G\VNU\PLQDF\MQHM 3UDFD ZSã\QčãD GR 5HGDNFML

Pełen tekst

(1)52&=1,., 32/6.,(*2 72:$5=<67:$ 0$7(0$7<&=1(*2 6HULD ,,, 0$7(0$7<.$67262:$1$ ;;;9

(2). 7 % U R PH N : 1 L H PL U R. 7HRULRGHF\]\MQH SRGVWDZ\ DQDOL]\ G\VNU\PLQDF\MQHM 3UDFD ZSã\QčãD GR 5HGDNFML

(3). : V WĊ S 6WDW\VW\F]QD WHRULD GHF\]ML SU]\ELHUD SURVWą L ]DPNQLĊWą SR VWDü ZWHG\NLHG\ ]DNáDGDP\ĪH]DUyZQR]ELyU VWDQyZQDWXU\MDNL ]ELyU DN FML VąVNRĔF]RQH -HVW WRSU]\SDGHN GR NWyUHJRRJUDQLF]\P\VLĊ Z WHM SUDF\ 3RPLPRSURVWRW\RPDZLDQ\IUDJPHQW WHRULL PDZDĪQHSROH ]DVWRVRZDĔVWD QRZL SRGVWDZĊ ZQLRVNRZDQLD VWDW\VW\F]QHJR Z DQDOL]LH G\VNU\PLQDF\MQHM =DPLHU]HQLHP WHM SUDF\ MHVW SU]HJOąG Z\QLNyZ Z G]LHG]LQLH Z NWyUHM ED GDQLD Z\GDMąVLĊMXĪ ]DNRĔF]RQH 2SUyF] WZLHUG]HĔ NODV\F]Q\FK V]F]HJyOQH PLHMVFH ]DMPXMąZ\QLNL SLHUZV]HJR ] DXWRUyZ %DGDQ\ SU]H] QLHJR SRU]ąGHN R FKDUDNWHU\]DFMDUHJXá GRSXV]F]DOQ\FK L LFK LQWHUSUHWDFMD JHRPHWU\F]QD RSLVDQH Vą Z UR]G]LDáDFK L 7DGHXV] %URPHN QLH RSXEOLNRZDá W\FK Z\ QLNyZ Z RVWDWHF]QHM RJyOQHM IRUPLH =D V]F]HJyá\ SU]HGVWDZLHQLD RGSRZLH G]LDOQ\ MHVW GUXJL ] DXWRUyZ 2G QLHJR SRFKRG]ą WHĪ SHZQH X]XSHáQLHQLD L PRG\ILNDFMH WDNLH MDN ZSURZDG]HQLH SRU]ąGNX L SU]HQLHVLHQLH UR]ZDĪDĔ JHRPHWU\F]Q\FK ] RUWDQWX 5 GR V\PSOHNVX 3 U ] \ N áD G \ S UD N W\ F] Q \ F K ]DJDGQLHĔ G \VN U\P LQ D FML$QDOL]DG\V NU\PLQDF\MQD ]DMPXMH VLĊ ]DGDQLDPL QDVWĊSXMąFHM SRVWDFL %DGDP\ RELHNW R NWyU\P ZLHP\ ĪH SRFKRG]L ] MHGQHM VSRĞUyG SRSXODFML DOH QLH ZLHP\ ] NWyUHM 6WDUDP\ VLĊ UR]SR]QDü ZáDĞFLZ\ QXPHU SRSXODFML QD SRG VWDZLH ]QDMRPRĞFL SHZQ\FK FHFK RELHNWX ]DSLVDQ\FK Z SRVWDFL ZHNWRUD ; ; L $´Q

(4) :VSyáU]ĊGQH WHJR ZHNWRUD PRJą E\ü ]PLHU]RQ\PL ZLHO NRĞFLDPLOLF]ERZ\PL OXE XPRZQ\PLZDUWRĞFLDPLMDNRĞFLRZ\FK FHFKRELHNWX 3U]\MPXMHP\ ĪH ZHZQąWU] NDĪGHM ] SRSXODFML ZDUWRĞFL FHFK SRGOHJDMąSHZ Q\P ZDKDQLRP ORVRZ\P F]\OL WUDNWXMHP\ MH MDNR ]PLHQQH ORVRZH =LOX.

(5) 9 4. T . Bromek ,W . N iem iro. s t ru jmyog romnyzak r e sza s to sowańana l i z ydy sk rym ina cy jn e jt r zema ,do ś ć dowo ln i e wyb ranym ip r zyk ładam i . Przyk ład A .K la sy c znap ra caF i sh e ra ( 1936) . P raca ,k tó razapo c zą tkowa łaro zwó jana l i z ydy sk rym ina cy jne jdo ty c zy ła zagadn ien ia bo tan i c znego . Badanym i ob i ek tam i by ły kw ia ty , na l e żą ce do \ =Ir isse to sa ,@ 2 —Ir is v irg in ica , jednegozt r ze chga tunkówi r y sów :0 # 3 = Ir is v e r s ico lo r . Ro zpa t rywane by ły c z t e ry c e chy kw ia tów :X \ = „d ługo ś ćp ła tków ” ,X2 = „ s ze roko ś ćp ła tków ” ,X3 =„d ługo ś ćs łupkakw ia towego ” ,X4 = „ s z e roko ś ćs łupkakw ia towego ” .P r z edm io t em badań by ła mo ż l iwo ś ćod ró żn i en iaga tunkównapod s taw i ety chc e ch . ■ Przyk ład B .D iagno za m edy c zna . Badanym i ob i ek tam i są pa c j en c i , po s z c z egó ln e popu la c j e odpow iada ją ró żnymjedno s tkomcho robowym ,za śc e cham isąob jawy ,w yn ik ibadańi tp . Wpewnymkonk r e tnymzagadn ien iu(Bob row sk iiinn i , 1 987)pac j en c i ,c i e r p ią cynacho robyta r c zy cy ,pod z i e l en iby l i ,zgodn i ezro zpo znan i em medy c z nym , nat r zy popu la c j e :9 i = Hype r thy reo s i s,6 2 =Dy s ton ia n eu rov e g e ta t iva ,9 3 = Eu thyreo s i s . Ro zpa t rywanyz e s tawc e ch(Xi ,X2 , . . .X33 ) sk łada łs i ęz wyn ikówc z t e r e cht e s tówlabo ra to ry jny cho ra zop i suob jawów cho robowy chzakodowanego wpo s ta c ic iąguz e rij edynek .P rob l emdo ty c zy ł mo ż l iwo ś c ipo s taw i en ia w ia rogodn e jd iagno zynapod s taw i ety chc e ch . ■ Przyk ład C . Ro zpo znawan ieob ra zów . P r zyau toma ty c znym ,kompu t e rowymod c zy tywan iut ek s tu ,np . ma s zy nop i su , badanym iob iek tam isązn ak ig ra f i c zn e . Popu la c j eodpow iada jąró ż ’ \^ 2 =„B”i td . nyml i t e rom ,cy f romiznakomin t e rpunk cy jnym :ć f i = „A Wybó rodpow i edn i egoz e s tawuc e chj e s tz ło żonymzadan i em . Na jp ro s t s zym spo sob emje s t pod z i e l en i e badanegof ragmen tuzap i san e jp ła s z c zy zny na ma ł e kwad ra c ik i za pomo cąt zw .ra s t ra .J e ś l ii ty kwad ra c ikj e s t za c ze r i —1 , wp r z e c iwn ym wypadkuX { — 0. Wek to r n ion y ,to p r zy jmu j emy X c e chje s tc iąg i em z e rij edynek . Me tody ,s to sowan e wp rak ty ce doro zpo znawan ia p i sma omaw iaba rd z i e jr ea l i s t y c zn i eis z c z egó łowo Nagy(19 82) . ■. L i te ra tu ras ta ty s tyc znaob f i tu j e wp r zyk łady podobny chzadań . W i e l e c i ekawy chza s to sowańz eb rany chzo s ta ło w d ru g imtom i e po radn ikas ta ty s ty c znegopodr ed .K r i shna iahaiKana la(1 982) .Zagadn i en iomdy sk rym ina c j is ta ty ty c zne jpo św i ę con esą m . in . monog r a f i e Dev i jve rai K i t t le ra(1 982) , Handa(1 981) ,K r zy śk i( 1990) ,La ch enb ru cha( 1975) . Wt e jp ra cyp r zy jm iemy ,ż ero zk ładyp rawdopodob i eń s twa wek to rac e ch w ka żd e j zro zpa t rywany ch popu la c j i sązn an e . Toza ło ż en i eje s t ba rd zo du żym up ro s z c z en i emzpunk tu w id z en iap rak tyk i . Po zwa laonoj ednak na zbudowan i es to sunkowop ro s te jiba rd zou ży te c zn e jt eo r i is ta ty s ty c zne j ..

(6) Teorio-decyzyjne podstawy analizy dyskryminacyjnej. 95. 3 . Sfo rm u ło w an ie te o rio d ecy zy jn e . Przez zadanie dyskryminacji będziemy rozumieli następujące statystyczne zagadnienie decyzyjne. Założymy, że przestrzeń statystyczna ma postać ( A ',{ P j ,* e e } ) , gdzie zbiór stanów natury jest zbiorem skończonym © = { !,.• • * } Przestrzeń X jest zbiorem możliwych wyników obserwacji, wyposażonym w pewne (j-ciało T . Zmienną losową X o wartościach w (X, T ) interpretujemy jako opis mierzonych lub obserwowanych cech badanego obiektu. Każdy rozkład prawdopodobieństwa Pi, i = 1, .. .k na przestrzeni obserwacji odpowiada jednej z k populacji obiektów. Załóżmy, że / i, . . . f k są gęstościami rozkładów P i , . . . Pk względem pewnej ustalonej miary <7-skończonej fi. Przyjmijmy, że zbiór {z E X : fi(x) = . . . = f k(x) — 0} ma miarę ji zero. Nie zmniejszamy przez to ogólności rozważań, gdyż zawsze możemy przyjąć na przykład f.i = Pi + . . . -(- Pk; w zastosowaniach (X jest zazwyczaj przestrzenią euklidesową z miarą Lebesgue’a lub przestrzenią dyskretną z miarą liczącą. Statystyk próbuje na podstawie obserwacji X rozpoznać, z której populacji obiekt pochodzi. Przyjmiemy, że zbiór akcji statystyka jest równy A = {0 ,1,...& }. Akcje 1, . . .k interpretowane są jako odgadnięte stany natury, zaś akcja 0 rozumiana jest jako zawieszenie decyzji. Zbiór A* = {(<2o,<Zi, • • -Qk) : <7i > 0,tfO+ qi + . . . -f qk = 1} będzie przez nas interpretowany jako rodzina wszystkich miar probabilistycznych na zbiorze A. Regułą decyzyjną nazywamy funkcję 6:X ->A \ Przez funkcję określoną na X rozumieć będziemy zawsze odwzorowanie P-mierzalne, jawnie tego nie podkreślając. Regułę S = (So, S i , .. .Sk) interpretujemy jako podjęcie przez statystyka akcji j z prawdopodobieństwem ^•(x), jeśli zaobserwowana została wartość X = x. Jeżeli ô(^) = 0, to mówimy, że 6 jest regułą bez zawieszania decyzji. Wielkości. (1). eij(i) = Ei6j ( X ) =. J /i W y j W J i ) .. X. oznaczają odpowiednio: dla i / j / 0 prawdopodobieństwa błędów, dla i = j prawdopodobieństwa poprawnej klasyfikacji, dla j = 0 prawdopodobieństwa zawieszania decyzji. Macierz [ejj(ń)] o wymiarach k X (k + 1) będziemy nazywali macierzą błędów..

(7) 96. T. Bromek,W. Niemiro. Regułą niezrandomizowaną nazywamy funkcję 6 : X - >A , przy czym zbiór A traktujemy jako podzbiór A *, utożsamiając element j £ A z rozkładem prawdopodobieństwa aj = ( 0 , . . 0 ) , skupionym w punkcie j . Zauważmy, że reguła niezrandomizowana jest równoważna z podziałem przestrzeni obserwacji na k -f 1 rozłącznych zbiorów Vj — {x £ X : 6(x) = ttj}, zwanych obszarami decyzyjnymi. Wzór ( 1) przybiera postać. e i j ( 6) = P i ( X € V j ) =. J M x)fi(dx).. Funkcję strat L : 0 x A —» R utożsamiamy z k x (k -f 1)-wy miarową macierzą L — [Lijo] iee Współczynnik L{j oznacza stratę związaną z podjęciem akcji j £ A , jeśli prawdziwym stanem natury jest i £ 0 . W dalszych rozważaniach będziemy mieli do czynienia z macierzami strat spełniającymi warunki Lij > 0, La = 0 oraz, zazwyczaj, Lij > Li o dla i ^ j . Intuicyjny sens tych warunków jest jasny. Macierz strat ma więc postać 0. Lko. Lki. . .. •. L lk •o. L io. Funkcję ryzyka dla reguły S i macierzy strat L utożsamiamy z fc-wymiarowym wektorem o współrzędnych ( 2). Rf(S) = £ L ijeij(6). jeA. R f(£) jest średnią stratą, związaną ze stosowaniem reguły 6, jeśli prawdziwym stanem natury jest i. Rodzinę miar probabilistycznych na zbiorze 0 oznaczymy przez = {(Pi, • • -Pk) ' P i > 0 ,pi-\-...-\-pk = 1}. Jeżeli dany jest rozkład ir £ 0 *, interpretowany jako rozkład a priori, to liczba. ( 3). r L ’"(S) = ' £ * # ( ' W ie&. jest ryzykiem bayesowskim dla reguły S..

(8) 7HRULRGHF\]\MQH SRGVWDZ\ DQDOL]\G\VNU\PLQDF\MQHM. . 5 R ]Z Lą ]DQ LD ED\HVRZ VNLH =DáyĪP\ ĪH GDQDMHVW PDFLHU] VWUDW / L XVWDORQ\ UR]NáDG D SULRUL LU 1LHFK I [

(9) - ULIL [

(10) LH.

(11) . EĊG]LH JĊVWRĞFLą UR]NáDGX REVHUZDFML ; Z PLHV]DQFH SRSXODFML :LHONRĞFL LIL [

(12) I [

(13) PRĪHP\ ]JRGQLH ] WZLHUG]HQLHP %D\HVD LQWHUSUHWRZDü MDNR SUDZGRSRGR ELHĔVWZD D SRVWHULRUL SRFKRG]HQLD REVHUZDFML ] LWHM SRSXODFML MHĞOL ZLD GRPR ĪH ; [ 2]QDF]P\ SU]H] 3L [

(14).

(15).

(16). UL [

(17) - / LM3L [

(18) LH. U\]\NR D SRVWHULRUL WR ]QDF]\ ZDUXQNRZą ĞUHGQLą VWUDWĊ ]ZLą]DQą ] DNFMą M MHĞOL ZLDGRPR ĪH ; [ àDWZR PRĪQD Z\]QDF]\ü SRVWDü UHJXá ED\H VRZVNLFK WR]QDF]\ UHJXá PLQLPDOL]XMąF\FK U\]\NRED\HVRZVNLH :\VWDUF]\ QDSLVDü WR U\]\NR Z SRVWDFL U/ ^

(19) LH. /LM - IL [

(20) M [

(21) S G[

(22) MH$ [. I > - A UM [

(23) M [

(24) @I [

(25) S G[

(26) [ MH$ L ]DXZDĪ\üĪHSUREOHP PLQLPDOL]DFML FDáNL Z\VWĊSXMąFHM Z W\PZ]RU]H VSUR ZDG]D VLĊ GR PLQLPDOL]DFML IXQNFML SRGFDáNRZHM GOD NDĪGHM ZDUWRĞFL [ ( ; :\UDĪHQLH - UM [

(27) M [

(28) RVLąJD QDMPQLHMV]ą ZDUWRĞü MHĞOL M [

(29) QLH ]QLND W\ONR GOD WDNLFK M GOD NWyU\FK UM [

(30) MHVW QDMPQLHMV]H 2WU]\PXMHP\ QDVWĊ SXMąFą FKDUDNWHU\]DFMĊ UHJXá ED\HVRZVNLFK. 7 Z L H U G ] H Q L H 5HJXáD ; ² $ PLQLPDOL]XMH U\]\NR ED\HVRZVNLH U/

(31) ZWHG\ L W\ONR ZWHG\ JG\ GODSSUDZLH ZV]\VWNLFK[ ( ; UR]NáDGSUDZ GRSRGRELHĔVWZD [

(32) MHVW VNXSLRQ\ QD ]ELRU]H ^M ( $ UM [

(33) UQLQÛP D

(34) P ( ; ``

(35) :ĞUyG UHJXá ED\HVRZVNLFK ]DZV]H LVWQLHMą UHJXá\ QLH]UDQGRPL]RZDQH 1LH ]UDQGRPL]RZDQD UHJXáD ; ² $ PLQLPDOL]XMH U\]\NR U/¶U

(36) MHĞOL [

(37) QDOHĪ\ GR]ELRUX

(38) GODSUDZLHZV]\VWNFK[ :MĊ]\NXREV]DUyZGHF\]\MQ\FK PRĪQDWRZ\SRZLHG]LHüWDNREV]DU\9 T 9 ? 9NRGSRZLDGDMąUR]ZLą]DQLX ED\HVRZVNLHPXMHĞOL ^W 9M [

(39) PLQÛP 7

(40) P H $P A M ` ` & 9M & & ^] 7M [

(41) PLQÛP F

(42) P ( `` ] GRNáDGQRĞFLą GR ]ELRUyZ R ]HURZHM PLHU]H S.

(43) 9 8. T . Bromek ,W . N iem iro. Ro zpa t r zmyte ra zb l i ż e jk i lkap r zypadkóws z c z egó ln y ch . Przyk ład A . Dw iepopu la c je ,r egu łyb e zzaw i e s zan iad e cy z j i . Za łó żmy ,ż e mamy doc zyn i en iaz e dwu e l em en tow ymzb io r em s tanów mran i c zamys i ędor egu łn i edopu s z c za ją cy chzaw ie s za na tu ry 0 ={1 ,2}i< n ia de cy z j i ,c z y l ip r zy jm iemy A\ {0 } = {1 ,2}zazb ió rak c j i .N i e ch £1 2i £2 i będą w spó ł c zynn ikam is t ra t . Pon i ewa żr i ( . r ) < ro (x )< £ >£2 1^/H^ )< L \2K \ f\ {x ) , w i ę cregu łybay e sow sk i e ma jąpo s ta ć. {. a \ j e ś l ih (x ) <c, S \ (x )a ifS 2 (x )a2 j e ś l ih (x ) =c , « 2. j e ś l ih (x)>c ,. gd z i e ( 9). Kx ) =ln. ( 10 ). c=. 7 r 2^ / 2 1 O c zyw i ś c ie ,zam ia s tloga ry tmu mo żna w ew zo ra ch(9)i( 1 0)u ży ć dowo ln e j inn e jfunk c j iro sną c e j . ■ Przyk ład B . Dw iepopu la c je ,r egu łyzzaw ie s zan iemd e cy z j i . Wsy tua c j iro zpa t r zone j wpop r z edn imp r zyk ład z i edopu ś ćmy mo ż l iwo ś ć pode jmowan iaak c j i0. N i e ch£ 12 ,£2 1 ,£ io5£ 20b ędą w spó ł c zynn ikam is t ra t . Mamy n(x) >r0{x ) o £2 1 ^2 fi( * e) <L1 0 x i f i{x ) + £20^2/2 (2 ) , r2 {x ) >r 0(x ). L1 2 * i f i(x) < L1 0 x i f i(x ) + £20^2 /2 (2 ) ) -. O zna c zmy (u). c \ =ln. £ 10 7 T 2£ 2 1 —£ 20. c2=ln. T T l£ l2 —£ l0. 7 T 2. £ 20. Za łó żmy na jp i e rw ,ż e £10 /£ i2 + L20 /L2 1 >1 . W tedy punk ty ok r e ś lon e 0)i(11)spe łn ia ją n i e równo ś ćC i <c < C 2 . Regu ły bay e sow sk i e w zo ram i(1 p r zy jmu jąpo s ta ć. ( 12 ). 5 < (x )=. a \ j e ś l ih (x ) <c \ , 6 i (x )« if( 1 —^ i (x ) )ao j e ś l ih (x ) =c i , « o j e ś l ic i <h (x ) <C 2 , Ć 2 ( x ) a2+( 1 —^ 2 ( a ' , ) )ao j e ś l ih (x ) =C 2 , < 2 2 j e ś l iC 2< h (x ) .. J e ż e l i£ io/£ i2 +L20 /L2 1 <1toza chod z in i e równo ś ćc i >c > C 2i ,jak ła two w id z i e ć ,regu ły bay e sow sk i esąr egu łam ib e zzaw i e s zan iad e cy z j iok r e ś lonym iw zo r em(8 )(w p r zypadku c i = c —c2 mo ż l iw ej e s t doda tkowo pode jmowan ieak c j i0 ,j e ś l ih (x ) =c ) . ■.

(44) Teorio-decyzyjne podstaivy analizy dyskryminacyjnej. 99. P r z y k ła d C . Wiele populacji; minimalizacja prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania. Rozważmy, w ogólnym przypadku k populacji, reguły bez zawieszania decyzji. Załóżmy, że współczynniki strat mają postać ( 13). {. 1 dla i 41 ii 0 dla i = j.. W tym przypadku ryzyko bayesowskie •e&jeA, •*/.;* o jest równe prawdopodobieństwu błędnego rozpoznania numeru populacji. Ponieważ rj(x) = 1 —pj(x), więc reguła ó jest bayesowska w klasie reguł bez zawieszania decyzji, jeśli rozkład prawdopodobieństwa S(x) jest skupiony na zbiorze akcji ( 14). {j (E A \ { 0} : hj(x) = max{hi(x) : i = 1, . . .A:}},. gdzie ( 15). ht(x) = ln (fTj/,•(*)).. P r z y k ła d D . Wiele populacji; minimalizacja prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania z uwzględnieniem zawieszania decyzji. Rozważmy problem minimalizacji ryzyka bayesowskiego dla k populacji, przyjmując możliwość zawieszania decyzji, dla macierzy strat postaci ( 16). ( 1 dla i ± j , j / 0, Lij = < 0 dla i = j, l A dla j = 0,. gdzie 0 < A < 1. Ryzyko bayesowskie jest teraz ważoną sumą prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania i prawdopodobieństwa zawieszenia decyzji. Ponieważ ro(a;) = A, więc reguła 6 jest bayesowska, jeśli rozkład prawdopodobieństwa S(x) jest skupiony na zbiorze akcji ( 16). { j G A : hj(x) = max{hi(x) : i = 0, 1, . . .&}},. gdzie funkcje hi , .. .h^ są dane wzorem ( 15), zaś ( 17). ho(x) = ln((l — X)f(x)).. Rozpatrzmy teraz kilka parametrycznych modeli dyskryminącji najczęściej używanych w zastosowaniach..

(45) T. Bromek ,W . N iem iro. 1 0 0. Przyk ład E . Dwaro zk ładyno rm a ln e . N i e ch X =Rn ,P i =jV ( / i * ,E i )d l ai =1 , 2.Za łó żmy ,ż e ma c i e r z e ko wa r ian c j ioburo zk ładówno rma lny chs ąn i eo sob l iw e . Regu łybay e sow sk i esą po s ta c i(8 )lub(1 2) . Funk c jah , ok r e ś lona w zo r em( 9) ,j e s tt e ra zfunk c ją kwad ra tową : h (x ) =\ ( fa-. - M i )- {x-f i 2)T^21 (x ~ M 2 )+In. .. Regu ły bay e sow sk i esąp raw i ew s z ęd z i en i e z random i zowan e( j e ś l iP i /P2 ) . Pow i e r z chn i ero zd z i e la ją c eob s za ry d e cy zy jne Vq, V i 1V2sąpo z iom i cam i ■ funk c j ikwad ra towe j . Przyk ład F . Dwaro zk ładyno rma ln ezjednakowym i ma c ie r zam ikow a r ian c j i . N i e ch X = Rn ,P i =N ( ( i i , E )d l ai =1 , 2.Za łó żmy ,ż ew spó lna ma c i e r zkowa r ian c j ioburo zk ładówj e s tn i eo sob l iwa .Funk c jah r eduku j es i ędo funk c j il in iow e j : />(*)=! (* Baye sow sk ieob s za ry de cy zy jnesąro zg ran i c zon eh ipe rp ła s z c zy znam i . Wro zpa t rywanymt e ra zp r zypadku mo ż l iw ej e s t podan i ejawny ch w zo równap rawdopodob i eń s twab łędów ,zw ią zan ezr egu łąbay e sow ską .I s to tn i e , P i (h (X ) <t) = P i (Z <t ) , gd z i eZ =(X-( m+ / i2 )/ 2)TS-1 ( / i2- / i j )j e s t zm i ennąlo sowąoro zk ład z i e no rma ln ym(d lai=1 ,2 ) .O zna c zmy A2=(M 2- M i )T^-1(A i2- M i ) W i e lko ś ć Aje s t na zywanaod l eg ło ś c ią M ah a lanob i s a ,pom i ęd zyro zk ładam i E )iN(h2 ,E ) .Zm i ennalo sowaZ f A maro zk ładN ( — A/ 2,1 )d lai =1 o ra zro zk ładN(A/2 ,1 )d la i =2.S tąd P i (h(X)<t) =*(^± I), gd z i e m. =. (— z2 /2 )d z — / exp ' ó TJ > / 2 7 r. je s ts tanda rdową dy s t rybuan tą no rma lną .S ymbo l±o zna c zaznak + d la i = 1za śznak —d lai =2. P rawdopodob i eń s twa b ł ędów d laregu ły baye sow sk i e j wo c zyw i s tyspo sóbda jąs i ę wy ra z i ćp r z e zw i e lko ś c iP i (h (X)< c i ) ,P i (h (X ) <c ) iP i (h (X ) <c2 )d l ap rogow y ch wa r to ś c icx ,cic2dany ch p r z e z( 10 )i( 1 1 ) . ■.

(46) Teor io -decyzy jne pod s taw y ana l iz ydy skrym inacy jne j. 1 0 1. Przyk ład G .W ie lero zk ładówno rm a lny ch ;zadan i em in ima l i za c j ip raw dopodob i eń s twab ł ędu . N i e ch X — Rn,P i =N (p i ,Y , i ) d lai =l , . . .k . Ro zwa żmyr egu ł yb e z zaw i e s zan iad e cy z j iiza łó żmy ,ż e ma c i e r zs t ra tj e s tdana w zo r em(1 3) .Bay e sow sk i eregu łysątak ie ,jakop i sa l i śm y wp r zyk ład z i eC ,p r zyc zymfunk c j e , 5) , ma jąpo s ta ć ok r e ś lon ew zo r em(1 h i (x)= ~\{(x ~. ~ł l i ) ~ln (d e tS i ) )+ ln ( 7 r , )+7 ,. gd z i e 7je s ts ta łą ,n i eg ra ją cąro l ip r zy wy zna c zan iur egu ł bay e sow sk i ch zgodn i ez ew zo r em(1 4) . J e ś l iza ło żymy doda tkowo ,ż eE i =. . . = £&= Stofunk c j eh ip r zyb ie ra jąpo s ta ć + ln(7 T i )+7 (2 ) ,. h i {x )= 2 * TE-V;-. gd z i efunk c ja7 (2 )n i eza l e żyodi . Zdok ładno ś c iądon i e i s to tn egosk ładn ika sąto w i ę cfunk c j el in iow e . Ob s za ryd e cy zy jne X> i , . ..T > ksąt e ra z wypuk łym i w i e lo ś c ianam i(og ran i c zonym ilub n i e ) . Zauwa żmyjednak ,ż e wp r zypadku k >2t rudnoje s tpoda ćjawne w zo rynap rawdopodob i eń s twab ł ędówregu ły bay e sow sk i e j . Uw zg l ędn i en i e mo ż l iwo ś c izaw i e s zan iad e c y z j ip rowad z idobay e sow sk i ch ob s za rówde cy zy jny chn i ebędą cy ch w i e lo ś c ianam i ,naw e td la ma c i e r zys t ra t ( 14)iro zk ładówno rma lny chzj ednakowym i ma c i e r zam ikowa r ian c j i . ■ Przyk ład H .N ie za le żn ec e chyb ina rn e . N i e ch p r z e s t r zeń ob s e rwa c j ib ęd z i e zb io r em X = { 0, l}n . Zap p r zy j m i emy m ia r ęl i c zą cą . Zak ładamy ,ż e wka żd e jzdwupopu la c j i(d laka żdego spó ł r z ędneXi , . . .Xn wek to raob s e rwa c j iX są s tanuna tu ryi = 1lub2) w n ie za l e żnym izm i ennym ilo sowym i .N i e ch P i (X t =1 )=pu, P i (X t =0)=1-pu . Gę s to ś c isąza t em po s ta c i. n. f i (xu. . .xn )= i= i. -P i / ) 1-* ' ,. gd z i ex i £{ 0,1} . Funk c ja( 9)je s tl in iow a : P 2 l 1-P 2 l i l ln P h (x)= ^2x i(h lJ + E l n r r 1 ~ P i l P 2 l P i l l ^ Regu ły bay e sow sk i e ma jąpo s ta ć(8 )lub(1 2) . ■ Tw ie rd zen i e1ii lu s t ru ją ceje p r zyk łady ma jącha rak t e rk la sy c zny(po r . Zub r zy ck i(19 66) , Rao( 1973) ) . W i e lu au to rów og ran i c zas i ę doro zwa ża n iar egu łb e zzaw ie s zan ia d e cy z j iifunk c j is t ra t(1 3) . Dok ładn eomów i en i e.

(47) 102. T. Bromek,W. Niemiro. rozwiązań bayesowskich z uwzględnieniem zawieszania decyzji, dla macierzy strat postaci ( 16), można znaleźć w drugim rozdziale monografii Devijvera i Kittlera ( 1982). W artykule Niewiadomskiej-Bugaj ( 1988) wyczerpująco analizuje się problem dwóch populacji i rozważa, kwestię wyboru reguł postaci (8) lub ( 12), spełniających różnego rodzaju ograniczenia. Jeśli nie znamy rozkładów prawdopodobieństwa P i, . . . Pk to reguły, opisane w Twierdzeniu 1, są niemożliwe do wyznaczenia. Duża część literatury, dotyczącej dyskryminacji, poświęcona jest zagadnieniu estymowania tych optymalnych rozwiązań. Bayesowskie podejście do problemu dyskryminacji w sytuacji nieznajomości rozkładów prezentuje praca Geissera ( 1982).. 5 . P o ró w n y w a n ie regu ł. Uznamy, że do oceny jakości reguły decyzyjnej 6 wystarcza znajomość macierzy błędów Przyjmując taki punkt widzenia, możemy w dalszych rozważaniach ograniczyć się do reguł, będących funkcjami dowolnej ustalonej statystyki dostatecznej. Istotnie, niech T : X —> T będzie statystyką o wartościach w przestrzeni mierzalnej (T , P), dostateczną dla rodziny rozkładów prawdopodobieństwa {Pi : i £ 0 }. Dla każdej reguły S : X —> A* istnieje reguła, która zależy od obserwacji X tylko poprzez wartości statystyki P (X ), mająca te same wartości e^, a mianowicie reguła (1). E(((X)\T).. Reguły postaci ( 1) możemy rozpatrywać jako funkcje, określone na zredukowanej przestrzeni statystycznej (T, { P f : i € 0}); P f oznacza tu rozkład T ( X ) , jeśli X ma rozkład P^. Niech, podobnie jak w rozdziale 3 , fi oznaczają gęstości rozkładów Pa, zaś pi będą prawdopodobieństwami a posteriori dla dowolnego ustalonego rozkładu a priori 7r = (7Ti,.. .7r/.) takiego, że 7r* > 0. Odwzorowania F : X —>P^. oraz P : X —>0 * dane wzorami ( 2). ( 3). F(x) = ( f i ( x) , . . . f k( x) ) i P(x) = (p i(x) ,...pk(x)),. są przykładami statystyk dostatecznych w naszym modelu. Odwzorowanie P jest, co więcej, minimalną statystyką dostateczną. Uzasadnienie tych faktów jest natychmiastowe przy użyciu kryterium faktoryzacji. Reguły, określone na zredukowanych przestrzeniach, R+ i 0* będziemy rozważali w rozdziale 6. Przytoczymy teraz twierdzenie, dotyczące własności zbioru macierzy błędów: S - {[Gj(<$)]i<E©,je^ : & jest pewną regułą decyzyjną}. Zbiór £ będzie rozpatrywany jako podzbiór przestrzeni R k(k+1K.

(48) Teorio-decyzyjne podstawy analizy dyskryminacyjnej. 103. T w i e r d z e n i e 2. Zbiór'£ ma następujące własności. 1 ) £ C [0, 2) £ zawiera macierze postaci [et-j], gdzie e{3 = | ^ ^jeśli ‘j — m pewnego m G .4 . <?) £ jest symetryczny w tym sensie, ie [e^j] G £ implikuje [ei,a(j)] £ £ dla dowolnej permutacji o zbioru akcji A. 4) £ jest wypukły. 5 ) £ jest domknięty. D o w ó d . Własość 1) jest oczywista. Aby uzasadnić 2) wystarczy rozważyć niezrandomizowane reguły 6 postaci < 5>(.t ) = am. Własność 3) wynika z rozważenia reguł postaci (^ ( l) ^ ) , • • -8a(k)(x ))- Dla pokazania wypukłości zbioru £ zauważmy, że + A2^) = Aietj(£i) + ^ e ij i^ ) - Domkniętość zbioru £ wynika z następującego stwierdzenia. Dla dowolnego ciągu reguł decyzyjnych 6n istnieje reguła 6 taka, że ) —> eij{8) dla pewnego podciągu 8ni. Dla uzasadnienia tego faktu potrzebne jest twierdzenie o słabej zwartości kuli jednostkowej w przestrzeni L°°. Zacytujmy to twierdzenie w postaci podanej, wraz z dość elementarnym dowodem, w monografii Lehmanna ( 1959). Niech (X,T,p.) będzie euklidesową przestrzenią mierzalną z miarą (j-skończoną. Jeżeli </>n ; X —^ R jest. dowolnym ciągiem funkcji mierzalnych i \<f>n(x)\ < 1 to istnieje taki podciąg <f)ni oraz funkcja <f>, \<f>(x)\ < 1, że f </>n,(x)f(x)p(dx) -> J ę(x)f(x)p(dx) X X 0. dla dowolnej funkcji f takiej, że J \f(x)\p(dx) < oo. Przez przestrzeń euklidesową rozumiemy tutaj podzbiór R d wyposażony w (7-cia.ło zbiorów borelowskich. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że mamy do czynienia z euklidesową przestrzenią obserwacji, zastępując w razie potrzeby X przestrzenią wartości statystyki dostatecznej (2) lub ( 3). Aby zakończyć dowód wystarczy teraz zastosować zacytowane twierdzenie, przyjmując za funkcje 4>n poszczególne współrzędne reguł 6n, zaś za funkcje / weźmy gęstości fi. m Rozważmy podzbiór zbioru £, odpowiadający regułom niezrandomizowanym, to znaczy zbiór V = {[ejj(^)]ie©*je^ : 8 jest pewną regułą niezrandomizowaną}. Okazuje się, że £ jest powłoką wypukłą zbioru V.. T w i e r d z e n i e 3. conv(P) = £..

(49) T. Bromek ,W . N iem iro. 1 0 4. Dowód . Poka ż emy ,ż e punk ty , na l e żą c e dozb io ru V n i esą punk tam i ek s t rema lnym izb io ru£ . P r z e zpunk tyek s t r ema ln ero zum i es i ętak iepunk ty e G£ ,k tó ren i eda jąs i ęp r z ed s taw i ć wpo s ta c i Ae ' f ( l —A )e " ,d lae ' ,e " G£ , e '/ e/ e" ,0 < A<1 .I s to tn i e ,za łó żmy ,ż em a c i e r z[ e i j {8 ) \ C£ odpow iada r egu l e6 z ra .ndom i zowan e j ,tozna c zytak i e j ,ż ed la p ewny chi € 0 o ra z j GA mamyP i(0 <S j (X ) <1 ) >0. Wyn ikas tąd ,ż eP i{0 <S j (X ) < 1i 0 <Sm (X ) <1 )>0 d lap ewnegom G A , m ^j .N i e ch Z ={x GX:e <S j (x ) <1-£i£<Sm (x ) <1—s } d la pewnego £ >0 tak ma ł ego , abyP i (Z ) >0. Ok re ś lmyregu łyó 1i6 " na s t ępu ją co :n i e ch S ' (x )=ó " (x ) =6 (x) , j e ś l ix £Z , (' 6 j{x )=6 j(x )+£ , 6 ' j ( x ) =6 j (x )- e l' dm (x)-dm {x )- £ , %( . t)=Sm (x )+£ , j e ś l ix £Z . IS , l (x )= S l ' (x ) =6 i (x ) , d lal^j ,l m , Mamy 6=(S ' +6 " )/2,p r zytyme ; j ( ć ' ) >e j j (ó ) >e i j (ó " ) . Ma c i e r z[ e i j (S ) ] n i eje s tw i ę cpunk t emek s t r ema lnymzb io ru £ . Poka za l i śmy w i ę c ,ż eex t (£ ) CV , gd z i eex t (£ )o zna c zazb ió r punk tów ek s t rema lny ch£ . Wy s ta r c zyt e ra z po s łu ży ćs i ętw i e rd z en i em K re ina -M i l 980) ) : mana . Zacy tu jmytotw i e rd z en i e(po r . np .L e i ch tw e i s s(1 J e ż e l ipod zb ió r£p r z e s t r z en ieuk l id e sow e jje s tw ypu k łyizwa r ty,to£ — conv (ex t (£ ) ) . ■ Zauwa żmyp r zyoka z j i ,ż ed las ta ty s tyk i do s ta t e c zn e j T in i e z random i zowan e jregu ły ć ,regu łaE (6 (X ) \T ) n i e mu s i by ćn i e z random i zowana . D l a .z r edukowane jp r z e s t r z en i(T ,{PT :i G0} )zb ió rV j e s tw i ę c naogó ł mn i e j s zy ,n i żd lap r z e s t r zen iob s e rwa c j i (X ,{P i:i G0} ) . Sp re cy zu jemyte ra zza sady po równywan iar egu ł de cy zy jny ch .K ry te r ia , wed ług k tó ry ch o cen iamyjako ś ćr egu ł , mogą by ćró żn e . Cotozna c zy ,ż e regu łaó 'je s tl ep s zaodr egu ł yć ?. Definicja 1.W zb io r z er e gu łd e c y z y jn y chok r e ś lam yn a s t ępu ją c er e la c j e . (<o ). b ’<q 6. e i j (8 ’ )<e i j (6 ) ( \ / iG0, j GA ,i^j ) .. ( \ (S i j. /> '< f i I C0, i €A , j7 ^0 ,i j ) , ” Sie^ \e „(« ' )>e i i (6 ) (V i €0) .. (<l). S 1<l & 'żż. <E/ L i je i j (S ). j£A. j£A. # RłW) < RH6 ) (</ , , * )e <L,Ti. i£&. Z,. jeA. (V *€0) .. - 5ZE L ‘ ieejGA.

(50) Teor io -decyzy jne pod s tawy ana l iz y dy skrym inacy jne j. 1 0 5. < S >rL , 7 T (8 ' ) <rL '* (ó ) .. C \ —{Z —. 1 1. JO. Lq —{Z —[Z j j ]•L i j. £ 1. IV. Zo zna c zatu ta j ma c i e r zs t ra t ,za ś7 r-ro zk ład ap r io r i . ■ Re la c j e <0 , <1 , <l i < l, t ts ąp r z e chodn i e .D la up ro s z c z en ia b ęd z iemy je na zywa l i po r ządkam i wzb io r zer egu ł . Mu s imyj ednak pam i ę ta ć ,ż ed la ' i8 ' < 8imp l iku j e8 —8 ' (w żadne jzty chr e la c j in i ej e s tp rawdą ,ż e8< 8 s en s i erówno ś c i< * ' > ( a : )=8 (x ) d la p raw i ew s zy s tk i chx GX ) . Sątoza t em w i s to c i ety lkor e la c j ec z ę ś c iow egoąua s i -po r ządku .J e ś l i8< 8 'i8 ' <8 ws en s i e j ednego ro zwa żany chp r z e zn a s po r ządków ,tob ęd z i emy na zywa l iregu ły 8i8 ' równowa żnym iw zg l ęd emt egopo r ządkuip i s a l i8= 8 ' zodpow i edn im ind ek s em p r zyznaku = . Ws en s i e po r ządku <0zal ep s zą( ś c i ś l e j ,n i ego r s zą ) uwa żamyt ęr egu ł ę , k tó ra da j en i ew i ęk s z ep rawdopodob i eń s twab ł ędn e jk la sy f ika c j io ra zzaw i e s z en iade cy z j id laka żd egos tanuna tu ry . Re la c jataby łaro zwa żana wp ra cy B romkai N i ew iadom sk i e j -Buga j(1 987)o ra z w monog ra f i iB romkai P l e s z c zyń sk i e j(1 988) . Ws en s i er e la c j i< 1zal ep s ząuwa żamyt ęr egu ł ę ,k tó ra da j en i ew i ęk s z ep rawdopodob i eń s twa b ł ędn e jk la sy f ika c j io ra zn i emn i e j s z e p rawdopodob i eń s twa pop rawn e jk la sy f ika c j i . W od ró żn i en iu odr e la c j i <0 n i eżądamytu ta j , aby p rawdopodob i eń s twozaw i e s zan ia d e cy z j i by ło n i e w i ęk s z e . Wyda jes i ę ,ż ein tu i cy jnys en s po r ządku < 1j e s t ba rd z ie jzgodny zin te rp re ta c jąak c j i0jakozaw i e s zan ia d e c y z j i . Re la c ja<l sp rowad zas i ę don i e równo ś c ipom i ęd zy wa r to ś c iam iry zykad la w s zy s tk i chs tanówna tu ry , pok rywas i ęw i ę czpow s z e chn i ep r zy ję tym ws ta ty s ty ce upo r ządkowan i em funk c j i de cy zy jny ch . Re la c ja < l, t t w y ra żaupo r ządkowan i er egu łzgodn i ez wa r to ś c iam iry zykabay e sow sk i ego . Wy ja śn imyte ra z za l e żno ś c i pom i ęd zy wym i en ionym i wy ż e jr e la c jam i . Wy ró żn imydw i ek la sy ma c i e r zys t ra t : •Zi j^ Z jo^Lu —0d la. Zachodząnas tępu jąceimp l i kac je .. (6 ). 8 '< 1 8 & (VZ GC i. (7 ). 8 ' <L80 (V ; r G0*. ‘■ o. 8 '< 0< 54 ^(VZ GC o. < 0. (5 ). > 3 4 I V IV IV. 8 '< 0$ = > ■ 8 '< 18 .. 0 0^ ^ 0^. (4 ). I s t o tn ie ,imp l ika c ja(4) wyn ikas tąd ,ż eea (8 ) =1 —^^ i j (8 ) . S tw i e rd z en ia j^ i ( 5)i( 7)sąoczyw i s te .D ladowodu( 6)wy s ta r c zyzauwa ży ć ,ż e^ L i je i j (8)= j i 3 ( 7 / j j L j ,o ) e i j f (^ ) L io ( l e j i (< $ ) . o P r ze jd źmyte ra z do cha rak te ry za c j ir egu ł dopu s z c za lny ch . Zgodn i ez.

(51) T. Bromek ,W . N iem iro. 1 0 6. ogó ln i ep r zy ję tąt e rm ino log iąs ta ty s ty c zną ,r egu ł ęS na zywamydopu s z c za lną w zg l ęd em po r ządku < ,j e ś l in i ei s tn i e j er egu ła S ' taka ,ż eS ' < SiS ' ^S . Będ z iemyro zwa ża l ik la syr egu ł dopu s z c za lny ch w zg l ęd em po r ządków , wy m i en iony ch w D e f in i c j i1 .O zna c zymyt ek la syodpow i edn io p r z e z Ao , Ai , Al i Al, T T - R egu ły dopu s z c za ln ew zg l ęd em < l ,tt sąto ,z d e f in i c j i ,regu ły bay e sow sk i e .S fo rmu łowan i etw i e rd z en iaopo s ta c ir egu łdopu s z c za lny chpo p r zed z imyuwagąna tu ryogó ln e j .J e ż e l iro zwa żamyró żn er e la c j ec z ę ś c iow ego po r ządku wdowo lnymzb io r z e ,tozb ió re l em en tów m in ima lny chje s tzaw s z e tym w i ęk s zy ,im mo cn i e j s zy po r ządkek .N i e s te ty ,n i ej e s ttop rawdąd lar e la c j i ęua s i -po r ządkui d la t egozw ią zk i pom i ęd zy dopu s z c za lno ś c iąr egu łw s en s i e po s z c zegó lny ch ,ro zwa żany chtu ta jr e la c j isąn i e coba rd z i e jskomp l i kowan e .N i e ch 0+ ={ ? r=(tt j, . . .7 i f c ):n i >0 ,^ w i =I ) , La — 0d lai■/ j j^. C$ —{L — {L —. .L i j. L io. La —0d lai ^, } } •. Twierdzenie 4.Za chod ząna s t ępu ją c eim p l ika c j e . 1 )6 £Al iL £ = » 6£A0 , 2)6 £Al *L ££f ► =S£A1 ? 3 )se a l, T T i7 Teo+ ea l, 4)h £Ao = ■ >( 3L £C oL ^ 0,6£Al) , 5)6 £ Ai = > •( 3L £C \i / 0 ,S £Al) , 6 ) 6£ Al ( 3 7 tG 0* S£ A l, * ) Dowód . Punk ty 1 ) ,2)i3) wyn ika jąb e zpo ś r edn ioz w ła sno ś c iro zwa ża ny chp r ze z na s po r ządków .D la dowodu 1 )p r zypu ś ćmy ,ż eS Ao -I s tn i e j e w tedytakaregu ła S ' ,ż eS ' < oSiS ' < * • > N i e równo ś c ie i j (S ' ) <e i j (S ) , ,i £ 0 ,j £ A,imp l iku ją n i e równo ś c i za chod zą ce d la w s zy s tk i ch i ^j RL (S ' ) < Rl(S )d la w s zy s tk i chi £ O .J e ś l iza śd lap ewny chi £0,j £ A , 1^j mamye i j (S ' ) <e i j (S )ip r zytym w i em y ,ż eL i j > 0toRL (6 ' ) < RL (S ) . Too zna c za ,ż e S Al-Dowody2)i3)sąpodobn e . D la dowoduimp l ika c j i 4)ok re ś lmyE ojakozb ió ruk ładówl i c zb pow s ta ły ch p r ze zp r z e z pom in i ę c i ew spó ł r z ędny chen , w ma c i e r za ch[e i jê& jzA na l e żą cy ch doE : C o={ [e i j (S )\ iee , jeA , i? j :$ j e s tp ewnąr egu łąde cy zy jną } . Zb ió rt enbęd z iemyt rak towa l ijakopod zb ió rp r z e s t r z en i Rk^ .Ztw i e rd z en ia 2 wyn ikana ty chm ia s t ,ż ej e s ttozb ió r wypuk łyizwa r t y .J e ż e l iregu łaSj e s t <o -dopu s z c za lna ,toj edynym punk t em p r z e c i ę c iazb io ru E o z„o r tan tem ” O ={ [y i j ]:V i j <e i j (S ) }.

(52) 7HRULRGHF\]\MQH SRGVWDZ\ DQDOL]\G\VNU\PLQDF\MQHM. . Z SU]HVWU]HQL 5 Na MHVW >HM

(53) @ 6NRU]\VWDP\WHUD] ] QDVWĊSXMąFHJR WZLHUG]H QLD R KLSHUSáDV]F]\ĨQLH UR]G]LHODMąFHM /HLFKWZHLVV

(54)

(55) -HĪHOL 0 L 0 Vą SRG]ELRUDPL Z\SXNá\PL SU]HVWU]HQL 5 G LQW$-

(56) IW IO LQW$

(57) WR LVWQLHMH ZHNWRU ; ( 5 G $ A WDNL ĪH ;7\ ! ;7\ GOD NDĪG\FK \ ( 0 L \ ( $I 6WRVXMHP\WR WZLHUG]HQLH GR ]ELRUyZ L 2 :LG]LP\ ĪH LVWQLHMąZVSyá F]\QQLNL /LM L A M QLH ZV]\VWNLH UyZQH ]HUX WDNLH ĪH ;AHMM

(58) ! < L M / LMHLM 6

(59) GOD GRZROQHM UHJXá\ 3RQLHZDĪ a M

(60) ! GOD >9LM@ 2 ZLĊF =LM ! 1LH LVWQLHMH ]DWHP WDNDUHJXáD ĪH 5A 6

(61) 5 I Ï

(62) GOD ZV]\VWNLFK L RUD] 5 I

(63) 5 I ü

(64) GOD SHZQHJR L $E\ SRND]Dü SUDZG]LZRĞüLPSOLNDFML

(65) ]DXZDĪP\ ĪH UHODFMD y M MHVW UyZQRZDĪQD XNáDGRZL QLHUyZQRĞFL HLM

(66) HLM 6

(67) L ( M ( $ M A JG]LH HAIû

(68) . H^M ². GOD L A\ GOD L M. L 5R]ZDĪP\ SRG]ELyU A SU]HVWU]HQL 5 . RNUHĞORQ\ MDNR. L ^>F L A

(69) @W*HL¼AMAR MHVW SHZQą UHJXáą GHF\]\MQą` -HVW WR ]ELyU Z\SXNá\ L ]ZDUW\MDNR DILQLF]QH SU]HNV]WDáFHQLH ]ELRUX 6 3R ZWyU]P\ UR]XPRZDQLH XĪ\WH Z GRZRG]LH SXQNWX SRSU]HGQLHJR :QLRVNX MHP\ ĪHMHĪHOL UHJXáD MHVW LGRSXV]F]DOQD WRLVWQLHMH WDNL XNáDG QLHXMHP Q\FKZVSyáF]\QQLNyZ $ L ( M ( $M A ĪH $LMHLM 6

(70) ! ;LMHLM 6

(71) LM LM GOD NDĪGHM UHJXá\ 6 :\VWDUF]\ WHUD] SU]\Mąü /LM ² $LM $MM. GOD M . /LR ² ;D =GHILQLRZDQH Z WHQ VSRVyE ZVSyáF]\QQLNL /LM WZRU]ą PDFLHU] 5 QDOHĪąFą GR &? 5HJXáD yMHVW AAGRSXV]F]DOQD ,PSOLNDFMĊ

(72) GRZRG]L VLĊ SRGREQLH UR]ZDĪDMąF ]ELyU 8 / ^ 5 I 6

(73)

(74) L¼ 6 MHVW SHZQą UHJXáą GHF\]\MQą` EĊGąF\ Z\SXNá\P L ]ZDUW\P SRG]ELRUHP SU]HVWU]HQL 5. N . P. 7 Z L H U G ] H Q L H 'OD NDĪGHJR ]SRU]ąGNyZ R L L S URG]LQD ZV]\VW NLFK UHJXá GRSXV]F]DOQ\FKMHVW PLQLPDOQą NODVą ]XSHáQą ' R Z y G 'OD XVWDOHQLD XZDJL UR]ZDĪP\ SRU]ąGHN :\VWDUF]\ SRND ]Dü ĪH URG]LQD $R VWDQRZL NODVĊ ]XSHáQą 1LHFK $ T 3RQLHZDĪ LVWQLHMH UHJXáD 6 WDND ĪH ZLĊF LQI^ `HA ü

(75) `

(76) H WM

(77) LM LM :\ELHU]P\ FLąJ UHJXá 6Q WDNL ĪH <ALMHLM AQ

(78) ² 3RQLHZDĪ ]ELyU 6 MHVW ]ZDUW\ ZLĊF LVWQLHMH UHJXáD WDND ĪH HLM 6Q

(79) ² HLM^

(80) GOD SHZQHJR.

(81) T . Bromek ,W . N iem iro. 1 0 8. pod c iągu S n i. Mamy6 " <6 . Zt ego ,ż e • e^ (<$ " ) =7 wyn ika ,ż e6 " £ Ao iń " ^6 .D lapo r ządków < 1i<1 dowódje s ttak isam . ' ■ Na jwa żn i e j s zym wn io sk i emzTw i e rd z eń 4i5j e s tfak t ,ż er egu ł yba y e sow sk i etwo r ząk la s ęzupe łnąd laro zwa żany chp r z e zn a spo r ządków . Dok ładn i e j , rod z iny B0=. *Al, i t , L e c , ir ee. B i = |J *A L ,K , L e c ,x e®. BL = (J *A L ,n n e®. sąk la sam izupe łnym i odpow i edn io d la <0 ,< 1i <l,pon i ewa ż Ao C Bo , l n a mo cy Tw i e rd z en ia4. I A i CB ii Al C B Przyk ład P r zypad ekdw upopu la c j i . N i e ch k =2.Pow ró c imydoop i sur egu ł ,k tó r en i edopu s z c za jązaw ie s za n iade cy z j i ,a w i ę c dosy tua c j iro zpa t rywane j wP r zyk ład z i e A wro zd z ia l e 4.Regu łytak ie mo żemyt rak towa ćjakote s typ ro s t e jh ipo t e zyP i p r ze c iwko p ro s t e ja l te rna tyw ieP2 - Wy s ta r c zytu ta jro zpa t rywa ćty lkodwap rawdopo dob i eń s twa b ł ędów ,k tó r e wt eo r i it e s towan ia h ipo t e z na zywas i ęb ł ędam i odpow i edn ioIiI Irod za juio zna c zas i ę. « W =e l2 (S ) ,. m =en ( i ) -. Zb ió r T Z= { (a (^ ) ,f l (ó ) ): 6j e s tp ewnymt e s t em } , ( ry s .1 ) ,będą cy wypuk łymizwa r tympod zb io r emp r z e s t r z en iR2odg rywat ę samąro l ę ,cozb io ry£ ,S o ,S iiT Z lw p o r z edn i ch ,ogó ln i e j s z y chro zwa żan ia ch . Na tu ra lnyspo sóbupo r ządkowan iat e s tówok r e ś lar e la c ja (< ). 6 ' <6& a (6 ' )< a (6 ) i/ 3 ( t f ' ) <( 3 { 6 ) .. Wi s to c i e , wro zwa żane jk la s i er egu łj e s ttopo r ząd ekiden ty c znyz <0 ,< 1 j e ś l ity lkoLu > 0iL 2 1 >0.Zd rug i e js t ron y , o ra zzka żdympo r ządk i em <l, i s tn i e j eb l i sk i zw ią z ek pom i ęd zy po r ządk i em <i k la sy c znym pod e j ś c i em Neymana -Pea r sona dot eo r i it e s towan ia .N i e ch 6b ęd z i e dowo ln ymt e s t em tak im ,ż e/ 3 ( 6 ) ^0.Te s t6j e s t< -dopu s z c za lny w t edyity lko w tedy ,k i edy i s tn i e j el i c zbaao £[0 , 1 ]taka ,ż e6j e s tna jmo cn i e j s zynapo z iom i ei s to tno ś c i 8) .Fak t « o -K la sę < zupe łnąte s tóws tanow iąr egu ł yba y e sow sk i epo s ta c i(4. t en wyn ikana ty chm ia s tzTw i e rd zeń4i5lubzl ema tu Neymana -Pea r sona . K r zywą a f ilubina c z e jk r zywą Neymana -P ea r sonana zywamyzb ió rpunk ( 6 ) , / 3 ( 6 ) ) , gd z i ete s t6j e s tp ewnąbay e sow skąr egu łąb e zza tów po s ta c i(a w i e s zan iade cy z j i .Z ew zo ru(4. 8) w ida ć ,ż ed latak i chr egu ł a (6 ) =P , (h (X ) >c )+( 1-p )P i (h (X ) =c ) ,. 0(S )= P 1 (h(X)<c) +pP2 (h (X ) =c ) , gd z i eh (x)=lnf2 (x)/ f i(x), cip sąp ewnym is ta ł ym itak im i ,ż e—0 0< c< 00 , 0< p < 1( c =ln (X i2 7 r i /X2 i 7 r2 ) ,pj e s trówn e£ i ( t f2 . (X )I h (X ) =c )=.

(82) Teorio-decyzyjne podstawy analizy dyskryminacyjnej. 109. E 2(S2(X) I h(X) = c)). Niech, dla t = 1,2 Fi(c) = Pi(h(X) < c).. (8) Oznaczmy. (9) a(c,p) = l - p P i ( c + ) - ( l - p ) i ri(c),. /?(c,p) = pF2(c+) + (l-p )P 2 (c ). Możemy krzywą Neymana-Pearsona zapisać w postaci P = {(o(c,p),/ 3(c ,p )): —oo < c < oo,0 < p < 1}. Jeżeli dystrybuanty Pi i Fo są ciągłe, to B = {(1 - F1( c ), F 2(c )) : —oo < c < oo}. Łatwo zauważyć, że IZ = eon\(B U B ~), gdzie B~ — {(1 - a , 1 - /3 ) : (/?,a) G B } (rys.l). Wystarczy powołać się na następującą własność symetrii zbioru 1Z: (a, fi) G IZ implikuje (1 —a , 1—(3) G IZ.. R y s. 1. Zbiór 1Z i krzywa Neymana-Pearsona B. Na zakończenie rozważmy dowolne reguły, z możliwością zawieszania decyzji, w przypadku dwóch populacji. Każda reguła <j-dopuszczalna jest regułą bayesowską, daną wzorem (4.8) lub (4. 12). W pierwszym przypadku prawdopodobieństwa błędów takiej reguły są postaci eu (S) = a(c,p),. e21 (S) = /3(c,p),. elo(^) — e2o(^) — O,.

(83) 1 1 0. T. Bromek ,W . N iem iro. d la pewny ch — o o <c < oo , 0< p <1 ,gd z i ea (c ,p )i/ ? ( c ,p )sąok r e ś lon e p r z e z(8 )i(9) . Wd rug imp r zypadku mamy eu W = « (c i ,p i ) , e2 i (S ) =0( c2 ,p2 ) , ew (Ó ) = a(c i ,p i )-a (c2 ,p2 ) ,. e2 0 (S )=f t ( c2 ,p2 )- / 3 (c i ,p i ). d lapewny chs ta ły chci,c2 ,p i ,p2tak i ch ,ż e— o o<C j <0 3<o o ,0< <1 , 0 <P 2 <1lub —0 0< C i —c2 < oo , 0 <pi < p2 <1.In te rp re ta c ja geome t ry c zna w i e lko ś c ib ł ędówe * jd lar egu łpo s ta c i(4. 8)i( 4. 12)nawyk re s i e k r zywe ja( 3w ido c znaje s todpow i edn ionar y s .2i3. ■. Rys .2 .B ł ędyr egu ł yb e zzaw i e s zan iad e c y z j i . Podane w na s zym Tw i e rd z en iu 4imp l ika c j e3)i6 ) , da ją c echa rak te ry za c jęregu ł<l-dopu s z c za lny ch ,pok rywa jąs i ęz es tw i e rd z en iam i ,zawa r tym i wpod rę c zn iku Rao(1 973) , wro zd z ia l e7. 4.Podobnetw i e rd z en i e ,do ty c zą ce r egu ł <o -dopu s z c za lny ch w p r zypadkuk = 2zo s ta ło udowodn ion ep r z e z 987)i pó źn i e j uogó ln ion ep r ze zB romka B romkai N i ew iadom ską -Buga j(1 nap r zypadek k > 2 . 6 . In terpre tac ja geome t ryczna . Za jm i emys i ęgeome t ry c znym op i s emob s za rówde cy zy jny chn i e z random i zowany chr egu łbay e sow sk i ch wz r e dukowany ch p r z e s t r z en ia chs ta ty s ty c zny ch 0*o ra zR+ . Sąto p r ze s t r zen i e wa r to ś c is ta ty s tyk do s ta te c zny ch ,odpow i edn io(5. 3)i( 5. 2) . Og ran i c zymy s i ędo ma c i e r zys t ra t ,k tó r ena l e żądozd e f in iowan e j wpop r z edn imro zd z ia l e . k la syC\.

(84) Teor io -decyzy jne pod s tawy ana l iz y dy skrym inacy jne j. 1 1 1. Rys . 3.B ł ędyr egu ł yzzaw i e s zan i em d e c y z j i . N i e ch [L i j ]b ęd z i e ma c i e r ząs t ra t ,( 7T i , .. . i r k )ro zk ład emap r io r i . Za ło żymy ,ż eL io >0 d lai =1 , . ..k .D lau s ta lon egox EX w i e lko ś ć L i jV i f i ix ) ie@. o s iągana jmn i e j s zą wa r to ś ćd latak i egoj €A , d lak tó r ego w i e lko ś ć L i o T T i L i j L io f i {x ) £ LiO L \o^ i +•••+L k o i tk i e® o s iągana jmn i e j s zą wa r to ś ć .O zna c zmy ,d lai €0,j £A. ( 1). T i. 2. 3 %. (). LiO 7 T j ^ 10^ 1 +••■+L kO^ k ' L i j L {o L io. Z Tw ie rd zen ia 1 wyn ika ,ż er egu ła8j e s t bay e sow skad laro zk ładuap r io r i (7T i , . .. 7T f c )i ma c i e r zys t ra t[L i j ]w tedyity lko w t edy ,gdyj e s t bay e sow ska d laro zk ładu ap r io r i( tj, . ..rk )i ma c i e r zys t ra t[ s i j ] . Tanowa ma c i e r zs t ra t mapo s ta ć 0 -1 . . . s ik 0 sk l . . . -lj’ gd z i eS i j > 0d lai ^j ,j ^ 0 ,pon i ewa żzak ładamy ,ż e <L i j ,i ^j . Pom i ja ją cz e rowąko lumn ęt e j ma c i e r zy ,o t r zymu j emy ma c i e r zkwad ra tową , k tó rąo zna c zymyp r ze zS . N i e ch wek to ryS i , . ..skbędąko lumnam iS ..

(85) T. Bromek,W. Niemiro. 112. Ustalmy rozkład a priori ( r i , .. . r*.). Niech (3 ). Pi(x) =. T\f\{x) + . ..Tkf k(x). będą prawdopodobieństwami a posteriori względem tego rozkładu. Wartości ryzyka a posteriori są równe r0(x) = 0, n ( x ) = - p i (x ) + S2ip2 (x) + ... + s klpk(x), rk(x) = s i k(x) + s2kP2(x) + . . . - Pk(x). Bayesowskie reguły decyzyjne zależą od obserwacji x tylko poprzez wartości wektora p = (pi(x) , .. .pk(x)) £ 0 *. Utożsamimy je zatem z funkcjami, określonymi na (k — 1)-wymiarowym sympleksie 0 *. Punkty tego sympleksu umówimy się traktować jako wektory wierszowe. Niech r = (ri ( x) j .. .rk(x)) będzie też wektorem wierszowym. Możemy teraz zapisać poprzednie równości jako (4 ). Tj = pSj (j ± 0),. r0 = 0. lub, w formie macierzowej, r = pS. Warunek, charakteryzujący bayesowskie obszary decyzyjne przybiera postać: (5 ). {p : rj < min{rm :m e A , m ± j } } C T>j C {p : rj < min{rm : m 6 M}}.. Będziemy w dalszym ciągu zaniedbywali kwestię niejedznoznaczności reguł bayesowskich w punktach, leżących na brzegach obszarów {p : rj < min{rm : m £w 4 }}. Innymi słowy, umówimy się utożsamiać różne zbiory, spełniające warunek ( 5 ). Są to pewne wiełościany wypukłe. Opiszemy je dokładniej i bardziej poglądowo. Niech H będzie podprzestrzenią afmiczną rozpiętą na wierzchołkach sympleksu 0*, czyli n = {p= O* = { p =. = 1}, : Pi > 0, ^ p i = 1},. gdzie Bi = ( 1 , 0 , . . . 0 ) , . . . ^ = (0,...0,1). Sympleks 0 * jest podzbiorem (k — l)-wymiarowej przestrzeni '^.‘ Będziemy traktowali kartezjańskie współrzędne w R k punktów należących do H jako współrzędne barycentryczne. Zaczniemy od geometrycznego opisu obszaru zawieszania decyzji T>0 = {p e 0 * : psj > 0,. j = 1 , . . . , Ar}..

(86) Teor io -decyzy jne pod s tawy ana l iz y dy skrym inacy jne j. 1 1 3. N i e ch Z i jo zna c zatak ipunk t po ło żony nak raw ęd z iO^ j s ymp lek su0* ,d la k tó regor j =0.J e s ttopunk t po s ta c i (6 ). — (0 , . . .P i , . . .P j, . . .0 ) ,. gd z i ep i +p j = 1ip iS i j -p j= 0 ,c zy l i P i=. (7 ). 1 S i j +1. * 1 1 P i = ^TT. Zd e f in iu jmyt e ra zsymp l ek sy Ai , . . . A f c ,zawa r t e w0* : Ai = con v (9 j,z i jl . . .z j -l t j ,z j+ i t j , . . .zk j )=. (^ ). =. j " y jaiZ i jiy Â j —i ,A j >o j . i^ j. Mamy A j = {pG0*:p s j > 0} ,a w i ę c (9 ). V0= 0*\(Ai U. . . UA f c ). ( zdok ładno ś c iądob r z egu ) . Geome t ry c zny op i s ob s za rów T> i, . . .T > k podamy p r zy pewny chza ło że n ia ch up ra s z c za ją cy ch . Za ło żymy m ianow i c i e ,ż ei s tn i e j e ma c i e r zodw ro tna 5-1isumae l emen tówt e j ma c i e r zyj e s tn i e z e rowa .N i e ch u \ =( l ,0 , . . .0 ) , . . .u* =(0 ,. . .0 ,1 ) , u =( l , l , . . . l) . Wp r z e s t r z en iT ii s tn i e j edok ładn i ej ed enpunk tctak i ,d lak tó r ego w s zy s tk i e s te r io r ir i , . . .r *sąrówn e ,c zy l ic s i =. . . =c s^ . Punk t wa r to ś c iry zyka apo t enje s tro zw ią zan i em uk ładurównań. {. cS =au , cuT =1 ,. aza t em (1 0 ). a GR. _ uS 1 uS~ luT. Ok r e ś l imy wek to ry w i e r s zow ev i , . ..V kjakoro zw ią zan iauk ładówrównań /V iS =P iU +U i , \ V iUT = 0 .. P ieR ,. Sąto ,jak w ida ć , wek to ryrówno l eg ł edopodp r ze s t r zen iT i . Mamy , . (1 1 ). U j5-1uT „_ i, v ' = ^ s ^ uS +U iS ■. Zd e f in iu j emys to żk i wypuk łeA j , . . .A f czawa r t e wp r z e s t r zen iT i . N i e ch 'm ia -.

(87) T. Bromek,W. Niemiro. 114. nowicie Aj = eone(c; vu .. .i>j_i, vj+1, . .. v k) = = {c + ^. ( 12). ^jVj : Aj > 0 } -. Ponieważ najmniejszą spośród współrzędnych wektora (c. S — (of ~ł~^ ^. ^ i^j. "ł” ^ ^ i^Ó. jest współrzędna o numerze j , więc Aj = {p G W : psj = minj/nsi,.. .p 5/t}}. Wynika stąd, że, z dokładnością do brzegu,. (13). D j-M e V lA ^ P o .. Przypadek k = 2 . T>i. V2 A A /--------------------------- V---------------\ I---------- 1------------------ 1----------------1-------------------- 1 0\ 212 c Z21. Rys. 4. Konfiguracja I obszarów decyzyjnych dla k = 2 .. 'Di 0\. £>o 221. c. z12. O2. R y s . 5 . Konfiguracja II obszarów decyzyjnych dla k =. 2.. Sympleks 0 * sprowadza się do odcinka #i#2- Mamy Z\2 = oraz 512 + 521 + 2 5i 2 + $21 d- ^J Punkt c zawsze leży na odcinku 242^21. Wynika z łatwej do sprawdzenia równoważności:. 5l 2521 < 1 &. ^21 + 1. 512 + 521 + 2. <. S21. 521 + 1. Zachodzi zatem jedna z dwóch możliwości.. _. V?. 512 + 1. 5i2 + 521 + 2. <. $12 + 1.

(88) io -decyzy jne pod s tawy ana l iz y dy skrym inacy jne j Teor. 1 1 5. I . Ko l e jno ś ćpunk tów naod c inku0 i$ 2j e s t na s t ępu ją ca( ry s .4) : # 1 ? 2 12 , c , Z 2 1 , 0 2 . V \ je s tod c ink i em9 \ c , V0je s t pu s t y , V2je s tod c ink i emc$ 2• I I . Ko l e jno ś ćpunk tówj e s t na s tępu ją ca( ry s .5) : 0 1 ? ^ 2 1 ? c , Z 12 , 0 2 V \ je s tod c ink i em 0 i^2 i , Vo je s tod c ink i em 0 2 10 1 2 ? V2je s tod c ink i emZ 1 2O 2 . Zauwa żmy ,ż edowo ln edwapunk tyod c inka6 16 2 mogąodg rywa ćro l ę2 1 2 i0 2 1p r zyodpow i edn io dob rany ch ,n i eu j emn y ch w spó ł c zynn ika chs t ra tS 1 2 i 32 1 . Zko l e i , punk tcj e s tj edno zna c zn i e ok r e ś lon yp r z e z wybó r punk tów 0 1 2i0 2 1•Geome t ry c zn i e , cj e s tpunk t em ,k tó ryd z i e l iod c in ek 0 1 20 2 1 wtym samyms to sunku ,cood c in ek 0 i# 2 ■ P r ze chod zą c do p r zypadku k >2 zw ró ćmy uwagę nato ,ż e po ło ż en i e punk tów 0 j jiZ j i za l e żyj edyn i eod w spó ł c zynn ikóws t ra ts i jiS j i . Naka żd e j k rawęd z is ymp l ek su mo ż emy w i ę c dowo ln i e wyb ra ć po dwapunk ty ,k tó re będąodg rywa ćro l ęZ i j iZ j i d laodpow i edn i e j ma c i e r zys t ra t . Przypadek k= 3 . Symp l ek s 0*je s tt e ra zt ró jką t em0 10 20 3 - Op i s z emykon s t ruk c j ę ,p rowa d zą cą doka żd e jz mo ż l iwy ch kon f igu ra c j i bay e sow sk i chob s za rów de cy zy j ny ch(d la ma c i e r zys t ra t S spe łn ia ją cy ch wa run ek w S , -1w T7 ^0) . Op i st en i lu s t ru jer y s6 . 1 ) Naka żde jzk raw ęd z iO iO j ob i e ramydowo ln i epodwapunk tyZ { j iZ j { . 2) P r ze z ka żdąpa r ę punk tówZ { j iz i jp rowad z imyp ro s tą .J e s tonarówna zb io row i{p ET i :p s j= 0 } ,a w i ę cje s t„po z iom i cąry zykaapo s te r io r i r j5 1io zna c zymyją wsk ró c i ep r z e z{ r j =0 } . 3) P r ze z ka żdy w i e r z cho ł ekO j p rowad z imy p ro s tąrówno l eg łą do p ro s te j { r j =0} . Pok rywas i ęonaz ezb io r em{p £H:p s j— — 1 } ={r j= — 1} . 4) P r ze z odpow i edn i e w i e r z cho łk it ró jką tów ,u two r zony ch p r z e zp ro s te { r j = 0} ,{r2=0) ,{ r 3 =0}o ra z{ r j =-1 } ,{r2= -1 } ,{ r3 =-1 } p rowad z imyp ro s t e{ 7 * 1= r3 } ,{ 7 * 2=7 ’3 } ,{ ? ą =r3 } .P ro s t et ep r ze c ina ją s i ę wj ednym punk c i ec= { r i =7 * 2=r 3 } . 5) Budu j emyt ró jką ty A i , A2 ,A3 o ra zką ty wypuk ł eA i , A2 ,A 3zgodn i ez ok re ś l en iam i(8)i( 12) . Ob s za ryde cy zy jneI> 0 , X> i ,V2 ,V2 sądan ep r ze z ( 9)i(13) . Up ra s z c za ją ceza ło ż en iaon i eo sob l iwo ś c i ma c i e r zy S o ra zuS 1uT ^ 0 gwa ran tu ją nami s tn i en i eij edno zna c zno ś ć punk tów p r z e c i ę c ia odpow i edn i ch pa rp ro s ty ch . Nary sunka ch 7,8,9i1 0 poka zany chj e s tk i lkap r zyk ładowy chkon f igu ra c j iob s za rówde cy zy jny ch . Zauwa żmy ,ż ej e ś l iro zpa t ru j emyty lkopunk ty ,.

(89) 116. T. Bromek,W. Niemiro. / \ R y s . 6. Konstrukcja obszarów decyzyjnych dla k = 3 .. h. R y s . 7 . Obszary decyzyjne dla k = 3. leżące na pewnej krawędzi 0i 9j, to mamy do czynienia z zagadnieniem dys-.

(90) Teor io -decyzy jne pod s tawy ana l iz y dyskrym inacy jne j. 1 1 7. < k. Rys .8 . Ob s za ry de cy zy jned la k —3 .. * 3. Rys .9 . Ob s za ry de cy zy jned la k =3 . k rym ina c j id la dwu popu la c j i(k=2) . Po ło ż en i e ob s za rów de cy zy jny ch na po j edyn c ze jk rawęd z ije s ta lbotak ie ,jaknar y s .4.(kon f igu ra c jaId lak =2) , a lbotak ie ,jaknary s .5.(kon f igu ra c jaI I ) . Ry s .7 p r zed s taw iasy tua c ję ,k i edy naka żd e jzk rawęd z iO iO j kon f igu ra c jaj e s ttypuI I . Nar y s .8.naka żd e jz k rawęd z i0 i6 j kon f igu ra c jaje s ttypuI ;ob s za rzaw i e s zan ia de cy z j ije s ttu ta j pu s ty . Nar y s .9 mamy n i epu s tyob s za rzaw i e s zan iade cy z j i ,cho c ia ż na ka żd e jzk rawęd z ije s tkon f igu ra c jaI . Nar y s .1 0 nak rawęd z ia chO 1O 2 i$ i# 3 kon f igu ra c jaj e s ttypuI ,za śnak raw ęd z i# 2^ 3j e s ttypu U ■.

(91) 1 1 8. T. Bromek ,W . N iem iro. %. Uogó ln i en i ekon s t ruk c j i ,op i san e j wpowy ż s zymp r zyk ład z ie , nap r zypa d ek dowo lnegokje s to c zyw i s t e . Zm i eńmyt e ra z punk tw id z en ia . Do ty ch c za sro zpa t rywa l i śmyza l e żno ś ć po ło żen ia ob s za rów de cy zy jny chod ma c i e r zys t ra t S,p r zy u s ta lonymro z k ład z i e ap r io r ir . Te ra zu s ta lmy ma c i e r zS izbada jmy ,jakzm i en ia jąs i ę ob s za ry de cy zy jne wza l e żno ś c iodr . Po t rak tu j emybay e sow sk i eregu ły d e cy zy jnejakofunk c j e wek to rag ę s to ś c i/ = . . .fk (x ) ) £R+ , aw i ę c u to ż sam imyjezfunk c jam iok r e ś lon ym ina„o r tan c i e ”p r z e s t r zen ika r t e z jań sk i e j Oc zyw i ś c ie ,ka żdaregu łabay e sow ska 6 mana s t ępu ją cą w ła sno ś ćjedno rod no ś c i : 6 ( f ) =ó (a f ) ,. a> 0 ,. c zy l ije s tfunk c jąs ta łąnap rom i en ia ch wy chod zą cy chzz e ra .Inn ym is łowy , baye sow sk ie ob s za ry de cy zy jne w R+ są(wypuk łym i )s to żkam io w i e r z cho łku wz e r z e .N i e chV j b ęd z i eob s za r em ws ymp l ek s i ej edno s tkowym O* , 9)lub( 13) .W i emy ,ż eV j za l e żyty lkood ma c i e r zys t ra t zadanym w zo r em( S . D laro zk ładuap r io r ir odpow i edn iob s za rde cy zy jny wR+ mapo s ta ć /eĄ ■ f ,nfi, , eV j T l f l +•••+T k fk Geome t ry c zn ie ,je s ttona jmn i e j s zys to ż ekow i e r z cho łku wz e r z e ,zaw ie ra ją cy zb ió rtak i ch punk tóws ymp lek su o w i e r z cho łka ch # i/ ti, . ..O^ / rk ,k tó ry ch.

(92) Teorio-decyzyjne podstawy analizy dyskryminacyjnej. 119. współrzędne bary centry czne należą do V j , to znaczy zbiór : p = ( p i , . . .p k) e V j. Bibliografia L. B o b r o w s k i , H. W a s y l u k , W . N ie m ir o (1987). Some technique of linear discrimination with the application to analysis of thyroid diseases diagnosis. Biocybernetics and Biomed. Engin. 7, 1-4, 23-32. T . B r o m e k , M . N i e w i a d o m s k a - B u g a j (1987). Threshold rules in two-class discrimination problems. Probab. Math. Statist. P.A . D e v i j v e r , J. K i t t ie r (1982). Pattern Recognition: A Statistical Approach. Prentice Hall, London. R . A . F i s h e r (1936).. The use of midtiple measurements in taxonomic problems. Ann.. Eugenics 7, 179-188. S. G e i s s e r (1982). Bayesian discrimination. W : P.R.Krishnaiah and L.N .Kanal, eds, Handbook of Statistics, vol.2., 101. D . J. H a n d (1981). Discrimination and Classification. John Wiley and Sons, New York. P.R. K r i s h n a i a h and L.N. K a n a l, eds, (1982). Handbook of Statistics, vol.2: Classification, Pattern Recognition and Reduction of Dimensionality, North Holland, Am sterdam -N ew York-O xford. M. K r ż y s k o (1990). Analiza dyskryminacyjna. W N T , Warszawa. P .A . L a c h e n b r u c h (1975). Discriminant Analysis, Hafner Press, New York. E . L. L e h m a n n (1959). Testing Statistical Hypotheses. John Wiley and Sons, New York. K. L e i c h t w e i s s (1980). Konvexe Mengen. V E B Deutcher Verlag der Wissenshaften, Berlin. Przekład rosyjski: Wypukłye mnozestva, Nauka, Moskwa, 1985. G. N a g y (1982). Optical character recognition-theory and practice. W : P.R.Krishnaiah and L.N .K anal, eds, Handbook of Statistics, vol.2., 621-649. M. N i e w i a d o m s k a - B u g a j (1988). Analiza dyskryminacyjna. W : T .Bromek i E.Pleszczyńska, red., Teoria i Praktyka Wnioskowania Statystycznego, P W N , Warszawa. C .R . R a o (1973). Linear Statistical Inference and Its Applications, John W iley and Sons, New York. Przekład polski: Modele Liniowe Statystyki Matematycznej, P W N , Warszawa, 1982. S. Z u b r z y c k i (1966). W ykłady z Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki M atem atycznej, P W N , Warszawa.

(93)

G\VNU\PLQDF\MQHM 3UDFD ZS&atilde;\Qč&atilde;D GR 5HGDNFML

G\VNU\PLQDF\MQHM 3UDFD ZSã\QčãD GR 5HGDNFML