[Całki i pochodne produktowe]

ISSN2083-9774

[MACIERZATOR48]

Miesięcznik redagowany przez Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego

Witamy w czerwcowym numerze [MACIERZATORa]!

To już ostatni numer [Macierzatora] przed wakacjami. Można w nim zna- leźć kolejną część Kącika TEXowego (tym razem opowiemy o pakiecie tikz służącym do tworzenia grafik wektorowych w formacie PGF (Portable Gra- phics Format)), artykuł o tym, czy publikacje naukowe muszą być tworzone tylko na poważne tematy oraz rozważania o trochę innych pochodnych – produktowych. Życząc wszystkim Czytelnikom udanych, pełnych wrażeń, ale i odpoczynku wakacji, zachęcamy jednocześnie studentów do zapoznania się z możliwością uczestniczenia w dwutygodniowym, sfinansowanym przez Unię Europejską matematycznym kursie intensywnym, który odbędzie się we wrześniu w Freudenstadt w ramach programu ACAMiMM, w którym uczestniczy nasza uczelnia. Warto rozważyć tę propozycję.

Dobrych wakacji życzy redakcja

[ACAMiMM 2012

Wakacyjny intensywny kurs matematyczny]

We wrześnie ubiegłego roku dziewięcioro członków Koła Naukowego Ma- tematyków UŚ brało udział w wakacyjnym intensywnym kursie matema- tycznym – Analytical and Computer Assisted Methods in Mathematicals Models. Przez dwa tygodnie nie tylko uczyli- śmy się intensywnie matematyki, ale też nawią- zaliśmy wiele nowych znajomości ze studentami i wykładowcami z kilku europejskich uczelni, zwiedzaliśmy, poznawaliśmy kulturę i obyczaje osób innych narodowości, stworzyliśmy świetną, zgraną, wielokulturową grupę. To tam właśnie poznaliśmy Profesora Wolfganga Reichela, który gościł u nas przez tydzień w maju. Projekt ACAMiMM jest trzyletni; niestety dla nas, ubiegłorocz- nych uczestników – każdy student może w nim uczestniczyć tylko raz.

W tym roku kurs intensywny odbywa się w Niemczech, w Schwarzwal- dzie, w mieście o nazwie Freudenstadt, od 9 do 23 września 2012. Jego uczestnicy zapoznają się z wiadomościami z

czterech dziedzin: rachunku wariacyjnego (z za- stosowaniami w elastyczności i optymalizacji), równań i nierówności funkcyjnych, uogólnionej wypukłości oraz kryształów fotonicznych. Wy- kładowcami są wybitni specjaliści z tych dzie-

dzin, profesorowie z kilku krajów europejskich. Kurs kończy się egzaminem, ale nie ma się co go obawiać – w ubiegłym roku wszyscy uczestnicy z na- szej uczelni zdali go z najwyższą możliwą notą. Dodatkowo studenci wy- kazują się praktycznym zastosowaniem zdobytych umiejętności przez przy- gotowanie w grupach projektu na wybrany temat. Wszystkie osoby, które otrzymają pozytywny wynik z egzaminu, otrzymują honorowany przez UŚ certyfikat, że zaliczyły przedmiot warty aż 6 punktów ECTS.

Czy warto pojechać na taki kurs? Z pewnością warto. Nie tylko ze względów matematycznych (choć nauczyć się można sporo i zdobyć w dwa tygodnie sześć punktów ECTS): to wspaniałe doświaczenie, możliwość prze- testowania swojego angielskiego w praktyce, okazja do poznania wielu fan- tastycznych osób... Długo by wymieniać. Co ważne, kurs jest dofinanso- wany przez Unię Europejską – według ostatnich informacji, studenci mają mieć pokryty koszt noclegów, dojazdów oraz przynajmniej części wyżywie- nia (najaktualniejsze informacje na temat można znaleźć na stronie Koła.

Tam też umieściliśmy ponad tysiąc zdjęć z kursu ubiegłorocznego – można

się przekonać na własne oczy, że atmosfera podczas wyjazdu była wspa- niała). W ramach atrakcji pozamatematycznych przewidziane są wieczory z prezentacją kultury, kuchni i muzyki czy weekend w Strasbourgu połą- czony z wycieczką do Parlamentu Europejskiego.

Gorąco zachęcam do uczestnictwa studentów, także młodszych lat – w kursie brali udział też studenci pierwszego roku (i świetnie sobie ra- dzili). Więcej informacji o kursie można znaleźć na stronie Koła Naukowego Matematyków (www.knm.katowice.pl). Wszelkie pytania można przesyłać na mój adres mailowy (j.zwierzynska@knm.katowice.pl); na ten sam adres można od razu przesyłać zgłoszenia. Termin wysyłania zgłoszeń to 8 lipca 2012. Wyniki rekrutacji zostaną ogłoszone niewiele później. Warto!

Kandydaci powinni wysłać na wskazany adres e-mailowy następujące dane:

– imię i nazwisko

– numer i serię dokumentu tożsamości (paszportu/dowodu osobistego);

– datę urodzenia;

– obywatelstwo;

– kierunek i rok studiów;

– średnią ocen*;

– poziom znajomości języka angielskiego**.

* Jako że mamy czerwiec, pojawia się naturalne pytanie - jaką średnią ocen? Przyjmu- jemy więc, że chodzi o średnią ze wszystkich zaliczonych lat studiów tego stopnia, który realizowało się w tym roku akademickim.

** Powinien on być weryfikowany przez jakiś certyfikat językowy, ale nie wszyscy go mają. Należy więc przesłać informację o posiadanych cetryfikatach dotyczących języka angielskiego i drugą: szacowany przez uczestnika poziom płynności jego języka w chwili obecnej (w skali A2, B1, B2, C1, C2). Uwaga! Sztuczne zawyżenie jego poziomu zdecy- dowanie nie jest opłacalne!

Joanna Zwierzyńska

[Całki i pochodne produktowe]

Zapewnie wielu studentów bardzo by chciało, by niezbyt prosty wzór na iloczyn pochodnych można było zastąpić poniższą równością:

(f · g)^{0 (!)}= f⁰· g⁰

O ileż prostsze stałoby się rachowanie! Możemy pokusić się o zdefinio- wanie takiej pochodnej, dla której spełniona jest powyższa równość. Roz- ważmy pochodną produktową, która niesie ze sobą nieco inne informacje niż tradycyjna różniczka:

f^∗(x) = lim

h→0

 f (x + h) f (x)

¹_h

Czasami będziemy używać synonimu: pochodna geometryczna. Definicja wydaje się dosyć naturalna – działanie różnicy przeszło na iloraz a dzielenie na pierwiastek odpowiedniego stopnia. Warto sobie zadać pytanie: jaki jest sens tak zdefiniowanej pochodnej? Poprowadźmy rozumowanie per ana- logiam: pochodna klasyczna określa tempo przyrostu addytywnie, innymi słowy jak wielki jest przyrost funkcji. Natomiast nasza pochodna multi- plikatywna określa nie różnicę, a iloraz. Jeżeli mamy funkcję f , która dla x = 2 przyjmuje wartość y = 10, a dla x = 4 y = 40, to nietrudno wyka- zać, iż iloraz różnicowy będzie równy ⁴⁰⁻¹⁰₄₋₂ = 15. Natomiast nasze nowe wyrażenie mówi nam o tym, że dana funkcja ma tempo geometrycznego przyrostu równe

q40

10 = 2, czyli średnio co jedną jednostkę wartość funkcji się podwaja. W dalszej części będziemy żądać ciągłości funkcji, by uniknąć

„patologicznych” przykładów, jak np. funkcji zadanej poniższym wzorem:

f (x) =

 2 x = 0 1 x 6= 0

dla której powyższa granica istnieje dla wszystkich x i w punkcie niecią- głości jest równa 0, w przeciwnym razie 1. Gdy już to zrobimy, możemy pokazać szczegółowo, kiedy pochodna produktowa w danym punkcie x ist- nieje i ile wynosi w stosunku do klasycznej pochodnej:

Twierdzenie 1. Jeżeli f (x) 6= 0, to f^∗(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje f⁰(x). Zachodzi wtedy (dla klarowności zapisu e^x= exp x):

f^∗(x) = exp (ln |f (x)|)⁰

Dowód. Przypuśćmy, iż funkcja f^∗istnieje i jest niezerowa. Zachodzi nawet silniejszy fakt: jeżeli funkcja f^∗ istnieje, to jest dodatnia (wprost z defini- cji). Wtedy, na podstawie różniczkowalności funkcji logarytmicznej, można przeprowadzić poniższe równoważne kroki:

ln f^∗(x) = ln lim

h→0

 f (x + h) f (x)

¹_h!

= lim

h→0ln |f (x + h)|

|f (x)|

_h¹

= lim

h→0

 ln |f (x + h)| − ln |f (x)|

h

¹_h

= (ln |f (x)|)⁰

Wtedy, oczywiście f^∗(x) = exp (ln |f (x)|)⁰
. Dowód w drugą stronę jest trywialny.

Jeżeli dalsze pochodne istnieją, to wyrażają się one analogicznie prze- prowadzoną zależnością:

f^[n]= exp (ln |f (x)|)⁽ⁿ⁾
,

gdzie f^[n]to pochodna produktowa stopnia n, natomiast f⁽ⁿ⁾jest klasyczną pochodną tego samego stopnia. Głównym „problemem” pochodnej produk- towej są osobliwości w miejsach zerowych funkcji do niej pierwotnej – tam pochodne geometryczne są nieokreślone.

O ile pochodna addytywna „traciła” informację o wyrazie wolnym funk- cji, tak pochodna multiplikatywna „gubi” współczynniki postaci cf (x). Mo- żemy wywnioskować nawet silniejszą prawidłowość. Jeżeli pochodna w punk- cie x istnieje, to zachodzi:

∀c6=0|cf (x)|^∗= f^∗(x)

Pozostawiam ten fragment do samodzielnego zweryfikowania. Również warto się zastanowić, czy rzeczywiście tak zdefiniowa pochodna jest opera- torem multiplikatywnym.

Funkcja stała, jak łatwo przypuszczać, ma pochodną równą elementowi neutralnemu mnożenia – 1 (dotyczy do także funkcji stale równej 0). Jest jeszcze funkcja, która jest stała w procesie różniczkowania geometrycznego.

Czyżby e^x? Otóż nie, stałą operacji różniczkowania produktowego jest...

e^ex. Możemy sobie to wyliczyć chociażby z definicji. Swoją drogą, każda funkcja wykładnicza, zgodnie z definicją, powinna mieć stałą pochodną geo- metryczną równą swojej podstawie wykładniczej:

Twierdzenie 2. Dla każdego a > 0 funkcja f (x) = a^x ma swoją pochodną produktową równą f^∗(x) = a.

Dowód. Funkcje wykładnicze dodatnie są nieujemne, więc z twierdzenia 1 mamy iż:

f^∗(x) = e^{(ln f (x))0} = e^{(ln ax)0} = e^{(x ln a)0} = e^{ln a}= a Co było do pokazania. W szczególności (e^x)^∗= e.

Ćwiczenie 1. Wyznaczyć pochodne produktowe funkcji f (x) = xⁿ, g(x) = cos x, h(x) = x^x

By lepiej sobie zobrazować „działanie” pochodnej geometrycznej, roz- ważmy pewien przykład. Przyjrzyjmy się bliżej funkcji f (x) = sin x.

x y

Zauważmy, że pochodna produktowa funkcji, f^∗(x) = e^{ctg x}, ma okres dwukrotnie krótszy niż funkcja wyjściowa. Nie możemy bez dodatkowej wie- dzy rozstrzygać, kiedy funkcja rośnie; wiemy natomiast, jak rośnie i kiedy przechodzi przez miejsca zerowe (wiemy? :)). Przypuszczamy, że funkcja będzie mieć ekstremum, gdy wartość pochodnej będzie równa 1 i będzie tam ściśle monotoniczna. Zwróćmy także, uwagę, iż pochodna produktowa jest dodatnia na całej swojej dziedzinie.

Przejdźmy do kolejnej części – w końcu rachunek różniczkowy to nie tylko pochodne. Przez kolejną analogię możemy dostać iloczynowy odpo- wiednik szeregu Taylora:

Twierdzenie 3. Niech f będzie funkcją geometrycznie różniczkowalną n + 1-krotnie w przedziale otwartym I, w którym istnieje taki punkt c ∈ I, że f^[i](c) 6= 0 dla wszystkich i ∈ {0, 1, . . . , n}, wtedy dla każdego takiego x ∈ I, że x > c, zachodzi:

f (x) = f (c)f^∗(c)^(x−c)f^∗∗(c)^(x−c)22! · · · f^[n](c)^(x−c)nn! Rn(x) gdzie R_n(x) = f^[n+1](ξ)^(x−c)n+1(n + 1)! dla pewnego c < ξ < x.

Ten, jak i następne dowody zostaną pominięte; przeprowadza się według tej samej reguły, jaką można znaleźć w podręcznikach przy wykazywaniu prawdziwości powyższego twierdzenia dla klasycznego rachunku różniczko- wego. O rozwinięciu pełnym w produkt możemy powiedzieć nieco więcej:

Twierdzenie 4. Jeżeli f : I → R jest ciągła na przedziale otwartym I, a f^[n](x) istnieje dla każdego n ∈ N, oraz limn→∞R_n(x) = 1, wtedy dla każdego x ∈ I, x > c zachodzi:

f (x) =

∞

Y

k=0

f^[k](c)^(x−c)kk!

Powyższy produkt Taylora ściśle wiąże się z szeregiem Taylora. Niech f będzie funkcją analityczną określoną na pewnym przedziale otwartym oraz niech fn⁰ będzie n-tym wyrazem rozwinięcia w szereg funkcji ln f , a fn^∗

n-tym czynnikiem rozwinięcia w produkt¹. Wtedy zachodzi:

∞

Y

n=0

exp (fn^∗) = exp

∞

X

n=0

fn⁰

!

Ten fakt zachodzi także dla funkcji, które są ujemne na pewnych swoich przedziałach, jednak wtedy niezbędne jest skorzystanie z uogólnienia loga- rytmu naturalnego, by móc wnieść, iż ln(−1) = iπ, gdzie i jest jednostką urojoną². Reszta jest już tylko prostą konsekwencją wcześniej podanych twierdzeń i samej definicji pochodnej produktowej. Rozwińmy przykładowo w produkt funkcję f (x) = x na podstawie powyższej zależności w punkcie c = 1:

exp (ln n) = exp

∞

X

k=1

(−1)^k+1(x − 1)^k k

!

=

∞

Y

k=1

exp (−1)^k+1(x − 1)^k k



Możemy obliczać także całki produktowe:

b

Ra

f (x)^dx= lim

h→0

Yf (xi)^h= exp





b

Z

a

ln f (x)dx





Tutaj niezbędne jest słowo komentarza. Symbol R oznacza tutaj multi- plikatywny operator całki produktowej (nieoznaczonej, jeżeli nie występują odpowiednie granice całkowania), natomiast xijest punktem podziału nor- malnego odcinka [a, b], analogicznie jak w przypadku sum Riemanna. Za- chodzi także:

f (x) =

Rf (x)^dx∗

przy czym w odwrotnej kolejności uzyskuje się:

f (x) Rf^∗(x)^dx

= c, c ∈ (0, +∞)

1Dla wygody przyjmijmy, iż f₀0 = f0^∗= f .

2Wtedy e^iπ= −1. Formalnie lnk(−1) = iπ(2k + 1) dla pewnego k całkowitego; dla k = 0 otrzymujemy gałąź główną logarytmu naturalnego.

Czemuż by nie odtworzyć twierdzenia Newtona-Leibniza dla rachunku iloczynowego? Jak nietrudno zgadnąć, twierdzenie jest poniższej postaci:

Twierdzenie 5. Jeżeli f : [a, b] → R jest ciągła na przedziale [a, b], a F jest funkcją geometrycznie pierwotną funkcji f , wtedy zachodzi:

b

Ra

f (x)^dx= F (b) F (a)

Ćwiczenie 2. Wyznaczyć produktowe całki nieoznaczone:P e^dxx,P x^ndx, P^{e0 x1
dx}

.

O kolejnych analogiach (reguła de l’Hospitala, całkowanie przez części, reguła łańcuchowa, równania różniczkowe etc.) można byłoby mówić wiele.

Resztę pozostawiam do rozważenia Czytelnikowi. A nuż ktoś zainspirowany przedstawi pochodne harmoniczne w którymś z kolejnych numerów? A może pójdzie w inną stronę i zdefiniuje np. metrykę produktową na bazie modułu produktowego³? :)

[Literatura]

[1] John D. Dollard, Charles N. Friedman Product Integration, with Appli- cations to Differential Equations. Addison-Wesley, 1979.

2.P e

dx

=x x

,P

nd x

=e x

x −nx

,P xn e 0 1 x

=1 dx

.

∗ 1.f

(x )=

n/x e

∗ ,g

(x )=

−tg e

,h x

(x ∗

)=

ex,

Odpo wiedzido zadań:

Mateusz Szymański

[Informatycy na karaoke]

Wakacje idą! Jakkolwiek dla studentów mieszkających w akademikach oznacza to początek racjonalnej diety i spokojniejszego życia po powro- cie do rodziców, dla większości społeczności studenckiej wakacje to dopiero początek najbardziej szalonych zabaw, których wyniku nierzadko nie bę- dziemy chcieli sobie przypominać⁴. Jak jednak przemycić kawałek naszych

3Rozważmy dla x > 0 funkcję zdefiniowaną następująco:

∗

|a| =

 x x > 1

1

x x < 1 . Narzucającym się uogólnieniem dla liczb ujemnych oraz zespolonych jest oczywiście

∗

|a| = e^{|ln x|}.

4I, na szczęście, w większości przypadków nie będziemy w stanie.

ukochanych nauk ścisłych do zabaw? Czy na temat zabaw i imprez wszela- kich dałoby się napisać artykuł? Publikację naukową?

Zastanówmy się na początek, co mogłoby być jej tematem. Jako że znakomita większość naszych Czytelników to matematycy lub informatycy, pozostańmy, dla ustalenia uwagi, w tych dwóch dziedzinach nauk. Niero- zerwalnie wiążą się one z liczbami, obliczeniami. Co można liczyć na zaba- wach? Wiele rzeczy, zdecydowanie, ale z samych obliczeń publikacja nie po- wstanie. Potrzebne są jeszcze związki, korelacje, które niekoniecznie każdy zauważy, których ekspozycja w świetle dziennym powiększyłaby wiedzę ro- dzaju ludzkiego o jakiś istotny szczegół.

I siedzi nasz hipotetyczny informatyk przy komputerze, puszczając ko- lejne pliki mp3 i myśląc, jakie związki mógłby tu wskazać. I nagle – eureka!

W dobie kompresji i chęci zapisywania wszystkiego w komputerze pojawia się naturalne pytanie: ile miejsca potrzeba, by zapisać piosenkę? No, dla uproszczenia, tekst piosenki, nie martwmy się muzyką. Wraz ze wzrasta- jącą długością piosenki, jak wiele danych musimy przekazać komputerowi, by był on w stanie podać nam cały tekst?

Wprowadźmy tutaj trochę oznaczeń, potrzebnych nam dla płynniejszej komunikacji w dalszej części artykułu. Powiemy, że funkcja rzeczywista f należy do O(g(n)), gdzie g również jest funkcją rzeczywistą, jeżeli istnieje taka stała A, że dla dostatecznie dużych n f (n) 6 Ag(n). Innymi słowy, w nieskończoności funkcja f rośnie nie szybciej niż g. Oznaczenie to po- znaje każdy student matematyki na zajęciach z informatyki; mianowicie:

powiemy, że program ma złożoność (czasową) O(n), jeżeli zależność mię- dzy ilością wprowadzonych danych a czasem potrzebnym na wykonanie programu jest liniowa; O(n²) jeżeli jest kwadratowa, i tak dalej. Wiemy, że duże potęgi n nie są własnością pożądaną w takiej złożoności, bowiem oznacza to że, w przypadku n², dziesięciokrotne zwiększenie ilości danych oznacza stukrotny wzrost czasu potrzebnego do uzyskania wyniku – a tak ogromny skok w zastosowaniach, na przykład, biznesowych jest w naturalny sposób trudny do przełknięcia. Poza złożonością czasową możemy też mówić o złożoności pamięciowej, kiedy to zamiast czasu potrzebnego na uzyska- nie wyniku interesuje nas ilość pamięci potrzebna naszemu hipotetycznemu programowi. I znowu, złożoność O(n²) oznaczałaby tu, dla przykładu, że dziesięć razy więcej danych oznacza sto razy więcej potrzebnej pamięci.

Drugim oznaczeniem będzie tzw. działanie konkatenacji: jeżeli R i S oznaczają pewne ciągi znaków, to RS oznacza ciąg znaków uzyskany przez połączenie ciągów R i S. Dla przykładu, jeżeli R = Koń i S = Rafał, to RS = KońRafał. Poprzez ε oznaczać będziemy pusty ciąg znaków. W szcze- gólności Rε = R dla każdego ciągu znaków R.

Na tym etapie możemy postawić sobie pytanie, które stanie się bazą dla naszej mini publikacyjki: jeżeli n jest długością piosenki, to czy da się stworzyć program drukujący jej tekst o złożoności pamięciowej mniejszej niż O(n)? (stworzenie programu o złożoności O(n) jest, oczywiście, try- wialne).

Problem ten, wbrew pozorom, ma całkiem długą historię – w końcu jakąż inną motywację mogli mieć nasi przodkowie, wymyślając instytucję refrenu? Istotnie, refren pozwala nam poznać cały tekst piosenki, jako dane wejściowe posiadając tylko pewną jego część; formalniej rzecz biorąc, za- chodzi następujący lemat:

Lemat 1. Jeżeli S jest taką piosenką o m zwrotkach długości Z i refrenie o długości R, że refren jest śpiewany na początku i końcu piosenki oraz pomiędzy każdymi dwiema zwrotkami, to złożoność pamięciowa piosenki S wynosi _Z+R^Z n+O(1) dla ustalonych Z i R i zmiennego m. Symbol n oznacza tu całkowitą długość piosenki.

Dowód. Całkowita długość piosenki wynosi n = R + (Z + R)m. Oczywiście w danych wejściowych refren musi pojawić się tylko raz, stąd złożoność pamięciowa piosenki dana jest wzorem c = R + Zm. Stąd łatwo widać, że

c = R + Zm = n − Rm 6 Z

Z + Rn + A dla A = _{V +R}^R2 .

Oczywiście w przyjętej notacji dużego O nasza złożoność pamięciowa ciągle wynosi O(n); czy da się ją zmniejszyć w sposób istotny, na przykład do O(√

n)? Istotnie – zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1. Istnieje piosenka o złożoności O(√ n).

Dowód. Rozważmy następujący schemat:

V₀= „Kaczor Donald farmę miał”R₁ R₁= „I-ja i-ja ooo!”

R₂(x) = V₀„Na niej x hodował”R₁„i”

U1(x) = „x-x tu i „x-x tam, i tu x i tam x wszędzie x-xR1” Vk= U1(Wk)Vk−1.

Tutaj W1 = ko, W2 = gę, W3 = mu, W4 = hau (konstrukcję tę da się uogólnić dla większych k). Piosenkę rzędu m definiujemy jako

S0= ε

Sm= R2(W_m⁰ )VmSm−1.

Tutaj W₁⁰ = kury, W₂⁰ = gęsi, W₃⁰ = krowy, W₄⁰ = psy (i znowu, konstruk- cję da się prowadzić dla większych k). Żmudne przeliczenia, do których zachęcamy zainteresowanych Czytelników, doprowadziłyby nas do wnio- sku, że długość naszej piosenki rośnie kwadratowo w stosunku do ilości danych wejściowych. Przykład ten został podany przez szkockiego farmera O. MacDonalda, oryginalnie w języku angielskim. Niektórzy badacze sądzą jednak, że piosenki podobnego typu o złożoności O(√

n) pojawiały się już wcześniej.

Ten przykład daje nam nadzieję na dalsze ulepszanie naszej złożono- ści pamięciowej. Klasyczna angielska piosenka „Twelve Days of Christmas”

jest przykładem piosenki o złożoności O(q _n

log n). Konstrukcję z niej da się uogólnić w piękny sposób, co po raz pierwszy uczynił J.W. Blatz z Milwau- kee, Wisconsin, odkrywając klasę piosenek znaną jako „m bottles of beer on the wall”. Dzięki temu prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2. Istnieje piosenka o złożoności O(log n).

Dowód. Definiujemy

Vk = TkBW TkB If one of those bottles should happen to fall, Tk−1BW, gdzie B = bottles of beer, W = on the wall oraz Tk jest po prostu ciągiem znaków oznaczającym liczbę k w języku angielskim, np. T23= twenty three.

Zdefiniowanie T_k dla wszystkich k < 10^m wymaga jedynie O(m) pamięci, bowiem

T_q·10m+r= T_q times 10 to the T_m plus T_r

dla 1 6 q 6 9, 0 6 r 6 10^m−1. Wówczas piosenka rzędu k, zdefiniowana przez S0= ε, S_k = V_kS_k−1 ma wymaganą złożoność O(log n).

Wydaje się, że jest to twierdzenie koronujące naszą teorię złożoności pamięciowej piosenek. Prawda jest taka, że jedynym możliwym dalszym (znaczącym) ulepszeniem byłoby podanie przykładu piosenki o stałej zło- żoności pamięciowej; wydaje się, że jest to w oczywisty sposób niemożliwe.

A jednak, przykład Casey and the Sunshine Band udowadnia prawdziwość następującego twierdzenia:

Twierdzenie 3. Istnieje piosenka o złożoności O(1).

Dowód. Niech Vk = That’s the way U I like it U, U = uh huh uh huh dla wszystkich k oraz S0 = ε, Sk = VkSk−1. Wówczas Sk jest wymaganym przykładem.

Malejące możliwości pamięciowe dzisiejszych imprezowiczów dają na- dzieję na dalszy rozwój tej pięknej teorii, mimo faktu, że obecnie wydaje się że powyższe twierdzenie jest jej ostatecznym ukoronowaniem. Odpo- wiedzmy sobie jednak na pytanie, które zapewne pali wszystkich naszych Czytelników od początku niniejszego artykułu: Czy ja mówię poważnie?

Czy to naprawdę mógłby być materiał na publikację? Co najwyżej na sa- tyryczną, czyż nie?

Powyższe rozumowanie pojawiło się w artykule The Complexity of Songs, opublikowanym w Communications of the ACM w kwietniu 1984 roku.

Artykuł został napisany przez Donalda E. Knutha, informatyka znanego głównie ze swego wielkiego dzieła Sztuka programowania oraz ze stworze- nia systemu składu drukarskiego, w którym piszemy niniejszą gazetkę. Data ukazania się artykułu – kwiecień – oczywiście sugeruje odpowiedź na pyta- nie, na ile poważnie powinniśmy traktować podobne rozważania, pomimo ich pełnej matematycznej poprawności i precyzji (w oryginalnym artykule zamieszczone są wszelkie przeliczenia, które tu pozwoliłem sobie pominąć).

Czy zatem publikacje powstają jedynie na poważne tematy? Czy bada- cze nie mogą się nimi trochę zabawić? Cóż, przy powstających publikacjach o najlepszej drużynie baseballu na świecie (ach, te metody statystyczne), o prominentnej roli pingwinich diagramów w fizyce kwantowej czy algo- rytmie Coxa-Zuckera, powiedziałbym, że odpowiedź brzmi – oczywiście, że badacze potrafią się bawić. I miejmy nadzieję, że gdy my już nimi zosta- niemy, również tę własność zachowamy.

Miłych wakacji!

Niewinny Rosomak

[Stopka redakcyjna]

Redaktor naczelna: Joanna Zwierzyńska Autorzy artykułów: Mateusz Jurczyński, Beata Łojan,

Mateusz Szymański, Joanna Zwierzyńska Skład i łamanie w L^ATEX: Beata Łojan

Kontakt z redakcją bezpośrednio w pokoju KNM (p.524) lub elektronicznie:

macierzator@knm.katowice.pl.

Wszystkie archiwalne numery [Macierzatora] dostępne są również w wydaniu elek- tronicznym na stronie internetowej KNM UŚ: www.knm.katowice.pl.

Wydanie elektroniczne [Macierzatora] posiada numer ISSN: 2083-9774.

czerwiec 2012