1. Liczba roszczeń N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona P oiss(3).
Każde ze zgłoszonych, roszczeń jest niezależnie od pozostałych, uwzględ- nione z prawdopodobieństwem 2/3 lub odrzucone z prawdopodobień- stwem 1/3. Niech N1 oznacza liczbę roszczeń uwzględnionych, zaś N0 - odrzuconych (N0+ N1 = N ). Podaj:
a) P(N1 = 1|N = 3), b) E (N1|N = 3), c) E N1,
d) E (N |N1 = 1).
2. Załóżmy, że szkody X1, . . . , Xnsą opisane przez modele: Normalny/Nor- malny, Poisson/Gamma, Wykładniczy/Gamma. Wyznacz bayesowskie predyktory przyszłych szkód w tych modelach.
3. Niech X i W będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie nor- malnym N (0, 1). Niech Y = 5 + 2X + W. Oblicz:
(a) E(Y |X), (b) V ar(Y |X), (c) EY i V arY, (d) Cov(X, Y ),
(e) BLP(X|Y ), czyli podaj współczynniki β0∗ i β1∗ takie, aby zmienna losowa ˆY = β0∗+ β1∗Y miała najmniejszy błąd średniokwadratowy pre- dykcji:
E [X − (β0∗+ β1∗Y )]2 ≤ min
β0,β1
E [X − (β0+ β1Y )]2.
1
