7 marca 2017

Analiza matematyczna 2, 2016/2017 ćwiczenia 3. – rozwiązania

7 marca 2017

1. Niech:

fn(x) =

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

nx dla x ∈ [0,_n¹] 2 − nx dla x ∈ (_n¹,²_n] 0 dla x > _n²

.

Zbadaj zbieżność ciągu fn na przedziale [0, ∞).

Oczywiście f_n→0, bowiem dla każdego x, dla n ≥ ²_x, f_n(x) = 0. Zbieżność nie jest jednostajna, bowiem dla każdego n, mamy fn(_n¹) =1, a zatem, jeśli ε =¹₂, dla każdego N mamy takie x ∈ [0, ∞), że ∣fn(x) − 0∣ = 1 > ε =¹₂.

2. Zbadaj zbieżność ciągu g_n(x) = xⁿ na przedziale [0, 1].

Ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji:

g(x) =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

0 dla x ∈ (0, 1) 1 dla x = 1 ,

bowiem limn→∞xⁿ = 0 dla x ∈ (0, 1) oraz limn→∞1ⁿ = 1. Funkcja g nie jest ciągłą, więc gn nie jest na pewno jednostajnie zbieżny.

3. Udowodnij, że ciąg

h_n(x) =

√

x²+x +1 n jest zbieżny jednostajnie na przedziale [0, ∞).

Twierdzimy, że ciąg ten jest zbieżny do funkcji√

x²+x. Niech ε > 0. Zauważ także, że ∣√ a −√

b∣ ≤√

∣a − b∣.

A zatem ∣fn(x) − f (x)∣ ≤ ^√1_n, dla każdego x ∈ [0, ∞). Zatem, jeśli N = ⌈(¹_ε)

2⌉, to ∣fn(x) − f (x)∣ ≤^√1_n ≤ε. ◻

4. Zbadać zbieżność ciągu pn(x) = √ⁿ

x na przedziale (0, ∞) i podać jej rodzaj.

Oczywiście ten ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji stale równej 1 ponieważ limn ⁿ

√x = 1 dla każdego x ∈ (0, ∞). Nie jest jednak zbieżny jednostajnie. Niech ε = ¹₂. Wtedy dla każdego N znajdę x ∈ (0, ∞), takie że ∣fN(x) − 1∣ > ε = ¹₂. Rzeczywiście, niech x = ₃¹N. Mamy fN(x) = ¹₃, więc ∣fN(x) − 1∣ = ²₃ >¹₂, zatem ten ciąg nie jest zbieżny jednostajnie.

5. Wykaż, że ciąg

q_n(x) = 2x 1 + 4n²x² jest jednostajnie zbieżny na R.

Oczywiście lim_n→∞1+4n^2x_2x2 =0 dla każdego x ∈ R, zatem ten ciąg jest punktowo zbieżny do funkcji stale równej 0. Sprawdźmy, że jest jednostajnie zbieżny. Niech ε > 0. Zauważmy, że

2∣x∣

1 + 4n²x² ≤ 1 2n,

bowiem 4n∣x∣ ≤ 1 + 4n²x², bo (2nx − 1)² ≥0. A zatem wystarczy wziąć N = ⌈_2ε¹⌉. I wtedy dla każdego n > N mamy:

2∣x∣

1 + 4n²x² ≤ 1 2n ≤ε.

1

6. Zbadaj zbieżność ciągu vn(x) = xⁿ na przedziale [−¹₂,¹₂].

Ten ciąg jest zbieżny jednostajnie do zera, bowiem sup_x∈[−1

2,¹₂]∣vn(x) − 0∣ = ₂¹_n →0. Jest też oczywiście punktowo zbieżny.

7. Zbadaj zbieżność ciągu

wn(x) = n x + n na przedziale (0, ∞).

Ten ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji stale równej 1, bowiem dla każdego x, mamy limn→∞wn(x) = 1.

Nie jest jednak jednostajnie zbieżny. Niech bowiem ε = ¹₂, wtedy dla każdego N , znajdziemy x ∈ (0, ∞), takie że ∣w_N(x) − 1∣ >¹₂. Rzeczywiście, niech x = 2N . Wtedy: ∣w_N(x) − 1∣ = ∣₃¹−1∣ =²₃ > ¹₂.

8. Zbadaj zbieżność ciągu

zn(x) = nx 1 + nx² na całym zbiorze R.

Ten ciąg jest punktowo zbieżny do funkcji

z(x) =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

1

x dla x ∈ R ∖ {0}

0 dla x = 0 .

Ponieważ funkcja z nie jest ciągła, ten ciąg nie może być jednostajnie zbieżny.

2