################################################################################
Szczególna teoria względności i efekt Sagnaca
A. A. Logunow, Ju. W. Czugrjew
Tytuł oryginału : „Специалная теория относителности и эффект Саньяка”
UFN 1988 tom 156 zeszyt 1
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2011-07-01 Tłumaczenie całości artykułu.
Jako wprowadzenie zobacz tekst pt. „Eksperymentalna baza Szczególnej Teorii Względności”.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Jak wiadomo efekt Sagnaca [1] razem z doświadczeniem Michelsona, pomiarami prędkości światła itp. jest jednym z fundamentalnych doświadczeń STW. Jednakże do tej pory w literaturze tematycznej można spotkać zarówno nie poprawne wyjaśnienie tego efektu z pomocą sygnałów poruszających się z prędkościami większymi od prędkości światła [2, 3] jak i odsyłaniem do OTW [3], można, zatem wnioskować, że objaśnienie tego efektu jest „zagadkowe” – nie podlegającym niesprzecznemu objaśnieniu [4]. Dalej dokładnie wyjaśnimy, co mamy na myśli. W tym kontekście wydaje się nam koniecznym wychodząc od metodycznych rozważań unikając wszelkich iluzji, podkreślenie, iż efekt Sagnaca ma naturę czysto relatywistyczną. Przy tym oczywiście nie potrzebne jest wprowadzanie żadnych sygnałów nadświetlnych, a tym bardziej nie trzeba wprowadzać OTW.
Na początku opiszemy doświadczenie Sagnaca. Na dysku w rogach czterokąta umieszczono zwierciadła. Kąty ich wzajemnego ułożenia są takie, że promień światła pochodzący od monochromatycznego źródła, odbija się od zwierciadeł, pokonując cykl zamknięty, powracając do źródła. Z pomocą płytki półprzepuszczalnej promień możemy rozdzielić na dwa promienie, poruszające się w przeciwnych kierunkach takiego zamkniętego cyklu.
Sagnac zauważył, że jeśli wprowadzić dysk w ruch obrotowy, to promień, dla którego kierunek obejścia pokrywa się z kierunkiem obrotu, przychodzi do odbiornika później niż promień, dla którego kierunek obejścia jest przeciwny, wynikiem tego jest przesuniecie prążków interferencyjnych. Przy zmianie obrotów na przeciwne obraz interferencyjny przesuwa się w drugą stronę.
Jakie wyjaśnienie dawano takiemu efektowi ?
Sam Sagnac otrzymał teoretycznie wartość wielkości efektu na drodze czysto klasycznego dodawania prędkości światła z prędkością liniową rotacji tarczy, dla promienia poruszającego się w kierunku przeciwnym do obrotów i odpowiedniego odjęcia dla promienia poruszającego się w kierunku zgodnym z rotacją dysku. Odchyłka tak uzyskanego wyniku od danych eksperymentalnych jest rzędu procentu.
Takie wyjaśnienie tego doświadczenia ( z pewnymi modyfikacjami ) zostało utrwalone w literaturze, często powodując wprowadzenie zamętu. W charakterze przykładu podamy typowe wyjaśnienie podane przez Sommerfelda w jego Optyce [3] „Ujemny wynik Michelsona nie mówi nic o rozprzestrzenianiu światła w ośrodkach obracających się. W tym przypadku należałoby przywołać nie STW, a OTW z jej dodatkowymi członami odpowiadającymi mechanicznym siłą dośrodkowym. Jeśli, jednakże przyjąć do wiadomości, że w danych doświadczeniach ( Sagnaca itp. – dopisek autorów artykułu ) rzecz idzie tylko o prędkościach v << c i tylko o efektach pierwszego rzędu względem v/c, to można będzie w ogólności obejść się bez teorii względności (* STW lub OTW – przypis własny *) i prowadzić obliczenia czysto klasyczne”.
Takie wyjaśnienie faktycznie odpowiada staremu duchowi, wyobrażeń eteru i jak słusznie zauważył Yilmaz [3] nie jest poprawne, ponieważ dopuszcza prędkości nadświetlne, jak również jest sprzeczne z relatywistycznym prawem dodawania prędkości.
Rozpatrzmy dla wygody ( postępując za Yilmaz’em ), okrągły tor, po jakim porusza się promień światła w
doświadczeniu Sagnaca ( odpowiada to nieskończonej liczbie zwierciadeł ). Zgodnie z klasycznym prawem dodawania prędkości w rotującym układzie odniesienia, prędkości światła będą równe c ± ωr0 , gdzie ω – częstość obrotu, r0 – promień trajektorii.
Wtedy dla wartości omawianego efektu otrzymujemy następujący wzór :
∆S = [ 2πr0 / ( c – ωr0 ) ] – [ 2πr0 / ( c + ωr0 ) ] ≈ 4πr03ω / c2 = 4ωS/ c2
który jest dobrze zgodny z danymi eksperymentalnymi. S – oznacza, pole powierzchni zamkniętej powierzchni, po obwodzie, której porusza się promień światła.
Widzimy, że poprawny wynik osiągnęliśmy za cenę wprowadzenia anizotropii prędkości światła i faktycznie
dopuszczając prędkości nadświetlne. Taka anizotropia jest oczywiście sprzeczna z relatywistycznym prawem dodawania prędkości ( nawet w pierwszym rzędzie ), jak również z postulatem stałości prędkości światła. Innymi słowy, chociaż
takie podejście daje poprawny wynik ( w pierwszym przybliżeniu ) jest ono wewnętrznie sprzeczne. Mając na względzie ten fakt Yilmaz nazwał efekt Sagnaca „zagadkowym” [4]
Zauważmy, że pomiar prędkości światła w celu poszukiwania ewentualnej jego anizotropii zamierza przeprowadzić grupa eksperymentatorów z Uniwersytetu Merylandskiego.
W niniejszej pracy pokażemy, że wyjaśnienie efektu Sagnaca znajduje się w pełni kompetencji STW i nie jest potrzebna ani OTW, ani prędkości nadświetlne, nie jest również konieczne wprowadzanie dodatkowych postulatów.
Rozpatrzymy dokładnie – znajdując się w IUO, spoczywającym względem układu pomiarowego – jak można obliczyć czas między dotarciem promienia do źródła, zrobimy to wykorzystując również rotujący razem z układem NIUO.
Jak należy oczekiwać wyniki takich dwóch podejść będą identyczne.
Analizę rozpoczniemy od przypadku IUO. Interwał zapiszemy we współrzędnych cylindrycznych :
ds2 = c2dt2 – dr2 – r2dφ2 – dz2 (1)
Niech – jak mówiliśmy wcześniej – promień światła porusza się na płaszczyźnie z = 0 po okręgu o promieniu r = r0 = const. Dla światła interwał (1) jest równy zeru I dlatego otrzymujemy :
dφ±(t )/dt = ± c/r (2)
Indeksem + oznaczono promień poruszający się w kierunku obrotów, a indeksem – promień poruszający się w kierunku przeciwnym.
Z uwzględnieniem warunków początkowych φ±(0) = 0 , φ-(0 ) = 2π znajdujemy prawo zmiany φ±(t ) dwóch promieni w zależności od t :
φ+(t ) = ct/r (3)
φ-(t ) = 2π – ct/r (3)
Promienie spotykają się w chwili t1 , kiedy φ+(t1) = φ-(t1) = π.
Wybierając teraz chwilę t1jako chwilę początkową i powtarzając rozważania znajdujemy, że następne spotkanie będzie miało miejsce w tym punkcie ( trójwymiarowej przestrzeni ), z którego zostały one wysłane, tj. w punkcie o
współrzędnych φ = 0 , r = r0 , z = 0.
Należy podkreślić, że taki wynik nie jest zależny od prędkości kątowej obrotu, układu odniesienia, w którym znajduje się źródło i lustra. Prawo zmiany współrzędnej kątowej źródła ma postać ( warunek początkowy φs (0) = 0 ) :
φs(t) = ωt (4)
Zatem, spotkanie źródła z promieniem „+“ będzie miało miejsce w chwili czasu współrzędnościowego t+ , określonego poprzez warunek φs(t+) = φ+(t+) – 2π, tj. :
t+ = 2π/ (cr0 – ω ) (5)
, a z promieniem „-„ w chwili czasu współrzędnościowego t- , określonego poprzez warunek φs(t- ) = φ-(t- ) :
t+ = 2π/ (cr0 + ω ) (6)
Z postaci zależności (5) i (6) może się wydawać, że prędkość światła w rozpatrywanym przypadku jest anizotropowa i różna od c. Jednak tak nie jest. Prędkość światła dla obu promieni jest jednakowa i równa c, różne są jedynie czasy powrotu ku źródle ; taką różnicę tłumaczymy tym, że w czasie propagacji promieni źródło przemieszcza się na pewną odległość i w wyniku tego dochodzi do spotkania między źródłem i sygnałami świetlnymi na różnych odległościach ( promień „+” przechodzi dłuższą drogę )
Znajdziemy teraz wartość czasu własnego między rejestracją obydwu promieni obliczonego dla obserwatora znajdującego się na źródle. Zgodnie z definicją jest on równy :
s(t+ ) t+
∆ = (1/c) ∫ ds = (1/c) ∫ ( ds/dt ) dt (7)
s(t- ) t- gdzie : s – interwał.
Podstawiając do (7) wartość interwału w punkcie źródła, z pomocą (4) otrzymujemy : ds2 = c2dt2 – r02dφ2 = c2dt2 [ 1 – ( r02ω2/c2 ) ]
gdzie : r02ω2/c2 < 1.
Obliczmy dokładną wartość efektu Sagnaca ( przy obliczaniu bardziej realistycznej wartości tego efektu, kiedy trajektoria promieni świetlnych jest linią łamaną, należy uwzględnić deformacje przyrządu pod działaniem sił dośrodkowych ) :
∆ = [ 1 – ( r02ω2/c2 ) ]1/2 ( t+ – t- ) = 4πωr02/ c2 [ 1 – ( r02ω2/c2 )]1/2 (8) Zauważmy, że przy wyprowadzeniu (8) wykorzystaliśmy tylko pojęcia zdarzeń spotkania obu promieni ze źródłem, a nie pojęciem prędkości światła względem rotującego układu odniesienia.
Należy osobno podkreślić, ze istota STW to postulat o pseudoeuklidesowości geometrii czaso-przestrzeni, a zasada względności i „postulat stałości prędkości światła” są jego następstwem – szczególnym następstwem tego
fundamentalnego założenia. Właśnie takie założenie o pseudoeuklidesowości geometrii pozwala rozpatrywać zjawiska w NIUO, pozostając dokładnie w ramach STW. W dalszej kolejności pokażemy, że tak jest w istocie i pokażemy, że
obliczenie efektu Sagnaca w rotującym ( nieinercajnym ) układzie odniesienia nie różni się niczym zasadniczym od analogicznych obliczeń prowadzonych w układzie nieinercjalnym. Dlatego też OTW nie jest tu potrzebna. Dokładniej można o tym przeczytać w [5].
Pokażemy teraz, że jeśli chcielibyśmy eksperymentalnie zmierzyć prędkość światła w omawianym eksperymencie względem nieruchomego układu odniesienia lub względem rotującego układu odniesienia, to zawsze otrzymalibyψmy wartość c. Na początku przypomnijmy, że bezpośrednio eksperymentalnie mierzymy tzw. prędkość fizyczną, którą należy odróżniać od prędkości współrzędnościowej mającej charakter matematyczny a nie fizyczny.
Zatem, rozpatrzmy interwał przestrzeni Minkowskiego :
ds2 = γik dxidxk = γ00 c2dt2 + 2γ0α cdt dxα + γαβ dxαdxβ (9)
gdzie : γik – tensor metryczny, dla którego zgodnie z definicją, tensor krzywizny Riemanna jest równy zeru.
Interwał (9) można tożsamościowo przekształcić do postaci :
ds2 = [ (γ00 )1/2 cdt + ( γ0α / (γ00 )1/2 ) dxα ]2 – [ ( γ0α γ0β / γ00 ) – γαβ ] dxαdxβ który pokrywa się z postacią interwału w standardowym IUO :
ds2 = c2 dτ2 − dl2 (10)
Zatem, rolę czasu fizycznego odgrywa wielkość dτ = (γ00 )1/2 dt + ( γ0α /c ) dxα (γ00 )1/2 , równa sd/c przy dl = 0, a rolę kwadratu fizycznej odległości – wielkość :
dl2 = [ ( γ0α γ0β / γ00 ) – γαβ ] dxαdxβ równa –ds2 przy dτ = 0.
Z takich określeń jest jasne, że dτ i dl można mierzyć, ponieważ są one wyrażone przez wielkość absolutną – interwał.
Z tego wynika również, że eksperymentalnie mierzoną prędkością jest wielkość dl/dτ. Ponieważ inwariantne określenie sygnałów świetlnych w STW głosi, że ds2 = 0, to na podstawie (10) znajdujemy, że :
| dl/dτ | = c (11)
Wynik taki oznacza, ze w jakimkolwiek układzie odniesienia – inercjalnym lub nie inercjalnym – eksperymentator by mierzył prędkość światła, jej wartość lokalna wszędzie jest stała i równa c.
W przypadku IUO wielkość dτ jest różniczką zupełną i możemy mówić o globalnej stałości fizycznej prędkości światła.
W tym czasie współrzędnościowa prędkość światła dxαdt może mieć dowolną wartość, za wyjątkiem zera i nieskończoności.
W celu pomiaru eksperymentalnego czasu, odległości itp. należy razem ze współrzędnymi znać wartość składowych tensora metrycznego γik. Na podstawie powyższych rozważań wnioskujemy, że fizyczna prędkość światła względem układu nieruchomego jest równa :
v = ds/dτ = ± cnφ
gdzie : nφ – wektor jednostkowy w kierunku azymutalnym.
Zauważmy, że w rozpatrywanym układzie odniesienia prędkość fizyczna i współrzędnościowa pokrywają się.
Rozpatrzmy teraz ten sam fizyczny proces rozprzestrzeniania się promieni po okręgu naprzeciw siebie w rotującym w prędkością ω NIUO. Aby znaleźć postać interwału w tym układzie, dokonamy przekształcenia współrzędnych :
φH = φC – ωtC (12)
tH = tC rH = rC zH = zH
W nowych współrzędnych tH , rH, φH, zH otrzymujemy ( dla uproszczenia opuszczamy indeks h ) interwał w postaci : ds2 = [ 1 – ( r2ω2 /c2 )] c2dt – ( 2ωr2 /c )dφ cdt – dr2 – r2dφ2 – dz2 (13) Fizyczna realizowalność rotującego układu odniesienia, dla którego r ≥ c/ω jest niemożliwa, ponieważ przy r → c/ω
masa i moment bezwładności takiego układu dąży do nieskończoności. Zauważmy, że chociaż czterowymiarowa geometria tak jak wcześniej pozostaje pseudoeuklidesowa, geometria trójwymiarowej przestrzeni określona tensorem metrycznym
καβ = [ ( γ0α γ0β / γ00 ) – γαβ ] w danym przypadku jest różna od euklidesowej. Obliczmy, zatem tensor krzywizny takiej przestrzeni :
R(3)λµνσ = ½ ( ∂2
σµ κλν – ∂2
σλ κµν – ∂2
µν κλσ + ∂2
νλ κµσ ) + κηρ( Γη νλ Γρ
µσ – Γη σλ Γρ
µν ) Gdzie : Γη
νλ – koneksja trójwymiarowej przestrzeni.
Γη
νλ = ½ κησ ( ∂ν κσλ + ∂λ κσν – ∂σ κλν ) gdzie : κησ – macierz odwrotna do macierzy καβ
Podstawiając do wzoru dla tensora krzywizny metrykę efektywną καβ = diag { 1, r2 / [ 1 – ( r2ω2 /c2 )], 1 }
i obliczając koneksje Γη
νλ znajdujemy, że tensor krzywizny posiada tylko jedna niezależną i różną od zera składową : R(3)rφrφ = 3ω2r2 / c2 [ 1 – ( r2ω2 /c2 )]
Stąd widać, że krzywizna trójwymiarowej przestrzeni jest różna od zera i współrzędna r nie może przewyższać wartości c/, ponieważ w tym przypadku współczynnik γ00 zmienia znak, co jest fizycznie niedopuszczalne.
Charakterystycznym zjawiskiem wspomnianej nieeuklidesowości trójwymiarowej geometrii przestrzeni jest znany fakt o nierówności 2π stosunku długości okręgu do jego promienia :
L(2π)
(1/r) ∫ dL = 2π / [ 1 – ( r2ω2 /c2 )]1/2 > 2π L(0)
Rozpatrzmy teraz efekt Sagnaca w NIUO. Obliczenia będziemy prowadzili według wcześniejszego schematu. Tak jak poprzednio, trajektoriami promieni świetlnych są okręgi o promieniu r0 = const. , leżące na płaszczyźnie z = 0 Z warunku (13) znajdujemy z pomocą zależności ds2 = 0 prawo zmiany kąta φ w zależności od czasu
współrzędnościowego t :
dφ± /dt = - ω ± c/r0 (14)
Z uwzględnieniem warunków początkowych φ+ (0 ) = 0 , φ-(0 ) = 2π, otrzymujemy :
φ+ (t) = (ct/r0 ) ( 1 – ωr0 /c ) (15)
φ- (t) = 2π – (ct/r0 ) ( 1 + ωr0 /c ) (15)
Pierwsze spotkanie promieni nastąpi w chwili t1, kiedy φ+ (t1 ) = φ-(t1 ), tj. przy wartości zmiennej kątowej, równej t1 = π[ 1 – (ωr0 /c ) ]. Analogiczne rozważania prowadzą do wniosku, że drugie spotkanie promieni nastąpi „na kącie“ :
φ2 = 2π ( 1 – ωr0 /c ) (16)
tj. na odległości kątowej 2πr0ωc od źródła.
Prawo zmiany współrzędnej kątowej źródła w danym układzie jest trywialne : φs = const. = 0.
Chwilę czasu współrzędnościowego t1 spotkania promienia „+” ze źródłem, znajdujemy tak jak poprzednio z warunku φs (t+ ) = 0 = φ+ (t+ ) – 2π :
t+ = 2πr0 /( c – ωr0 ) (17)
i analogicznie, chwila t- :
t- = 2πr0 /( c + ωr0 )
Interwał czasu własnego między dwoma zdarzeniami przyjścia promieni do punktu, w którym znajduje się źródło, otrzymamy z pomocą (7) :
t+
∆ = (1/c) ∫ ( ds/dt) dt = [ 1 – ( r2ω2 /c2 )]1/2 ( t+ – t- ) = 4πωr02/ c2 [ 1 – ( r02ω2/c2 )]1/2 t-
Pokrywa się to z wynikiem obliczeń w układzie nieruchomym. Interesujące, że w przybliżeniu nierelatywistycznym wzór dla wielkości przesunięcia prążków interferencyjnych, który wynika z wyrażenia dla ∆, jest słuszny również w ośrodku, tj. nie jest on zależny od wielkości współczynnika załamania optycznego ośrodka, dyspersji, prędkości grupowej itp.
Obliczmy teraz prędkość fizyczną światła dla rozpatrywanego zjawiska. Zgodnie z (10) i (14) otrzymujemy : dl/dτ = ± cnφ
Zauważmy również, że w rotującym układzie odniesienia współrzędnościowa prędkość światła jest anizotropowa : dφ/dt = -ω ± c/r .
Podkreślmy, że odbiornik nie zarejestruje zmiany częstotliwości dla promieni, ponieważ na całej ich drodze współczynnik metryczny γ00 odpowiedzialny za przesuniecie ku czerwieni jest stały.
W związku z tym interesujący może być efekt zmiany częstotliwości światła w rozpatrywanym NIUO. Jeśli wyemitować promień światła o częstości ν0 od osi rotacji zgodnie z promieniem, to dla obserwatora znajdującego się na dysku, jego częstość będzie się zwiększała według prawa :
ν(t) – ν0 / ν0 = { 1/ [ 1 – ( r02ω2/c2 )]1/2 } – 1 ≈ ½ r2ω2/c2 (18)
w kierunku fioletowej części widma ( co było sprawdzone eksperymentalnie z dokładnością do 10-2 % [7].
Zatem, pokazaliśmy, że w celu wyjaśnienia efektu Sagnaca nie ma konieczności ani modyfikowania STW ani wykorzystywania prędkości nadświetlnych, ani nawet przywoływania OTW, należy jedynie ściśle stosować prawa wypracowane w STW.
Spis literatury.
1. Sagnac M. G. – J. de Phys. 1914 T. 4 P.177
2. Wawiłow S. I. Zbiór prac T. 4 wydawnictwo AN- ZSSR 1956 3. Sommerfeld A. Optics ( przekład rosyjski 1953 )
4. Yilmaz H. Proceedings of the Fourth Marcel Grossmann Meting on GR; ed. R. Ruffini ; Elsevier Science Publ 1986 p. 1753
5. Logunow A. A. Wykłady z teorii względności i grawitacji” Nauka 1987 (* dostępny przekład własny *)
6. Fiber optic, sensors and related technologies , ed. S. Ezekiel, H. Arditty ; Springer- Veralg 1982 7. Hay H. J. , Schiffer J. P. , Caranshaw T. E. , Egelstaff Phys. Rev. Letter. 1960, V. 4 P. 165
