posiada dystrybuantę
F (x) =
A dla x < 0
1
8x3 dla 0 ¬ x < C B dla x C a. Wyznacz stałe A, B, C.
b. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X.
c. Oblicz P X 12 oraz P 13 ¬ X ¬ 23.
Zadanie A.7.
a. Sprawdź, że ciąg pn= 1n−n+11 (n = 1, . . .) określa rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej dyskretnej dla której PX({n}) = P(X = n) = pn.
b. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X o tym rozkładzie.
Zadanie A.8. Z odcinka [0, 1] wybieramy punkt a w sposób jednostajny. Punkty a i 1/2 dzielą odcinek na 3 odcinki.
Niech Xi będzie długością i–tego z nich (licząc od lewej). Wyznacz dystrybuantę X1, X2i X3.
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1. Sprzedawca encyklopedii jest umówiony z 2 klientami. Szanse na przekonanie pierwszego klienta do zakupu wynoszą 0, 3, a drugiego (niezależnie) – 0, 6. W przypadku każdej sprzedaży jest tak samo prawdopodobne, że klient kupi wydanie deluxe w cenie $1000, co wydanie zwykłe w cenie $500. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X będącej łączną kwotą transakcji z tymi klientami.
Zadanie B.2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości −1, 0, 1 z prawdopodobieństwami po 16, natomiast reszta prawdopo- dobieństwa rozłożona jest równomiernie na przedziale (0, 1). Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie B.3. Znajdź stałą c, dla której poniższy ciąg jest rozkładem prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej.
a. pi= c(2/3)i, i = 1, 2, . . . , poza tym 0.
b. pi= ci, i = 1, . . . , 6, poza tym 0.
Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X, dla której PX({i}) = P (X = i) = pi.
Zadanie B.4. Podaj rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta dana jest wzorem:
a) F (x) =
0 dla x < −5;
1
6 dla − 5 ¬ x < 1;
1
3 dla 1 ¬ x < 4;
1
2 dla 4 ¬ x < 10;
1 dla x 10.
b) F (x) =
(0 dla x < 3;
1 −bxc2 dla x 3.
Zadanie B.5. Dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie:
F (x) =
0 dla x < 0 2√
x dla 0 ¬ x < a 1 dla x a.
Wyznacz wszystkie parametry a, dla których rozkład tej zmiennej losowej jest ciągły i wyznacz w tych przypadkach gęstość.
Zadanie B.6. Zmienna losowa X posiada gęstość daną wzorem:
f (x) =
−6x(x − C) dla x ∈ [0, 1]
0 dla pozostałych x.
a. Wyznacz stałą C.
b. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.
c. Oblicz P(X2< 14) dwoma sposobami: korzystając z gęstości oraz korzystając z dystrybuanty.
ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI
Zadanie B.7. Z przedziału [0, 1] wybrano (zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym) dwie liczby. Niech X oznacza sumę wybranych liczb.
a. Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X.
b. Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X?
c. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X.
Zadanie B.8. Zorganizowano grę polegającą na rzucie monetą i kostką o następujących zasadach: wygrywamy 4zł w przypadku wyrzucenia reszki i jedynki, wygrywamy 2zł w przypadku wyrzucenia orła lub parzystej liczby oczek, w pozostałych przypadkach przegrywamy 3zł (tzn. „wygrywamy” minus 3 zł). Podaj rozkład i dystrybuantę X.
Zadanie B.9. Pięć kobiet i pięciu mężczyzn zostaje ustawionych w ranking na podstawie wyników egzaminu. Zakładamy, że każdy wynik jest inny i wszystkie uporządkowania są jednakowo prawdopodobne. Niech X będzie najwyższą pozycją w rankingu uzyskaną przez kobietę (np. X = 1, jeśli na pierwszym miejscu jest kobieta.) Podaj rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie B.10. W losowaniu totolotka wybiera się 10 różnych liczb ze zbioru {1, . . . , n} (n 10). Niech X oznacza najwiękaszą z wylosowanych liczb. Podaj rozkład zmiennej losowej X.
Zadanie B.11. Dla gęstości zmiennej losowej X
f (x) =
(x2/18 dla − 3 < x < 3;
0 dla pozostałych x znajdź P(|X| < 1) i P(X2< 9) oraz wyznacz jej dystrybuantę.
Zadanie B.12. Zmienna losowa X posiada dystrybuantę:
F (x) =
0 dla x < 0
1
2x dla 0 ¬ x ¬ 2 1 dla x > 2
.
Oblicz prawdopodobieństwa: P(X2¬ X), P(X ¬ 2X2) oraz wyznacz jej gęstość.
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Asia i Basia umówiły się w restauracji między 7.00 a 8.00. Każda z nich przychodzi w losowym momenie między 7.00 a 8.00. Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej okresowi oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza.
Zadanie C.2. 5 różnych liczb rozdano (po 1) 5 graczom o numerach 1, 2, 3, 4, 5. Gdy 2 gracze porównują swoje liczby, ten z większą liczbą jest zwycięzcą. Najpierw gracze 1 i 2 porównują swoje liczby, a zwycięzca porównuje swoją z graczem 3 itd. Niech X oznacza liczbę zwycięstw gracza 1. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa PX.
Zadanie C.3. Wykaż, że jeśli f i g są gęstościami, to, dla każdego 0 ¬ λ ¬ 1, funkcja λf + (1 − λ)g też jest gęstością.
Zadanie C.4. Pokaż, że nie można tak wyważyć dwóch kostek do gry, by suma S wyrzuconych oczek miała rozkład równoprawdopodobny, tzn. by P (S = i) = 111 dla wszystkich i = 2, . . . , 12.
Zadanie C.5. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem
F (x) =
0 dla x < 1
1
6(x + 1) dla 1 ¬ x < 2
1 dla x 2
Przedstaw F jako wypukłą kombinację liniową dystrybuant: dyskretnej Fd i ciągłej Fc. Zadanie C.6. Zad 6. §4.2.
Zadanie C.7. Zad 7. §4.2.
Zadanie C.8. Piekielny Piotruś hoduje bakterie. Na początku w terrarium znajduje sie jedna bakteria Escherichia Coli oraz jedna bakteria Salmonella Enteritidis. Jeden cykl rozmnażania polega na tym, że losowo wybrana bakteria (każda sposród bakterii obecnych w terrarium ma równe prawdopodobieństwo) dzieli sie przez podział na dwie bakterie tego samego rodzaju (czyli np. zamiast jednej bakterii Escherichia będa dwie bakterie Escherichia). Powyżej opisane rozmnażanie jest powtarzane tak długo, aż łączna liczba wszystkich bakterii w terrarium będzie wynosiła dokładnie 1011 (czyli sto miliardów). Przez X oznaczamy liczbę bakterii Salmonella na samym końcu. Znajdź rozkład zmiennej losowej X.
Jak zmieni się odpowiedź, gdy w terrarium znajdują się trzy bakterie Escherichia oraz pięć bakterii Salmonella?
Zadanie C.9. W urnie znajduje się 5 ponumerowanych kul: {1, 2, 3, 4, 5}. Losujemy 3 różne z nich. Niech a będzie największym numerem na wylosowanych kulach. Jeśli a jest parzyste, to zapisujemy liczbę wlosowaną w sposób jednostajny z przedziału (a + 1). Jeśli a jest nieparzyste, to zapisujemy a. Niech X będzie zapisaną liczbą.
Wyznacz dystrybuantę F tej zmiennej losowej. Czy jest ona dyskretna/ciągła? Jeśli tak, podaj jej rozkład. Jeśli nie, zapisz jej dystrybuantę jako kombinację liniową dystrybuanty zmiennej losowej ciagłej i dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej.
Zadanie C.10. Dana jest liczba naturalna k. Rzucamy monetą do momentu aż wyrzucimy przynajmniej k reszek i przynajmniej k orłów. Oznaczamy przez X liczbę rzutów. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
Zadanie C.11. Wykonujemy rzut n monetami, z których na każdej wypada orzeł z prawdopodobieństwem p, niezależnie od pozostałych. Rzucamy ponownie każdą monetą na której wypadł orzeł. Jaki jest rozkład liczby orłów które wypadną w wyniku drugiego rzutu?
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 Rozkład:
P (X = 0) = 0, 7 · 0, 4
P (X = 500) = 0, 7 · (0, 6 · 0, 5) + (0, 3 · 0, 5) · 0, 4
P (X = 1000) = 0, 7 · (0, 6 · 0, 5) + (0, 3 · 0, 5) · 0, 4 + (0, 3 · 0, 5) · (0, 6 · 0, 5) P (X = 1500) = (0, 3 · 0, 5) · (0, 6 · 0, 5) + (0, 3 · 0, 5) · (0, 6 · 0, 5)
P (X = 2000) = (0, 3 · 0, 5) · (0, 6 · 0, 5).
Dystrybuanta:
F (x) =
0, dla x < 0,
0, 28, dla 0 ¬ x < 500, 0, 55, dla 500 ¬ x < 1000, 0, 865, dla 1000 ¬ x < 1500, 0, 955, dla 1500 ¬ x < 2000, 1, dla x 2000.
B.2
F (a) =
0 dla a < −1
1
6 dla − 1 ¬ a < 0
1
2x + 13 dla 0 ¬ a < 1
1 dla a 1
B.3 a) c = 1/2,
F (x) =
(0 dla x < 1, 1 − (2/3)bxc dla x 1, b) c = 1/21,
F (x) =
0 dla x < 1 1/21 dla 1 ¬ x < 2 3/21 dla 2 ¬ x < 3 6/21 dla 3 ¬ x < 4 10/21 dla 4 ¬ x < 5 15/21 dla 5 ¬ x < 6
1 dla x 6
B.4 a)P (X = −5) = 1/6, P (X = 1) = 1/6, P (X = 4) = 1/6, P (X = 10) = 1/2.
b)P (X = 3) = 1/3 oraz P (X = k) = k−12 −2k dla k = 4, 5, . . . B.5 a = 1/4
f (x) =
0 dla x ¬ 0 1/√
x dla 0 < x < 1/4 0 dla x 1/4.
B.6 a) C = 1 b)
F (a) =
0 dla a < 0 3a2− 2a3 dla 0 ¬ a ¬ 1 1 dla a > 1 c) 1/2
B.7
F (t) =
0 dla t < 0;
1
2t2 dla 0 ¬ t < 1;
1 − 12(2 − t)2 dla 1 ¬ t < 2;
1 dla t 2.
f (x) =
0 dla t < 0;
t dla 0 ¬ t < 1;
2 − t dla 1 ¬ t < 2;
0 dla t 2.
P (X ∈ [0; 2]) = 1 B.8 Rozkład:
P (X = 4) = 1/12, P (X = 2) = 3/4, P (X = −3) = 1/6 Dystrybuanta:
F (t) =
0, dla t < −3,
1
6, dla − 3 ¬ t < 2,
11
12, dla 2 ¬ t < 4, 1, dla t 4.
B.9 P (X = k) = (5)k−1·5·(10−k)!10! , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
B.10 P (X = k) = k−19 / 10n, k = 10, . . . , n.
B.11 1/27, 1
F (t) =
0 dla t < −3
t3
54+12 dla − 3 ¬ t ¬ 3 1 dla t > 3 B.12 1/2, 3/4,
f (x) =
0 dla x < 0
1
2 dla 0 ¬ x ¬ 2 0 dla x > 2
.
