Seria: ENERGETYKA z. 63
Stefan POSTRZEDNIK
ANALITYCZNE CAŁKOWANIE RÓWNAĆ RÓŻNICZKOWYCH PARAMETRÓW GAZU DOSKONAŁEGO PRZEPŁYWAJĄCEGO W POZIOMYM RUROCIĄGU ADIATERMICZNYM
Streszczenie. Podany w praoy [2] układ równań różniczkowych roz
wiązano metodą analityczną dla przypadku poziomego rurociągu adia- termieznego. Ustalono warunki oraz ograniczenia jakim podlegają funk
cje wynikowe.
Ważniejsze oznaczenia
A - stałe parametry i liczby charakterystyczne,
°p - ciepło właściwe czynnika przy stałym ciśnieniu D - średnica wewnętrzna rurooiągu,
q - ciepło jednostkowe dopływające z zewnątrz, L - całkowita długośó rurociągu,
m - strumień substancji, p - ciśnienie statyczne, T - temperatura bezwzględna,
w - średnia prędkośó przepływu czynnika, V - objętośó właściwa,
X - współrzędna wzdłuż drogi przepływu czynnika, Y - funkcja pomocnicza,
<¥ - zredukowana prędkość, 12 - zredukowane ciśnienie,
< - zredukowana temperatura, - liczba tarcia,
* - stosunek ciepeł właściwych, l - zredukowana współrzędna.
Indeksy dotyczą:
o - parametrów przy wlocie do rurociągu, max - wartości maksymalnych,
min - wartości minimalnych.
104 S. Postrzednlk
1. Ogólna postać układu równań różniczkowyoh
Podany w praoy [2] podstawowy układ równań różniczkowych(równania (30) i (29)), opisujący parametry ozynnika w poziomym rurociągu diatermioznym, można zanotowaó w dogodniejszej formie
d“® " „ ~ **1 ~ 1] + A 1 y
(1 - a4(1)
d* V + A 4**1
Ę m
---(2)gdzie«
<*>«-§oę2ł i f - | - f $ - §
*0 Po
2
A 1 “ X f ¿*1 “ A 4 “ ^ A 5 ' Ó ^ L 0
są zredukowanymi zmiennymi i parametrami analizowanego układu.
Jeżeli dalsze rozważania ograniczyć do przypadku rurociągu adiatermioz- nego wtedy należy przyjąć <u = 0, oo uwzględnione w równaniach (1) 1 (2) daje układ
— i i f « »
--- ’' T T (1 - A4) - (^)
d £ _______ A l'i>
"&£ ” ~
A, (4)
11 - V - - 4 $
Wtedy również, zgodnie z I zasadą termodynamiki, zachodzi relacja
diT dff
I I “ - •
** * .
Układ równań różniozkowyoh (3) i (4) należy rozwiązać przy uwzględnie
niu następujących warunków brzegowych - 0) - 1
?(£ - 0) « 1 ( (5)
cę (£ - 0) o 1 lub (p (£ » 0) ■
Takie warunki uzyskuje się, gdy parametrami odniesienia są parametry przy wlocie do rurociągu. Jako wielkościami odniesienia można posłużyć się również parametrami spoczynkowymi.
2. Rozwiązanie zagadnienia dla rurociągu adiatermicznego
Utworzona zostanie nowa funkcja
*(5) - f i f j 16)
której pochodna
di 1 d < i
to
i r “ 5 3? “ * s Ę <7>
Po wstawieniu równań (3) i (4) do (7) uzyskuje się dY 1 A i‘P ‘'5" A 1(P
'fF “ <3 a
o. +”5 a
»(1 - a4) - -§ (^) * (1 - a4) - (-)
i ostateoznie
dY , 1 + Y
• ą - Ai ---3T—
18 )
d - V - 4 Y
Ostatnie równanie jest równaniem zwyczajnym pierwszego stopnia, winno być seałkowane przy warunku brzegowym
YCJ - 0) = ^ (9)
5 w^/2
Obliczająo całkę z równania (8) A,
■ (2
_
dY - ld£ + 0 (10)
f [ i - ^4 (2 + Y)J r
j L . T Z^ '^ - d i - J d
uzyskuje się przy założeniu A^ = idem
j - ln (1
+Y) A,
ln (1+Y)
+Y - ln (1+Y)J » |
+ CQ(
11)
106 S. Postrzednik
zaś po uporządkowaniu
l n C 1 + Y) | + C0 (12)
Wykorzystanie warunku brzegowego (9) daje
2 - k A 9 A A
Co “ T T “ ln C1 + T f - a Ą t13)
Równania (12) i (13) określają jednoznacznie wartości funkcji Y(£) w dowolnych miejscach układu.
Ponieważ ostatecznie chodzi o znalezienie wartości funkcji '#'(§) oraz ip(£), (względnie oę (¿)), dlatego, aby to uzyskać, należy uwzględnić dodat
kowo równanie bilansu energii czynnika płynącego w rurociągu, w obszarze od początku rurociągu (§ = 0) do danego miejsca £ , wtedy
% < * ( £ ) ] 2 +tf(£) - \ + 1 (14)
lub po wprowadzeniu (|)
A'
<p($) + - "| + 1 t15)
uiaa £
- T f e [ l + 1 ] " 1 i l 6 )
Równania (12), (13), (14), (15), (16) pozwalają określić wszystkie funkcje w danym miejscu rurociągu.
3. Wykorzystanie uzyskanego rozwiązania
Wyznaczając z równania (12) wartość funkcji Y(2) w danym miejscu ruro
ciągu, można pozostałe funkcje określać z poniższych formuł (po wykorzy
staniu równania (13) z [2])
*>«> “ 7ifTi r r [ ^ + 1J (17>
<*(&) » + 1 ) y ą y \ - j
(18)a r (J>) “ ś t t + 1 ) ~i'
? & • ^ \
(.19)
(f r + 15 r e f y “ <20>
Przestępne równanie (12) jest typu
gdzie
ln (1 + Y) « D 1 Y + D2 (21)
Dl - |= J ( 22 )
2A.
d2 - r t ;
+ co>i23>
i rozwiązać je można metodą kolejnych przybliżeń.
4. Ograniczenia funkc.ii Y(ip
Funkcja Y(£) jest funkcją malejącą. Podlega ona jednocześnie ograni
czeniu
Y . < Y(fc) < Y ^ (24)
min *>' max ‘
Jej wartość maksymalna jest określona przez (9)
*aax “ ^ " ^ 7 7 (25)
zaś swoje minimum osiągnąć może ona w punkoie ekstremalnym linii Fanno.
Ponieważ tam
<*max = i 7 ;* m in (26>
a ponadto z (19) i (18) uzyskuje się zależności
^ n - < ^ + 1 > 7 ^ f 7 - T
m m(27>
max = (•jr + 1 ) y 1+ 1 (28)
5 min
108 5» PostrzeAnik
więc po wstawieniu (27) i (28) do (,26)
v
X . =*£.
f111 * _ '
( 2 9 )i ostatecznie
(30)
Rys. 1. Rozwiązanie równania przepływu
Wartości ekstremalne przybierać może funkcja ¥(£) tylko w punktach ekstremalnych współrzędnej8 . Ra r y s . 1 przedstawiona jest zależność Y(X) c T - (równanie (21)), z uwzględnieniem ograniczenia (29). Warunek ■£■ ■ ° > s—t
w “/2
O
wynikający z nierówności (30) jest wartmkiem koniecznym lecz niewystarcza
jącym.
5 . R ó w n a n i e w a r u n k u j ą c e m a k s y m a l n a p r z e p u s t o w o ś ć r u r o c i ą g u a d l a t e r m i e z n e g o
U w z g l ę d n i a j ą o r ó w n a n i e ( 2 9 ) o r a z w a r u n e k » 1 w r ó w n a n i a ( 1 2 ) u z y s k u j e s i ę p o p r z e k s z t a ł c e n i a c h
(2 - A4) In
+ At TT ~ 2A1 “ 2 /* = 0
w - i ) d + f - ) 5
(31)
(5 ile spełnione Jest równanie (31), wówczas można stwierdzić, że prze
pustowość rurociągu osiągnęła swoje maksimum.
3 równania (31) określić można zależność d? c T J(A., X) = -fi-—
V 2
(32;
która pokazana Jest na rys. 2.
Rys. 2. Funkcja graniuzna przepływu
O g ó l n i e biorąc, funkcja GiA^ , at) określa minimalną w a r t o ś ć s t o s u n k u
c To/(w2/2), J a k a J e s t dopuszczalna w rurociągu a d i a t e r m i c z n y m o d a n e j l i c z b i e A^ 1 s t o s u n k u X.
O s t a t e o z n l e w i ę c
(33)
110 5. Postrzednik
Z a m ia s t w i ę c m ó w ić o m a k s y m a ln e j p r z e p u s t o w o ś c i r u r o c i ą g u , n a l e ż y r a - c T
c z e j o k r e ś l a ć m in im a ln ą w a r t o ś ć s t o s u n k u ■% ■■■° c z y n n i k a n a w l o c i e do k a -
. w /2
n a ł u . o
Skóro
w p
m • A ^ 34)
g d z i e
a z (33) wynika, że
1 2 c T
•ć' \ p o
y
więc po wstawieniu (35) do (34) uzyskuje się
Równanie (36) można zapisać na wzór jak dla dyszy
gdzie«
(35)
S2 f r p m * ; t y '* Pof u - - » R2*0 a u , , * ) _ t36)
”m a x - A*R m «*V ^ <37>
*R ma* “ | W-W t38)
Liczba *yjR max zależy nie tylko od 3£ , lecz także od kryterium A^fc^ jj. Jako wielkościami wyjściowymi do obliczeń można posłużyć się również parametrami spoczynkowymi czynnika.
LITERATURA
[ij Ochęduszko St.t Termodynamika stosowana, WNT, 1970.
[2j Postrzednik S.« Analiza parametrów gazu doskonałego przepływającego w rurociągu diatermioznym, Zesz. Nauk. Pol. SI. (w druku).
[3] Szargut J.j Teoria prooesów cieplnych, PWN, 1973.
AHAJ IK T HHECKO H HHÏJSrPOBAHHE .VPABHEHHi-i O ü P E U iX n ilïïiiX HAPAMETPU im E A JIB H O rO t a s a
T -K ym E rO B rOPHSOHTAJIBHOM AJIMTEPMHHECKOM TPYBOnPOBO^E
? e 3 m M e
I I p e n c i a B J i e H O a H S u i m n « i e o K o e p e m e m i e c a d e u m y p a 3 H e H n f i o n p e ^ e n a i o i n H X n a p a - m g tp b i n , a , e a J i b H o r o r a 3 a T e i c y m e r o b r o p n a o H T a j i h h O M a ^ H a S a T i m e c K O M T p y G o n p o B o r e O n p e f l e a e H O y o j i o B n a a o r p a m m e H n a ( f y H K i i a a n o a y a e H o r o p e m e H H H .
THE ANALYTICAL. INTEGRATION OP THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE IDEAL GAS PARAMETERS, FLOWING
IN THE HORIZONTAL ADIATHERMYCAL PIPELINE
S u m m a r y
The solution of the basic differential equations system [2], determi
ning the thermal parameters of the ideal gas flowing in the horizontal a- diathermical pipeline, and obtained using the analytic methods has been given. The conditions and limits of the characteristic functions have been determined.
