Matematyka dla informatyków Tom 2 - Jerzy August Gawinecki - pdf, ebook – Ibuk.pl

Pełen tekst

(1)Rozdzia 2 Rwnania rniczkowe II-go rzdu 2.1. Pojcie rwnania rniczkowego II-go rzdu i jego rozwizania. Denicja 2.1. a). Rwnanie rniczkowe II-go rz du jest to rwnanie postaci. F (x y y y ) = 0 0. (2:1). 00. lub. y = f (x y y ) (2:2) wyraaj ce zwi zek mi dzy szukan funkcj y(x), a jej pochodnymi y (x) i y (x) oraz zmienn niezalen . Zwi zek ten jest wiadomy (wyraa go symbol F , wzgl dnie f ) a niewiadom jest zale

(2) no y od x. Posta (2.2) nazywamy postaci normaln. Denicja 2.2. Rozwi zaniem, czyli cak rwnania (2.2) nazywamy kad funkcj y = '(x) (2:3) ktra w pewnym przedziale I ma pierwsz i drug pochodn i spenia rwnanie 00. 0. 0. ' (x) = f (x '(x) ' (x)) x 2 I 00. 0. 00. (2:4). b) Rozwi zaniem oglnym, czyli cak ogln rwnania (2.2) nazywamy wyraenie y = (x A B ) (2:5) ktre, przy kadej ustalonej parze wartoci A B wybranych dowolnie z pewnych przedziaw, jest rozwi zaniem (cak ) rwnania (2.2). Caka oglna jest dwuparametrow rodzin caek danego rwnania. Funkcje postaci (2.3) dla odrnienia od caki oglnej b dziemy nazywali ca kami szczeglnymi..

(3) 31. 2.1. Pojcie rwnania rniczkowego II-go rzdu i jego rozwizania. Warunki pocztkowe liczb:. Warunki pocz tkowe dla rwnania II-go rz du polegaj na podaniu trzech. x0 y0 y0 (2:6) i daniu, aby dla x = x0 pewna caka szczeglna tego rwnania y = '(x) przyjmowaa wartoci y0 i aby jednoczenie jej pochodna miaa warto y0 ' (x0 ) = y0 ' (x0 ) = y0 (2:7) Cak tak atwo wyznaczy, jeli znana jest caka oglna (2.4). Wystarczy wstawi warto (2.7) dan w warunkach pocz tkowych do caki oglnej oraz do zwi zku otrzymanego z caki oglnej poprzez zrniczkowanie jej wzgl dem x i z otrzymanych w ten sposb rwna y0 = (x0 A B ) (2:8) y0 = (x0 A B ) wyznaczy odpowiedni warto parametrw A i B . Oznaczymy te wartoci przez A0 i B0 . Jeli teraz w cace oglnej (2.5) podstawimy A = A0 B = B0 to otrzymamy cak szczegln. y = (x A0 B0 ) (2:9) speniaj ce dane warunki pocz tkowe. Uwaga 2.1. Geometrycznie oznacza to, e z nieskoczenie wielu krzywych cakowych przechodz cych przez punkt (x0 y0 ) wybieramy t , ktrej styczna ma nachylenie do osi Ox okrelone zwi zkiem tg = y0 0. 0. 0. 0. 0. 0. Rys 2.1. 0.

(4) 32. 2.2. Rwnania rniczkowe drugiego rzdu sprowadzone do rwna .... Warunki brzegowe. Warunki brzegowe dla rwnania II-go rz du polegaj na podaniu dwch punktw (x0 y0 ) i (x1 y1 ) i daniu, aby pewna krzywa cakowa przechodzia przez te punkty.. 2.2. Rwnania rniczkowe drugiego rzdu sprowadzalne do rwna

(5) rniczkowych pierwszego rzdu. Cakowanie rwna rniczkowych II-go rz du jest znacznie trudniejsze od cakowania rwna rniczkowych I-go rz du. W tabeli podamy typy rwna rniczkowych II-go rz du, ktre daj si sprowadzi do rwna I-go rz du. Typ. Przykad. Cecha. F (x y y ) = 0 y x3 + y x2 = 1 0. 00. 00. 0. 00. 0. F (x y y y ) = 0. 0. brak y. 0. F (y y y ) = 0 2y 2 = (y ; 1)y. Podstawienie y = u(x) y =u y = u(y) y = dduy y = dduy u 00. 0. 0. brak x. 00. 0. 00. ) jednorodne ) y=e ( ) jednorodne wzgldem y y y ) Jednorodne wzgldem y y y cznie | oznacza, e kady wyraz jest tego samego stopnia wzgldem y y y cznie ) Podstawienie y = e ( ) prowadzi do rwnania rniczkowego II-go rzdu o niewiadomej Z (x) postaci F (x Z (x) Z (x)) = 0, gdzie brak jest Z . Dalej podstawiajc Z (x) = u(x) Z (x) = u (x) otrzymujemy rwnanie I-go rzdu. 0. 00. 00. . 0. 0. . yy ; y 2 = 0. Z x. 0. 0. 00. 00. 00. Z x. . 0. 0. 00. 00. 0. Przyk ad 2.1.. Rozwi za rwnanie rniczkowe a) y = xy , 00. 0. Rozwizanie:. a) Podstawiamy. b) yy = 2y. y = u y = u. 00. czyli Zatem Rozdzielaj c zmienne mamy:. 0. 00. u =xu 0. xu = ddux du = xdx u. 0. 00. .

(6) 2.2. Rwnania rniczkowe drugiego rzdu sprowadzone do rwna .... Z du Z u = xdx. Cakuj c dostajemy czyli. 2. ln juj = x2 + ln c. Zatem. u = Ce x2 2 dy = Ce x2 dx 2. Z. y = C e x2 dx + A. Odpowied. b) Podstawiamy. Z. y = C e x2 dx + A y = u(y) 0. Mamy. 2. 2. y = u dduy 00. yu dduy = 2u2. Rozdzielaj c zmienne otrzymamy. du = 2 dy u y Cakuj c obustronnie dostajemy. Z du Z dy u =2 y. czyli Zatem. ln juj = 2 ln jyj + c. u = Cy2 gdzie C = ec Wracaj c do podstawienia otrzymujemy dy 2 dx = Cy. 33.

(7) 34. 2.3. Rwnanie rniczkowe zwyczajne liniowe II-go rzdu. dy = C dx y2. Z dy Z y2 = C dx. Zatem czyli. ; y1 = Cx + D. Ostatecznie mamy y = ; Cx 1+ D. gdzie C D | stae. Odpowied.. Rozwi zanie ma posta. y = ; Cx 1+ D. C.O.R.. 2.3. Rwnanie rniczkowe zwyczajne liniowe II-go rzdu. Denicja 2.3. Rwnanie rniczkowe liniowe II-go rz du ma posta. y + p(x)y + q(x)y = f (x) (2:10) gdzie: x | oznacza zmienn niezalen , y = y(x) | jest szukan funkcj niewiadom ) p(x) q(x) f (x) | s funkcjami wiadomymi okrelonymi i ci gymi w przedziale X . Jeeli funkcja f (x) nie jest tosamociowo rwna 0, to rwnanie (2.10) nazywamy rwnaniem niejednorodnym (RN). Jeeli prawa strona f (x) rwnania (2.10) jest tosamociowo rwna zeru, to rwnanie (2.10) nazywamy rwnaniem jednorodnym (RJ). Rwnanie (2.10) moemy rozwi za elementarnie, jeli znamy cak ogln. odpowiedniego rwnania jednorodnego. Rwnanie (2.10) mona rozwi za elementarnie gdy wspczynniki p i q s stae, w przeciwnym wypadku rwnanie to na og nie daje si rozwi za elementarnie. Twierdzenie 2.1. (W asnoci rozwiza RJ) a) Jeli funkcja y1 (x) jest ca k RJ, to wyraenie Cy1 (x) jest ca k RJ (gdzie C | dowolna sta a). b) Jeli y1 (x) i y2 (x) s ca kami rwnania jednorodnego RJ, to C1 y1 + C2 y2 jest te ca k rwnania jednorodnego RJ. 00. 0.

(8) 2.3. Rwnanie rniczkowe zwyczajne liniowe II-go rzdu. 35. Denicja 2.4. Dwie caki y1 i y2 RJ nazywamy:. a) liniowo zalenymi w przedziale (a b), gdy istniej stae C1 i C2 nie wszystkie rwne zeru, takie, e C1 y1 + C2 y2 = 0 b) liniowo niezalenymi w przedziale (a b), gdy z rwnoci: C1 y1 + C2 y2 = 0 wynika, e C1 = 0 oraz C2 = 0 c) o cakach y1 , y2 liniowo niezalenych w przedziale (a b) mwimy, e tworz. uk ad podstawowy ca ek. Twierdzenie 2.2. Ca ki y1 y2 rwnania jednorodnego (RJ) s liniowo niezalene w przedziale (a b) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik Wro skiego jest rny od zera w przedziale (a b) tzn y y W (y1 y2 ) = y1 y2 6= 0 dla 8x 2 (a b) 1 2 0. 0. Dowd.. Konieczno: Niech y1 y2 b d cakami RJ liniowo niezalenymi tzn. z rwnoci C1 y1 + C2 y2 =0 wynika, e C1 = 0 i C2 = 0. Rniczkuj c rwno C1 y1 + C2 y2 = 0 mamy: C y + C y = 0 1 1 2 2 C1 y1 + C2 y2 = 0 Zatem ukad ten posiada tylko rozwi zanie zerowe) wyznacznik musi by rny od zera. Dostateczno warunku Jeeli W 6= 0, to y1 y2 s cakami RJ liniowo niezalenymi. Dowd przeprowadzimy metod nie wprost. Niech y1 y2 b d cakami liniowo zalenymi tzn. C y + C y = 0 1 1 2 2 C1 y1 + C2 y2 = 0 Powyszy ukad ma rozwi zanie niezerowe tzn. W = 0, a to jest sprzeczne z zaoeniem. Uzyskana sprzeczno dowodzi tez twierdzenia. Twierdzenie 2.3. Jeeli ca ki y1 y2 rwnania jednorodnego s niezalene w przedziale (a b) to ca ka oglna rwnania jednorodnego wyraa si wzorem y = C1 y1 + C2 y2 C.O.R.J. 0. 0. 0. 0.

(9) 36. 2.3. Rwnanie rniczkowe zwyczajne liniowe II-go rzdu. Twierdzenie 2.4. Jeeli mamy rn od zera ca k szczegln RJ, to metod uzmienniania sta ej moemy wyznaczy ca k ogln tego rwnania.. Dowd.. Zaloymy, e funkcja. y1 (x). jest znan niezerow cak RJ. Jej iloczyn przez dowoln sta C jest te cak. ale para caek y1 (x) Cy1 (x) nie tworzy ukadu podstawowego. Wobec tego sprbujemy uzmienni sta tj. zast pi j funkcj C (x) tak dobran , aby iloczyn. C (x)y1(x). (2:11). by cak RJ i tak, aby para caek. y1 (x). C (x)y1 (x). (2:12). tworzya ukad liniowo niezaleny (tzn. ukad podstawowy). Aby wyznaczy C (x) podstawiamy wyraenie (2.11) oraz jego pierwsz. i drug pochodn do RJ. Po redukcji otrzymujemy. C (x) = ;2 y1 (x) ; p(x) C (x) y1 (x) 0. 00 0. (2:13). czyli po scakowaniu dostajemy. Z e R p(x)dx dx C (x) = ;. y12 (x). Zatem, mamy. Z e P (x). y2 (x) = y1 (x) A + B y2 (x) dx 1 ;. gdzie P (x) | jest funkcj pierwotn funkcji p(x).. (2:14).

(10)