Liczba roszczeń N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona P oiss(5)

1. Liczba roszczeń N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona P oiss(5).

Każde ze zgłoszonych, roszczeń jest niezależnie od pozostałych, uwzględ- nione z prawdopodobieństwem 0.8 lub odrzucone z prawdopodobień- stwem 0.2. Niech N₁ oznacza liczbę roszczeń uwzględnionych, zaś N₀ - odrzuconych (N₀+ N₁ = N ). Podaj:

a) P(N0 = 0|N = 4), b) E (N0|N = 4), c) E N0,

d) E (N |N1 = 2).

2. Portfel ryzyk składa się z dwóch niezależnych podportfeli. Liczba szkód w podportfelu pierszym N₁ jest zmienną losową o rozkładzie Poissona P oiss(120), zaś wysokość pojedynczej szkody wynosi b₁ = 1. Odpo- wiednio N2 ∼ P oiss(30), b2 = 2. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja warunkowego rozkładu sumy szkód w całym portfelu, jeśli wiadomo, że N₁+ N₂ = 200 ?

3. Szkoda X = IB ma warunkowy rozkład, jeśli zaszła, F (x) = P(B ≤ x|I = 1),

gdzie I, B są pewnymi zmiennymi losowymi oraz I ma rozkład P(I = 1) = q = 1 − P(I = 0)

dla q ∈ (0, 1). Wyznacz E X oraz VarX. Ponadto dla q = 0.1 oraz F (x) = 1 − 0.01 e^−0.01x, x > 0 wyznacz rozkład X, a także liczbę θ tak, aby

P (S100 > (1 + θ) E S100) = 0.05, gdzie S₁₀₀ =

100

P

i=1

X_i.

1