Klasyfikacja modeli zmienno Ăci typu GARCH dla stóp zwrotu OFE

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Klasyfikacja modeli zmienno Ăci typu GARCH dla stóp zwrotu OFE

Wprowadzenie

Podstawowym celem otwartych funduszy emerytalnych dziaïajÈcych na polskim rynku jest gromadzenie i pomnaĝanie Ărodków zabezpieczajÈcych przed ryzykiem staroĂci. W celu kontroli dziaïalnoĂci OFE w ustawie zosta- ïa zdefiniowana przeciÚtna stopa zwrotu grupy OFE, na podstawie której wyznacza siÚ tzw. minimalny zwrot dla funduszy. Wprowadzenie w ustawie minimalnej stopy zwrotu ma chroniÊ czïonków OFE przed konsekwencja- mi negatywnych decyzji zarzÈdzajÈcych. Natomiast przeciÚtna stopa zwro- tu danego OFE ma za zadanie sïuĝyÊ do oceny efektywnoĂci inwestycyjnej funduszu emerytalnego. Czïonkowie funduszy, na jej podstawie mogÈ doko- nywaÊ wyboru funduszu, monitorowaÊ poziom ryzyka i stopieñ realizacji zaïoĝonej polityki inwestycyjnej oraz decydowaÊ o wysokoĂci swoich dodat- kowych oszczÚdnoĂci emerytalnych.

Naleĝy jednak podkreĂliÊ, ĝe przeciÚtna stopa zwrotu tak naprawdÚ pokazuje tylko chwilowy ukïad funduszy. Ich kolejnoĂÊ na podstawie stopy zwrotu moĝe ulegaÊ zmianie nawet w ciÈgu miesiÈca. Osoba wybierajÈca fundusz inaczej moĝe wybraÊ na podstawie danych z jednego okresu a ina- czej na podstawie z innego. Przy obecnych moĝliwoĂciach (ograniczeniach inwestowania) stopa zwrotu podawana przez KNF ma praktyczne maïe znaczenie, gdyĝ jest to stopa zwrotu z okresu trzech lat przy inwestycji ok. 40 lat. Równieĝ nie ma gwarancji, ĝe w danej chwili najlepszy fundusz za chwilÚ nie bÚdzie najgorszy. Obecnie to wïaĂciwie jest reguïÈ, ĝe jeĝeli jakiĂ fundusz byï najlepszy to za chwilÚ bÚdzie najgorszy, wystarczy popa- trzeÊ np. na roczne stopy zwrotu z 10 lat.

Ponadto przeciÚtna stopa zwrotu zawiera tylko informacje z rynku OFE, nie uwzglÚdnia ona elementów zewnÚtrznych, takich jak inflacja, sytuacja na rynku finansowym. Powoduje to ocenÚ danego funduszu w odniesieniu do innych funduszy, przy braku moĝliwoĂci porównania z innymi podmio-

tami zarzÈdzajÈcymi kapitaïem oraz braku odniesienia do sytuacji na rynku finansowym. Dlatego czÚĂÊ prac z zakresu problematyki OFE proponuje do oceny efektywnoĂci zastosowanie miar uwzglÚdniajÈcych ryzyko rynku (inwestycyjne) (miary Treynora, Jensena, czy Sharpe’a).

W artykule zostanie dokonana ocena efektywnoĂci OFE. Ich efektywnoĂÊ inwestycyjna bÚdzie mierzona ryzykiem, które jest utoĝsamiane ze zmien- noĂciÈ szeregu stóp zwrotu poszczególnych OFE. Zatem aby oceniÊ, czy dwa szeregi charakteryzujÈ siÚ identycznym ryzykiem naleĝaïoby sprawdziÊ czy procesy generujÈce zmiennoĂÊ majÈ identyczne parametry (jeĂli zaïoĝymy, ĝe sÈ takiej samej klasy, np. GARCH(1,1)). Do weryfikacji hipotezy o iden- tycznoĂci parametrów zostanie w artykule wykorzystana statystyka Walda.

NastÚpnie dokonane zostanie pogrupowanie szeregów (OFE) ze wzglÚdu na ryzyko. W tym celu zostanie wykorzystany dystans pomiÚdzy modelami cha- rakteryzujÈcymi stopy zwrotu poszczególnych funduszy OFE. Przy zaïoĝeniu, ĝe warunkowa wariancja stóp zwrotu moĝe byÊ wïaĂciwie opisywana przy pomocy modeli typu GARCH, porównaniu podlegaÊ bÚdzie podobieñstwo modeli zmiennoĂci (wzorców zmiennoĂci) poszczególnych szeregów stóp zwro- tu. Parametry modeli GARCH okreĂlajÈ warunkowÈ i bezwarunkowÈ zmien- noĂÊ stóp zwrotu. Innymi sïowy, podobne modele GARCH reprezentujÈ podobne zachowanie zmiennoĂci a wiÚc podobne ryzyko inwestycyjne.

Punktem odniesienia dla porównañ bÚdÈ ryzykowne instrumenty finan- sowe takie jak: indeksy gieïdowe. Na tej podstawie zostanie wskazana grupa funduszy, które charakteryzujÈ siÚ podobnÈ zmiennoĂciÈ (podobnym ryzykiem). Analiza OFE zostanie przeprowadzona dla lat 2001–2008.

Artykuï ten jest kontynuacjÈ badañ autorów dotyczÈcych klasyfikacji OFE z wykorzystaniem procesów GARCH [Papieĝ, ¥miech 2010].

1. Dystans miÚdzy procesami GARCH (1,1)

Niniejsza czÚĂÊ artykuïu bÚdzie poĂwiÚcona przedstawieniu koncepcji odle- gïoĂci pomiÚdzy najczÚĂciej wykorzystywanymi modelami charakteryzujÈ- cymi zmiennoĂÊ instrumentów finansowych – modelami GARCH. OdlegïoĂÊ mierzonÈ pomiÚdzy modelami procesów stochastycznych wprowadziï do literatury ekonometrycznej [Piccolo 1990], który zaproponowaï odlegïoĂÊ miÚdzy procesami typu ARMA. Uogólnienie zaproponowanej miary odle- gïoĂci na klasÚ procesów typu GARCH wynika z faktu, (ĝe przy pewnych zaïoĝeniach) kwadraty bïÚdów w tych procesach mogÈ byÊ przedstawione w postaci modeli ARMA. Szczegóïy rozwaĝañ na ten temat, a takĝe prze- glÈd metod dla uogólnionych procesów GARCH (np. igarch, treshold garch) moĝna znaleěÊ w pracach [Otranto, Trudda, 2007, Otranto 2008].

W zwiÈzku z tym, ĝe obszar rozwaĝanych w empirycznej czÚĂci mode- li zmiennoĂci ogranicza siÚ do modeli typu GARCH(1,1) poniĝej znajdÈ siÚ

wzory prowadzÈce do wyznaczenia dystansu pomiÚdzy dwoma tego typu procesami. Zaïóĝmy, ĝe dysponujemy realizacjami dwóch szeregów czaso- wych:

y_1,t=g₁+e_1,t (1)

y2,t=g2+e2,t,

gdzie: e1,t, e2,t sÈ niezaleĝnymi, heteroskedastycznymi procesami o zerowej Ăredniej. Zakïadamy dalej, ĝe warunkowa wariancja procesów h1,t, h_2,t jest modelowana przez dwa niezaleĝne procesy GARCH(1,1) tj.:

Var(y_1,tI_1,t–1) = h_1,t = g₁ + a₁e²_1,t–1 + b₁h²_1,t–1, (2) Var(y2,tI2,t–1) = h2,t = g1 + a2e²1,t–1 + b2h²2,t–1,

gdzie: I_i,t–1 (dla i=1, 2) oznacza informacjÚ dostÚpnÈ w chwili t–1.

Dalej zakïadamy, ĝe: gi>0, 0<a_i<1, 0<b_i<1, (a_i + b_i)<1 (i=1, 2).

DodajÈc do obu stron równañ (2) kwadrat bïÚdu ε²i,t i dalej wyznaczajÈc go z powstaïego równania otrzymamy po stosownych przeksztaïceniach zaleĝnoĂÊ charakterystycznÈ dla procesu ARMA(1,1), która przyjmuje postaÊ:

e²i,t= gi+ (ai + bi)e²1,t–1 – bi(e²1,t–1 – h1,t–1)+(e²1,t – h1,t) (i=1, 2) (3) Zaburzeniem losowym w równaniu (3) jest proces ε²1,t–1 – hi,t, który ma zerowÈ ĂredniÈ i nie jest skorelowany ze swojÈ przeszïoĂciÈ [Otranto 2004].

W celu porównania pary procesów, zapisuje siÚ je w postaci¹ AR(∞):

b h

, 1 , , ,

i t i

i i

j j

i t j i t i t

2 1

1

2 2

f b

c a f f

= - + + -

3 -

=

- i

^ h

/ (4)

i wyznacza odlegïoĂÊ euklidesowÈ d pomiÚdzy parametrami procesów dla kolejnych opóěnieñ:

d a ^j a ^j

j

1 1

1

2

2 2

2 1

b b

= -

3

=

^ h

;/ E _{. (5)}

Po podniesieniu do kwadratu i zastosowaniu wzoru na sumÚ szeregu geometrycznego odlegïoĂÊ d moĝna zapisaÊ nastÚpujÈco:

d 1 1

2

1

1 2 1 2

1 2

2 2

2

2 2

1

b a

b b a a

b

= a

- +

- -

-

1 2

; E . (6)

1 Wymagana jest odwracalnoĂÊ procesów.

Podobieñstwo dwóch procesów (maïa wartoĂÊ odlegïoĂci d) oznacza, ĝe majÈ one podobnÈ dynamikÚ zmiennoĂci. W podobny sposób warunkowa wariancja zaleĝy od wczeĂniejszego impulsu oraz poprzedniej warunkowej wariancji. Predykcja warunkowej zmiennoĂci przebiega podobnie. Sam poziom zmiennoĂci (ryzyko), który od doïu jest ograniczony dodatniÈ war- toĂciÈ

1

i

b c - +

i

nie jest tutaj brany pod uwagÚ.

Wyznaczenie odlegïoĂci pomiÚdzy parami procesów moĝe byÊ wykorzy- stywane do grupowania ich w jednorodne ze wzglÚdu na dynamikÚ warun- kowej zmiennoĂci klasy.

Ryzyko jest utoĝsamiane ze zmiennoĂciÈ szeregu, zatem aby oceniÊ, czy dwa szeregi charakteryzujÈ siÚ identycznym ryzykiem naleĝaïoby sprawdziÊ czy procesy generujÈce zmiennoĂÊ majÈ identyczne parametry (jeĂli zaïo- ĝymy, ĝe sÈ takiej samej klasy, tutaj GARCH(1,1)). Hipotezy testu muszÈ odnosiÊ siÚ do równoĂci trzech parametrów równania (2). Zatem powiemy, ĝe dwa szeregi sÈ generowane przez procesy z tej samej klasy, jeĂli speï- niona jest nastÚpujÈca hipoteza zerowa:

H₀ : a₁=a₂, b₁=b₂, g₁=g₂ .

Przy powyĝszych oznaczeniach rozwaĝa siÚ statystykÚ W (statystyka Walda) [Otrando, Sybillo 2008, str. 193]:

W = (AΘˆ)^T (A Λˆ A)^–1 (AΘˆ), (7) gdzie: Θˆ to oszacowane metodÈ najwiÚkszej wiarygodnoĂci parametry Θˆ = (a1, b₁, g₁, a₂, b₂, g₂), A jest macierzÈ wymiaru 3 × 6, skïadajÈcÈ siÚ z dwóch macierzy jednostkowych I₃ wymiaru 3 × 3 zapisanych nastÚpujÈ- co A=[I₃, –I₃], Λˆ – jest blokowÈ macierzÈ (6 × 6), majÈcÈ na przekÈtnej oszacowane, odporne macierze kowariancji parametrów procesów (wymia- rów 3 × 3).

Jeĝeli prawdziwa jest hipoteza zerowa, statystyka Walda ma rozkïad c² z trzema stopniami swobody.

OczywiĂcie jeĝeli uznamy, budujÈc test dla trzech parametrów, ĝe dwa szeregi majÈ takÈ samÈ zmiennoĂÊ (równoĂÊ trzech parametrów), stwierdzi- my automatycznie, ĝe majÈ identycznÈ dynamikÚ zmiennoĂci (równoĂÊ dwóch parametrów procesu generujÈcego szereg). Grupowanie szeregów pod wzglÚ- dem zmiennoĂci dynamiki, czyli równoĂci dwóch parametrów zostaïo prze- prowadzone w artykule [Papieĝ, ¥miech 2010]. Procedura grupowania sze- regów przebiega w nastÚpujÈcy sposób: [Otranto, Trudda, 2007 s. 193]

1. Wybór szeregu benchmarkowego².

2 Moĝna proponowaÊ róĝne procesy benchmarkowe aby oceniÊ jak ewentualnie zmienia siÚ skïad poszczególnych grup.

2. Wybór szeregów, które majÈ zerowÈ odlegïoĂÊ od benchmarku. TworzÈ one pierwszÈ grupÚ i nie biorÈ udziaïu w dalszym grupowaniu.

3. Wybór z poĂród pozostaïych szeregów tego, który ma najmniejszÈ odle- gïoĂÊ od benchmarku. Powyĝszy szereg stanowi nowy benchmark.

4. BadajÈc odlegïoĂÊ od nowego benchmarku ustala siÚ które szeregi sÈ nieistotnie od niego odlegïe. Wybrane szeregi tworzÈ drugie skupisko.

5. Do pozostaïych szeregów stosuje siÚ ponownie kroki 3 i 4 tak dïugo, aĝ nie zostanie ĝaden szereg.

Zaproponowana procedura grupowania nie wymaga okreĂlenia a priori liczby grup. Liczba skupisk i ich skïad sÈ tworzone automatycznie.

2. Klasyfikacja OFE – wyniki badañ

Do badania wybrano wszystkie dziaïajÈce na polskim rynku otwarte fundu- sze emerytalne takie jak: AEGON OFE, AIG OFE, Allianz Polska OFE, Aviva OFE, AXA OFE; Bankowy OFE, Generali OFE, ING OFE, Nordea OFE, Pekao OFE, OFE Pocztylion, OFE Polsat, OFE PZU „Zïota Jesieñ”, OFE WARTA³. Jako punkt odniesienia do porównañ wybrano WIG, który ma reprezentowaÊ ryzykowne instrumenty finansowe. AnalizÚ przeprowa- dzono dla stóp zwrotu na danych dziennych w latach 2001–2008 oraz dla poszczególnych podokresów: 2001–2005, 2002–2006, 2003–2007, 2004–2008.

Podokresy zostaïy tak dobrane, aby moĝna byïo przeĂledziÊ czy ulegaïy zmianie wzorzec warunkowej zmiennoĂci szeregów. (Lata 1999–2000 nie zostaïy wziÚte do badania ze wzglÚdu na to, ĝe fundusze dopiero wchodzi- ïy na rynek oraz posiadaïy bardzo maïo aktywów).

Dla wyznaczonych szeregów czasowych stóp zwrotu wyestymowano wartoĂci parametrów modelu GARCH (1,1) danego wzorem (2) przy uĝyciu programu GRETL. NastÚpnie zbadano, czy dwa szeregi charakteryzujÈ siÚ identycznym ryzykiem, czyli czy procesy generujÈce zmiennoĂÊ majÈ iden- tyczne parametry. Do weryfikacji hipotezy o identycznoĂci trzech parame- trów wykorzystano statystykÚ Walda danÈ wzorem (7).

Tablice 1a-e przedstawiajÈ wartoĂci statystyki Walda dla oszacowanych trzech parametrów modeli GRACH (1,1) w latach 2001-2008 oraz podokre- sach 2001–2005, 2002–2006, 2003–2007, 2004–2008. Natomiast rysunek 1 przedstawia wartoĂci jednostek otwartych funduszy emerytalnych w latach 2001–2008 oraz wartoĂÊ WIG/100 (w celu przeskalowania).

3 W 1999 r. zostaïo utworzonych 21 otwartych funduszy emerytalnych. Od 1999 r.

w wyniku przejÚcia zarzÈdzania otwartym funduszem lub poïÈczenia powszechnych towa- rzystw 7 z nich ulegïo likwidacji. Cztery procesy konsolidacyjne miaïy miejsce w 2001 r. po jednym w 2002, 2004 i 2008 r. W ich wyniku rynek funduszy emerytalnych uksztaïtowaï siÚ na obecnym poziomie 14 podmiotów.

Ry s u n e k 1

WartoĂci jednostek otwartych funduszy emerytalnych w latach 2001–2008 oraz wartoĂÊ WIG/100 ( w celu przeskalowania)

5 10 15 20 25 30 35

AEGON AIG ALLIANZ AVIVA AXA BANKOWY GENERALI ING NN NORDEA OFE PEKAO POCZTYLION POLSAT PZU ZŁOTA WARTA WIG/100 2002

2001 2003 2004 2005 2006 2007 2008

½ródïo: Opracowanie wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

NastÚpnie wykorzystujÈc miarÚ odlegïoĂci zdefiniowanÈ wzorem (6) wyznaczono dystans pomiÚdzy modelami charakteryzujÈcymi warunkowÈ zmiennoĂÊ stop zwrotu poszczególnych funduszy OFE. WartoĂci odlegïoĂci pomiÚdzy parami procesów dla oszacowanych trzech parametrów w anali- zowanych latach wraz z zaznaczonymi (pogrubionymi) wartoĂciami odle- gïoĂci istotnymi statystycznie (na podstawie wartoĂci statystyki Walda) znajdujÈ siÚ w tablicach 2a-2e. Z kolei stosujÈc przedstawionÈ w artykule procedurÚ dokonano pogrupowania OFE ze wzglÚdu na podobieñstwo zmiennoĂci (wzorców zmiennoĂci) poszczególnych szeregów stóp zwrotu.

Jako szereg benchmarkowy wybrano WIG. Tablica 3 przedstawia grupy otwartych funduszy emerytalnych, które charakteryzujÈ siÚ podobnÈ zmien- noĂciÈ (podobnym ryzykiem) w analizowanych okresach.

Tabela1a WartoĂci statystyki Walda dla oszacowanych trzech parametrów modeli GRACH (1,1) w latach 2001–2005 AEGONAIGAllianzAvivaAXABanko- wyGene- raliINGNor- deaPekaoPoczty- lionPolsatPZUWARTAWIG AEGON0,000,713,310,400,1914,180,940,870,119,620,298,320,410,227,60 AIG0,710,002,741,170,1622,041,592,300,8310,531,625,281,490,6712,08 Allianz3,312,740,002,622,8919,633,574,873,125,293,693,075,323,1110,98 Aviva0,401,172,620,000,6812,100,320,560,137,520,197,680,870,176,05 AXA0,190,162,890,680,0013,611,121,290,319,520,806,300,620,318,49 Banko- wy14,1822,0419,6312,1013,610,007,6912,8413,7910,369,4633,928,529,796,75 Generali0,941,593,570,321,127,690,000,220,455,880,547,500,830,354,50 ING0,872,304,870,561,2912,840,220,000,498,800,4611,120,410,466,30 Nordea0,110,833,120,130,3113,790,450,490,008,380,178,170,400,047,19 Pekao9,6210,535,297,529,5210,365,888,808,380,008,935,529,908,4610,16 Poczty- lion0,291,623,690,190,809,460,540,460,178,930,009,540,490,275,37 Polsat8,325,283,077,686,3033,927,5011,128,175,529,540,0010,356,9322,26 PZU0,411,495,320,870,628,520,830,410,409,900,4910,350,000,405,71 WARTA0,220,673,110,170,319,790,350,460,048,460,276,930,400,006,21 WIG7,6012,0810,986,058,496,754,506,307,1910,165,3722,265,716,210,00 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

Tabela1b WartoĂci statystyki Walda dla oszacowanych trzech parametrów modeli GRACH (1,1) w latach 2002–2006 AEGONAIGAllianzAvivaAXABan- kowyGene- raliINGNor- deaPekaoPoczty- lionPolsatPZUWARTAWIG AEGON0,000,053,600,100,291,100,160,900,154,780,265,430,520,3710,56 AIG0,050,004,610,260,380,800,170,740,145,690,136,480,280,4710,28 Allianz3,604,610,002,943,647,014,306,094,091,105,561,956,493,8016,94 Aviva0,100,262,940,000,611,560,240,930,133,870,674,760,810,4910,11 AXA0,290,383,640,610,001,220,461,720,835,440,284,931,000,2611,35 Banko- wy1,100,807,011,561,220,000,720,821,047,480,547,890,270,795,92 Generali0,160,174,300,240,460,720,000,470,195,070,245,920,330,2110,46 ING0,900,746,090,931,720,820,470,000,485,980,858,070,331,1410,65 Nordea0,150,144,090,130,831,040,190,480,004,580,476,220,350,6710,35 Pekao4,785,691,103,875,447,485,075,984,580,006,733,226,714,7911,56 Poczty- lion0,260,135,560,670,280,540,240,850,476,730,007,130,260,379,84 Polsat5,436,481,954,764,937,895,928,076,223,227,130,008,384,9818,13 PZU0,520,286,490,811,000,270,330,330,356,710,268,380,000,839,55 WARTA0,370,473,800,490,260,790,211,140,674,790,374,980,830,0010,45 WIG10,5610,2816,9410,1111,355,9210,4610,6510,3511,569,8418,139,5510,450,00 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

Tabela1c WartoĂci statystyki Walda dla oszacowanych trzech parametrów modeli GRACH (1,1) w latach 2003–2007 AEGONAIGAllianzAvivaAXABan- kowyGene- raliINGNor- deaPekaoPoczty- lionPolsatPZUWARTAWIG AEGON0,000,052,280,150,110,260,130,340,091,590,134,500,140,467,73 AIG0,050,002,940,350,090,440,080,230,212,000,035,130,040,467,53 Allianz2,282,940,001,362,841,512,943,081,651,143,272,193,172,1311,47 Aviva0,150,351,360,000,390,040,360,630,060,890,493,140,470,418,78 AXA0,110,092,840,390,000,490,080,600,361,680,064,790,240,466,80 Banko- wy0,260,441,510,040,490,000,370,710,130,690,542,750,570,279,55 Generali0,130,082,940,360,080,370,000,430,321,590,034,570,170,228,53 ING0,340,233,080,630,600,710,430,000,342,590,315,600,090,828,75 Nordea0,090,211,650,060,360,130,320,340,001,330,363,730,250,518,25 Pekao1,592,001,140,891,680,691,592,591,330,002,001,042,330,8112,12 Poczty- lion0,130,033,270,490,060,540,030,310,362,000,005,160,080,367,45 Polsat4,505,132,193,144,792,754,575,603,731,045,160,005,542,9617,25 PZU0,140,043,170,470,240,570,170,090,252,330,085,540,000,588,33 WARTA0,460,462,130,410,460,270,220,820,510,810,362,960,580,009,24 WIG7,737,5311,478,786,809,558,538,758,2512,127,4517,258,339,240,00 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

Tabela1d WartoĂci statystyki Walda dla oszacowanych trzech parametrów modeli GRACH (1,1) w latach 2004–2008 AEGONAIGAllianzAvivaAXABan- kowyGene- raliINGNor- deaPekaoPoczty- lionPolsatPZUWARTAWIG AEGON0,000,031,030,070,270,100,140,650,171,340,043,290,270,4312,76 AIG0,030,001,400,170,160,190,140,540,281,290,003,750,220,3713,03 Allianz1,031,400,000,711,820,861,482,390,722,591,371,871,851,9011,05 Aviva0,070,170,710,000,600,100,310,700,041,620,192,830,310,6111,51 AXA0,270,161,820,600,000,460,160,930,810,750,154,330,600,3112,83 Banko- wy0,100,190,860,100,460,000,111,000,240,980,212,410,530,3213,40 Generali0,140,141,480,310,160,110,001,060,550,710,143,180,600,1816,14 ING0,650,542,390,700,931,001,060,000,642,650,514,970,101,0412,47 Nordea0,170,280,720,040,810,240,550,640,002,110,302,910,300,8910,58 Pekao1,341,292,591,620,750,980,712,652,110,001,222,742,070,3819,00 Poczty- lion0,040,001,370,190,150,210,140,510,301,220,003,870,210,3212,74 Polsat3,293,751,872,834,332,413,184,972,912,743,870,004,392,8814,60 PZU0,270,221,850,310,600,530,600,100,302,070,214,390,000,6912,03 WARTA0,430,371,900,610,310,320,181,040,890,380,322,880,690,0016,11 WIG12,7613,0311,0511,5112,8313,4016,1412,4710,5819,0012,7414,6012,0316,110,00 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

Tabela1e WartoĂci statystyki Walda dla oszacowanych trzech parametrów modeli GRACH (1,1) w latach 2001–2008 AEGONAIGAllianzAvivaAXABanko- wyGene- raliINGNordeaPekaoPoczty- lionPolsatPZUWARTAWIG AEGON0,000,233,140,330,191,720,831,650,164,190,176,560,640,5414,32 AIG0,230,003,080,640,091,340,872,810,585,240,695,041,420,4319,25 Allianz3,143,080,002,593,382,773,855,533,251,204,133,715,243,5815,30 Aviva0,330,642,590,000,772,370,601,010,092,430,395,950,620,5510,74 AXA0,190,093,380,770,001,180,792,470,545,080,465,681,060,3916,50 Banko- wy1,721,342,772,371,180,001,382,842,075,151,764,392,001,3317,08 Generali0,830,873,850,600,791,380,000,990,543,400,585,530,610,1111,56 ING1,652,815,531,012,472,840,990,000,943,820,8910,740,381,7012,03 Nordea0,160,583,250,090,542,070,540,940,003,250,107,060,300,4612,45 Pekao4,195,241,202,435,085,153,403,823,250,004,054,974,564,625,48 Poczty- lion0,170,694,130,390,461,760,580,890,104,050,008,110,150,4811,87 Polsat6,565,043,715,955,684,395,5310,747,064,978,110,009,525,2527,32 PZU0,641,425,240,621,062,000,610,380,304,560,159,520,000,7612,56 WARTA0,540,433,580,550,391,330,111,700,464,620,485,250,760,0016,84 WIG14,3219,2515,3010,7416,5017,0811,5612,0312,455,4811,8727,3212,5616,840,00 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

Tabela2a Macierz odlegïoĂci pomiÚdzy parami procesów dla oszacowanych trzech parametrów w latach 2001–2005 AEGONAIGAllianzAvivaAXABan- kowyGene- raliINGNor- deaPekaoPocz- tylionPol- satPZUWARTAWIG AEGON0,0000,0210,0490,0160,0110,0990,0210,0080,0080,1700,0100,0970,0090,0120,035 AIG0,0210,0000,0310,0200,0110,1160,0210,0260,0180,1510,0290,0770,0290,0140,055 Allianz0,0490,0310,0000,0380,0400,1440,0330,0490,0420,1240,0530,0550,0580,0370,080 Aviva0,0160,0200,0380,0000,0160,1120,0060,0120,0080,1600,0160,0900,0240,0070,043 AXA0,0110,0110,0400,0160,0000,1070,0200,0170,0110,1610,0200,0870,0190,0090,045 Banko- wy0,0990,1160,1440,1120,1070,0000,1170,1010,1060,2570,0970,1840,0910,1100,074 Generali0,0210,0210,0330,0060,0200,1170,0000,0170,0130,1560,0210,0860,0300,0100,048 ING0,0080,0260,0490,0120,0170,1010,0170,0000,0070,1710,0040,0990,0140,0130,032 Nordea0,0080,0180,0420,0080,0110,1060,0130,0070,0000,1650,0110,0930,0170,0060,039 Pekao0,1700,1510,1240,1600,1610,2570,1560,1710,1650,0000,1750,0750,1790,1590,200 Poczty- lion0,0100,0290,0530,0160,0200,0970,0210,0040,0110,1750,0000,1030,0120,0170,028 Polsat0,0970,0770,0550,0900,0870,1840,0860,0990,0930,0750,1030,0000,1050,0870,129 PZU0,0090,0290,0580,0240,0190,0910,0300,0140,0170,1790,0120,1050,0000,0210,028 WARTA0,0120,0140,0370,0070,0090,1100,0100,0130,0060,1590,0170,0870,0210,0000,045 WIG0,0350,0550,0800,0430,0450,0740,0480,0320,0390,2000,0280,1290,0280,0450,000 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl

Tabela2b Macierz odlegïoĂci pomiÚdzy parami procesów dla oszacowanych trzech parametrów w latach 2002–2006 AEGONAIGAllianzAvivaAXABanko- wyGene- raliINGNor- deaPekaoPocz- tylionPolsatPZUWARTAWIG AEGON0,0000,0060,0400,0090,0100,0390,0030,0060,0060,0570,0140,0890,0130,0130,031 AIG0,0060,0000,0460,0150,0120,0330,0090,0070,0090,0630,0080,0950,0070,0180,026 Allianz0,0400,0460,0000,0310,0430,0790,0370,0420,0390,0210,0520,0520,0530,0330,069 Aviva0,0090,0150,0310,0000,0170,0480,0070,0110,0080,0470,0230,0810,0220,0130,038 AXA0,0100,0120,0430,0170,0000,0390,0100,0160,0170,0620,0120,0880,0160,0100,036 Banko- wy0,0390,0330,0790,0480,0390,0000,0420,0370,0400,0950,0280,1260,0260,0490,017 Generali0,0030,0090,0370,0070,0100,0420,0000,0080,0080,0540,0160,0850,0160,0100,034 ING0,0060,0070,0420,0110,0160,0370,0080,0000,0030,0580,0150,0920,0120,0180,027 Nordea0,0060,0090,0390,0080,0170,0400,0080,0030,0000,0550,0180,0900,0150,0180,030 Pekao0,0570,0630,0210,0470,0620,0950,0540,0580,0550,0000,0700,0470,0700,0520,083 Poczty- lion0,0140,0080,0520,0230,0120,0280,0160,0150,0180,0700,0000,1000,0070,0210,025 Polsat0,0890,0950,0520,0810,0880,1260,0850,0920,0900,0470,1000,0000,1020,0790,118 PZU0,0130,0070,0530,0220,0160,0260,0160,0120,0150,0700,0070,1020,0000,0240,019 WARTA0,0130,0180,0330,0130,0100,0490,0100,0180,0180,0520,0210,0790,0240,0000,043 WIG0,0310,0260,0690,0380,0360,0170,0340,0270,0300,0830,0250,1180,0190,0430,000 Uwaga. Pogrubione wartoĂci sÈ istotne statystycznie na poziomie 0,05. ½ródïo: obliczenia wïasne na podstawie danych z www.bossa.pl