Dynamische modellen voor algemene analyse van het vaargedrag

Report No. 338

r

LABORATORIUM VOOR

SCH EEPSBOUWKUNDE

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT

DYNAMISCHE MODELLEN VOOR ALGEMENE ANALYSE VAN HET VAARGEDRAG)

door G. van Leeuwen

L

J

) Lezing gehouden op het Symposium tMode1vorming voor Scheepsbesturing"

op 15 december 1970 aan deTechnische Hogesehool, afdeling Electrotechniek, onder auspicien van de afdeling der Regeltechniek en de sectie Scheeps-techniek van het Koninklijk Instituut voor Ingenieurs.

Titel: Dynamische modellen voor algemene analyse van het vaargedrag.

Spreker: G. van Lceuwen

Technische Hogeschool Deif t - Onderafdeling der Scheepsbouwkunde.

e

Summary:

Het aantal toepassingen van het wiskundig model voor een manoeuvrerend schip neemt steeds toe. De belangrijks.te worden in deze lazing genoemd.

De vorm van het wiskundig model hangt gedeeltelijk af van de specifieke toe-passing. In opzet kunnen de modellen aanzienlijk verschillen. Enerzijds kat men een krachten- en momentenevenwicht beschrijven, anderzijds een wiskundige be-schrijving trachten op te stellen van het verlbop-met-de-tijd der in.het ge-ding zijnde variabelen. Zo krijgt men een onderseheidirig in elementaire modellen

en empirische modellen. Van beide soorten worden een aantal voorbeelden gege-ven, terwiji aangegeven wordt op welke manier de kenta].len van deze wiskundigé modellen bepaald kunnen worden.

Tenslotte wordt gewezen op de wenselijkheid van een "optimale test manoeuvre" waarvan geaist wordt dat zij voldoende informatie

bevat orn

de karakteristieke manoeuvreereigenschappen tekunnen bepalen.

Toepassingen van het wiskundig model.

Een van de redenen orn naar een wiskundige beschrijving van de bewegingen van cen manocuvrerend schip te zoeken is _{dat men vil veten op welke manier het} scheepsontwerp veranderd zou moeten worden, _{orn de manoeuvreereigenschappen te} verbeteren.

Een methode die hierbij toegepast wordt is, _{orn uitgaande van de Wet van Newton} -kracht = massa x versnelling - een beschrijving te geven van de op een schip werkende krachten.

I-Iierbij wordt de soin derhydrodynamische krachten volgens _{een bepaald systeem} opgesplitst in een aantal componenten, waarvan de cofficinten door middel van modelproeven bepaald kunnen worden.

Door systematische veranderingen in de ontwerpparameters .aan te brengen, kan men zo de relatie tussen deze parameters, de hydrodynamische cofficiziten en de manoeuvreereigenschappen bepalen.

Een andere reden orn t'e zoeken naar een wiskundige beschrijving van een manoeu-vrerend schip wordt gevonden in bet feit dat er behoef te bestaat orn de

reac-ties van roergangers te onderzoeken. Hierbij gebruikt men een analoge reken machine, waarop, m.b.v. electrische schakelingen, hetwiskundig model _ingesteld kan worden. De besturing van bet aldus gesirnuleerde schip geschiedt vanaf een volledi _{ingerichte brug, van waaruit men uitzicht heef t op de over elkaar heen} geprojecteerde beelden van een voorschip en bijvoorbèeld een aan de horizon opdoemende haveningang. Draalt men aar het stuurrad dan zorgt de rekenmachine voor natuurgetrouwe onderlinge bewegingen van de geprojecteerde beelden. Met een dergelijke "stuursirnulator" kan dus inforniatie verkregen worden over de reacties van de mens bij bet besturen van - in het bijzonder - zeer grote

schepen.

Een derde gebruiksmogelijkheid van het wiskundig model ugt in de toepassing bij stuurautornaten. Eenerzijds wordt bet gebruikt bij het ontwerpen ervan maar evenzeer bij het afregelen. Door de bevegingen van het schip in een ver-sneld tempo te simuleren, kan in korte tijd de bruikbaarheid van een bepaald ontwerp onderzocht worden. Oók kan een voor een bepaald schip beatemde stuur-autornaat in de fabriek optiuiaal afgeregeld worden, mits van dat schip een góed viskundig model bekendis,

Een volgende toepassing is de "predictor" aan boord van een schip. In hoevérre deze werkelijk reeds toegepast wordt, is mij niet bekend, maar het is te ver-yachten dat dit binnen niet te lange tijd wal het geval zal zijn. Deze predic-tor kan voorspellen welke bewegingstoestand bet schip, uitgaande van de momen-tane toestand, na een bepaalde tijd of afgelegde weg za]. hebben. Deze prognose kan dan door de roerganger of de stuurautomaat gebruikt worden _{orn het schip op} een bepaalde koers te houden of een bepaalde manoeuvre optimaal uit'te voeren. In het bijzonder bij zeer grote schepn kan dit nuttig zijn, omdat het daarbij inoeilijk wordt orn de momentane bewegingstoestand _{van bet schip "gewaar te worden",} vegens de grote traagheid der bewegingen.

Tenslotte kan een (eenvoudig) wiskundig model ook dienen orn de manoeuvreereigen-schappen van verschillende schepen grofweg te karakteriseren en te vergelijken.

Hoeweler missehien nog wel meer toepassingen van het wiskundig model van bet manoeuvrerende schip'zijn, meen ik 4at de hiergenoemde vel de belangrijkste zijn.

Behalve de eerstgenoemde toepassing, dus het mornentaan beschrijven van het krachtenevenwicht i.v.m. mogelijke verbeteringen in het oñtwerp, liggen alle gebrúiksrnogelijkheden dus in het viak van de "simulatie, in ruime Zins' van de horizontale bewegingen.

Verschillende vormen van het wiskundig model.

Kenmerkend voor alle modellen is, dat zij een momentane evenwichtstoestand tussen een aantal toestandsgrootheden beschrijven.

De grootheden die de bewegingstoestand van een in viak water manoeuvrerend schip vastleggen, zijn in de volgende f iguur aangeg'even:

X.

s-.

fig. i Definities der varlabelen

Dat zijn dus: y de dwarsscheepse- en

U de langsscheepse snelheidscompo.nent van het

gewichtszwaarte-puntG

en de hoeksnelheid van het schip, terwiji de roerhoek 6 de stand van het roer aangeef t.

Een belangrijk verschijnsel bij de bewegingen van een manoeuvrerend schip is, dat de snelheidscomponent y bij manoeuvres met normale sneiheid aanzienlijk kleiner is dan de langscomponent U. Dit felt is van groot belang bij de bepaT ling van wiskundige modellen en is dan ook een van de oorzaken van het felt, dat een groot aantal modellen geen beschrijving geven van deze dwarsscheepse sneiheid, de drift- of verzetsnelheid, en hetzij uitsluitend de hoeksnelheid beschrijven of de hoeksnelheid en de voorwaartse sneiheid.

We zullen nu nagaan tot welke vorm vàn het wiskundig model de toepassing van de Wet van Newton leidt:' ... .'.

-2

dy

rn dt 2 I dt2 2

dx

o

m

dt2

Wet van Newton

(ruimtevast assonstelsel)

In = massa

I. traagheidsmoment orn de

zz

verticale as.

Na transformatie naar het lichaams-vaste assenstelsel worden deze vergelijkingen:

dv

Y x dt

Wet van Newton, na transformatie

-j

N naar lichaarns-vaste assenkruis.

dt dU

'r _{= X}

dt dt'

Hierin zijn X en Y dus de som van de op het schip werkende hydrodynamische en eventuele externe krachten in langsscheepse- en dwarsscheepse richting en N

de door die krachten opgewekte momenten.

Een deel van de hydrodynamische krachten wordt veroorzaakt door de roerhoek 6, terwiji het resterende deel beschouwd kan worden als het gevoig van de bewegings-toestand van het schip. Daardeze, bij manoeuvres in viak, onbeperkt water, be-paald wordt door de variabelen

V,

U,

en hun af.geleiden,kunnen we de

rech-terleden ook als voigt noteren

dv dU di d24u'.

N functies van (y, _{-, U,}

-r,

6 ₎

XI

Mr variabelen zullen hierbij een rol spelen, indien we in beperkt water of in golven of met variabel vermogen gaan manoeuvreren.

In het algemeen kunnen we stellen dat de vorm voornameiijk bepaaid wordt door het dod waarvoor we het wiskundig model willen gebruiken en de bij dat dod gewenste nauwkeurigheid. Zo zal cen model, dat slechts bedoeld is orn de

koersstabilitcit te beschrijven, dus manoeuvres met kleine roerhoken, lang-zame bewegingen en gering vaartverlies, een andere vorm kunnen hebben als een model dat het gehele gebied der manoeuvreerbaarheid moet bestrijken. Verder beef t ook het soort schip en de beladingstoestand invloed op de vorm van deze functies.

Tensiotte zijn er nog twee factoren, die eveneens een rol spelenbij dez.e rechterleden, waarvan we de invloed op vrij eenvoudige en in het algemeen ook op voldoende nauwkeurige wijzekunnen incalculeren, n.l. de invloed van

de schaal de sneiheid.

Het principe dat hieraan ten grondsiag ugt voigt uit de Wet van Newton, n.l. dat bij kinematisch geiijkvorinige stationaire bewegingstoestanden van twee gelijkvormige lichainen, de verhouding van de op delichainen werkende krach-ten gelijk. is aan de factor a2i2, waarin c dé schaalverhouding en i. de

snel-heidsverhouding voorstelt. Voor onder water bewegende lichamen moet dan, orn

voldoende gelijkvormigheid van de stroming te waarborgen het Reynolds getal groot genoeg zijn.

Voor de niet-stationaire bewegingen van een manoeuvrerend schip, biijkt dit principe ook toegepast, te kunnen worden binnen een beperkt gebied van Froudé-getallen.

Wat betref t de gelijkvormigheid van niet-stationaire bewegingstoestanden, blijkt men dan onderseheid te moeten maken in wat men zou kunnen noemen de "orde van (momentane) geiijkvormigheid". Indien we er van uitgaan, dat bij het krachtenevenwicht geen afgeleiden van versnellingen een rol spelen, dan geldt bet bovenstaande principe ook voor niet-stationaire bewegingen, indien die bewegingen - momentaan - een tweede orde gelijkvormigheid bezitten. Deze wordt bepaald door de volgnde variabelen: »

waar in

'y

L' Lr L2t LO

ii

2'

ext-d'y . dr

E en r E

Op grond hiervan kunnen we de rechterleden nu ook als voigt schrijven:

Y

_pU2L2,Y

_+Y

roera pU2L3. N* + N roer

x=

pU2L2X

+X

+Xm

roer

waarbij Y, N

en X dus functies zijn van de bovengenoemde tweede orde geiijkvormigheids parameters, terwiji de door het roer opgewekte krachten en momenten afzonderlijk beschouwd worden, daar dezein de eerste plaats afhankelijk zijn van de. sneiheid en de stroomrichting t.p.v. het roer.

De twee deelfuncties"van Y, N en X kunnen nu in een Taylorreeks van de be-treffende variabeien ontwikkeld worden, waarbij, wegens de Symmetrie van het schip, in de reeksen voor Y en N alleen oneven termen en in die voor X al-leen even termen van belang zijn.

Een model dat op dit principe gebaseerd is en gebruikt werd voor een bij constant vermogen inanoeuvrerende tanker, heef t de voigende gedaante:

ni (<r _+'

Ur)

p u 2 r *

*

*

*

Tr

L IY

y + Y r +

LV

r 44 *3 44 4(4(2 * *2 Y V

+Y r.

.+Y 6v vvv rvv _V óvv 14 4(4(2 443

Y vr+ Y

r

+Y

ór rrr 6rr Ic

*2

.*

*2

Y

vó

+ Y

r6 +

v66 r66

(p + q)

Y666 * V X

'v rit Hierin is y = ji- en r = X X

m(Ù-vr)

=

x(-9-)2

u(u-u)

o o

vU

-X U2 X X'

v2

+ X

r2

+ X i +

Vv rr

u2

X X

vr + X

v±S + X±

r6 +

vr vo

+ q)

2

De coëfficiënten van dit model verden met modeiproeven in de sleeptank bepaald, waarmee bepaalde door het schip reeds uitgevoerde manoeuvres met de computer werden gesimuleerd met zeer bevredigend resultaat

₍₅₎

In dit model wordt het effect van de toenemende stuwkracht, indien door het lnanoeuvreren vaartverlies optreedt, beschreven door de term

X.U0(U0_u) , ter'wijl de tengevolge van dit effect veranderende vatér-snelheid:bij het ror .tot uitdrukking komt in _{de factor p +}

We kunnen ons nu afvragen of het in alle gevállen, waarbij een wiskundig model van een manoeuvrerend schip gebruikt wordt, nodig is _{orn hierbij steeds} alle hydrodynamische effecten afzonderlijk te beschrijven. _{In de meeste} praktische toepassingen wordt slechts gevraagd een min of meer juiste beschrijving van de bevegingenvan het schip te geven, dus van de

relaties tussen y, r

en U enerijds enderoerhoek

O anderzijds. Het zal duidelijk zijn, dat aan een model dat hieraan voldoet, minder hoge eisen gesteld hoeven te worden als san een model dat hydrodynamische krachten beschrij ft.

Bij het opstellen van zo'n model kán men empirisch te werk gaan, vaarbij men zieh kan laten leiden door de ervaringen opgedaan met _{modellen die} wa]. hydrodynamische krachten beschrijven.

We krijgen zo twee ontwikkelingen: die van de elementaire stelsels beweings-vergelijkingen en die der. emDirische modellen. Twee _{modellen die tot de}

eerste catergorie behoren zijn de modellen van Abkowitz (i) en dat van Eda en Crane (2) _{. Het modelvanAbkow'itz kan afgeleid 'worden van het}

hierboven' _{gegeven model, door dit in een andere vorm te schrijven eri} ver-volgens een santal termen weg te laten. Substitueren ve nl. in dat model

22

U = U0 + U _{en delen we linker-, en rechterledezi door}

pU0L c.q..

} =

y' (1 + u') , r' (1

+ u'),

t'

3

V ¡ + u'

2

vr

I + u'

2

r y , I + u' r'3 i + u' 1 &2 (I + u')

r62

(I

+ u'),

1, (1 + u')2 {p + q (I

+ u'))

. {6, , ) 2 = u' , u' , A1

2

r v'r' , v'ó (I + u') r'6 (I u'), (I + u')2 _{p + q (I

+ u'))

2

Net model van Abkowitz kan nu hieruit afgeleid. worden door alle termen hoger dan de derde graad weg te-laten, waarbij men moet bedenken dat de factor

te benaderen is door een lineaire uitdrukking: b.v. .8 - 2.3u', (u') - .6), zodat deze ook aan].e:iding geef t tot vierde-orde terrien. Net ofltbreken van daze

termen is niet zozeer een .kwestie van weglaten, maar meer het gevoig van een principieel verschillend uitgangspunt. Abkowitz beschouwt n.1. de hydrodyna-mische krachten als functies van de variabelen y, r, 6 en U en ontwikkelt dezé functies dan in eau derde orde Taylor reeks. Hierdoor worden een aantal hydro-dynamiscIderde orde effecten beschouwd als (mathemetische) vierde orde effec

ten.

Dit model bevat dus de volgende termen:

r V,u, , ,

r'v'2 ,

r o Ou' y' 6 2

rO

p I , u' u 2

6,

2 2 Ou , O u ii' u' , u u i(toegevoegd), û'

2

I t y r , v'O ,

rO ,

r'So.' 62 _,

_Ou'

Ret door Eda en Crane gebruikte model kan van het eerste- model afgeleid worden, door wat betref t de dwarskracht- en momentvergelijking bieruit alle O

-koppe-lingen en niet-lineaire termen in iS weg te laten en de cofficinten _{en Yt} nul te stellen. Bij delangskrachtvergelijking is het (stationaire) snelheids-' verlies evenredig gesteld met de centrigugaal versnelling en het kwadraat van de roerhoek. In "ster"-notatie heeft dit stelsel dus de volgende termen:

m('' +.Ur) pjU2 LII

* _Li/U 2 T

}iv

,r

x ... r

.

L p U L II *3 * 2

LLi/U

y

,rv

x

**2

*3

vr

,

r 1,

o]

- vr) =

pU2

LU I , F (prop.thrust function)

**

2

y r- , 6

Bij modelnietingen blijkt nu dat de in dit model niet voorkomende 6-koppelingen (6v2, Or2, rO2, vO2) en de inassa-koppelingscofficinten N en Y* inderdaad door-gaans klein tot verwaarloosbaar zijn, zodat de bruikbaarheid van het model voor algernene doeleinden er nauwelijks door beinvloed wordt. Dit geldt echter niet voor de niet-lineaire termen in 6, terwiji ook de evenredigheid der roerkrachten

met het kwadraat van de sneiheid van het gewichtszwaartepunt een vrij grove be-nadering der werkelijkheid is. Ret model is dan ook niet in de eerste plaats opgesteld met het doel vrij-varende-nianoeuvres te -simularen, maar orn de invloed

van bepaalde ontwerpparameters op cen aantal hydrodynamische effecten te onder zoeken.

Zo blijkt dus dat het dod waarvoor men het wiskundig model wenst te gebruiken van invloed kan zur. op de vorm ervan.

Indien het wiskundig model gebruikt wordt voor de simulatie van manoeuvres, vervalt de noodzaak orn uit te gaar van de wet van Newton en men kan volstaan met het empirisch bepalen van de samenhang der diverse variabelen, waarvoor een voldoende aantal boordmetingen ter beschikking staan, zeker wanneer het rnanoeu-vresinvlak- en onbeperkt water en bij constant vermogen betref t.

Karakteristiek voor de empirische modellen is, dat zij in de eerste plaats -en soins ook uitsluitend - een vergelijking bevatten die de hoeksnelheid van het schip beschrijft. Door integratie van de hoeksnelheid vinden we dan de koers als functie van de tijd. Het zal duidelijk zijn, .dat in veel gevallenkennis van het koersverloop met de tijd voldoende i orn een béeld van de bewegingen te krijgen: de roerganger gebruikt doorgaans ook niet veel meer dan zijn .kompas orn het schip op een gemiddelde koers te houden..

Anders wordt het, indien hij cen bepaalde koerswijziging uit moet voeren. In de praktijk gebeurt dat op een zodanige manier dat, indien er niet van een noodtoestand sprake is, er zo min mogelijk tijd verloren gaat. Zou de manoeuvre in een zo kort rnogelijk tijdsbestek uitgevoerd worden, dan zou een aanzienlijk vaartverlies en dus tijdverliesoptreden. De volgende f iguur illustreert twee manieren orn een koerswijziging uit te voeren:

Hierbij speelt dus het vaartverlies t.g.v. het uitvoeren van een bepaalde ma-noeuvre can belangrijke rol en dit is dus een motief orn, indien men met een wiskundig model dergelijke manoeuvres wil. beschrijven, ook informatie betref-fende de sneiheid van het schip te verlangen.

Een model dat uitsluitend de koers als fûnctie van de tijd beschrijft en dat voor stabiole schepen - voor vele toepassingen bruikbaar is, is bet lineaire eerste-orde model van Nomoto. (3):

K6

dt2

dt

Zoals de meeste empirische modellen, steunt ook dit model gedeeltelijk op het model dat op elementaire wijze krachten en momenten beschrijft.

Cebruikt men dit model voor de beschrijving van manoeuvres, met versehillende roerhoeken, dan blijkt dit in het algemeen slechts mogelijk te zijn als wd de cofficinten T en K-aanpassen aan de "intensiteit" van de manoeuvre, m.a.w. deze cofficinten kunnen beschouwd worden als functies van de roerhoek. In onderstaande f iguur is hiervan een beeld gegeven.

1O° 20° 30° ¿0°

6,

Fig. 3 T

en K als variabele cofficinten

(draaicirkelproeven met dezelÍ'de beginsnelheid)

0m grofweg de invloed van een bepaald "snelheidsniveau" en de schaal in tecalcu-. leren, kan de. vergelijking in een dimensieloze vorm gegeven worden. Hierbij

worden de cofficinten en de variabelen betrokken op de beginsne].heidvan een

manoeuvre. We krijgen dan: I

T.-K

f

d

UT

2 2 +

LE

=_!

o L dt 2 U U

-t-.

U o o o

UT

Hierin zijn, bij con bopaâlde grootte van de roerhoek, de factoren en

min of meer als constanten te beschouwen. In de "accent"-notatie, die in ht voorgaande al gebruikt werd, is de vergelijking dan:

T' ' + r' = K'. ₆

Het grootste bezwaar van de vergelijking van Nomoto is wel, dat het onmogelijk is bet karakteristieke gedrag van koersinstabiele schepen ermee te beschrijven. Dit karakteristieke gedrag komt het duidelijkst tot uitdrukking als we de

sta-tionaire hoeksnelheid, bij draaicirkels met verschillende róerhoeken, uitzetten op basis van de roerhoek:

koersonstobieL schip

dt'c

T' t'

r'

+.

.6

Nomoto benadering

iÌi

koersstobiel schip

=. K' 6

)

Fig. _{h Stationaire hoeksnelheid bij koersonstabiel en koerestabiel schip} Voor het model van Nomoto bestaatdeze f iguur, voor bepaalde gebieden van roer-hoeken, uit lijnstukken, die als we ze verlengen, door de oorsprong gaan. Een dergelijke benadering is voor onstabiele schepen niet bruikbaar.

De eenvoudigste (mathematische) oplossing hiervoor wordt gegeven door de

'waarvan de stationaire karakteristiek, afhankelijk _{van. het + teken, de} volgendé gedaante kan hebben:.

Fig. 5 _{Stationaire hoeksnelheidskarakterjstjeken van niet-lineair} eerste orde systemen

Hierbij blijkt dus, dat door toevoeging. van de derde-graads term, zovel bet niet-lineaire gedrag van koersstabiele schepen, _{zoals dat tot uitdrukking} komt in het variëren van T en' K (uit het model van Nomoto) met de roerhoek, als het mee\r gecompliceerde gedrag van koersinstabiele schepen beschreven kan vorden.

Voegt men aan deze vergelijking er een toe, die grotweg het sneTheidsverlies beschrijft, b.v.:

T' û' + u' =K' r'2

u u

dan vorinen deze tvee vergelijkingen reeds _{een aanzien].ijke verbetering t.o.v.} het lineaire eerste-orde systeem van Nomoto. Ook bet snelheidsverj.ies Hj

stabiele en instabiele schepenwordt dan redelijk-_{benaderd eri heeft, voor} de stationaire toestand, bet volgende karakter:

Fig. 6 _{Stationaire snelheidskarakteristîek van lineair eerste-orde} systeem voor de snelheidsbeschrijvirig

---,'r ---'-- -.

waarbij, orn de hoeksnelheid dt

i

Het zal duidelijk zijri dat, naarmate cen nauwkeuriger beschrijving van .het gedrag van het manoeuvrerende schip gewenst is, het wiskundig model gecompli ceerder wordt. Kijkcn we bijvoorbeeld naar het verloop met de djd van de imeiheid en hooksnelheid bij een draaicirkelproef, dan blijken deze voor vrij-wel elk schip de volgende karakteriatieke gedaanten te hebben:

hoeksnetheid

snelheid: U

als functie van de tijd hieruit op te kunnen loasen, een beschrijving van de voorwaartse sneiheid nodig is, bijvoorbeeld:

T + u = K r*2

udt

u

De time history van de hoeksnelheid heef t dan wèl een overshóot,. welke - vat ligging en grootte betref t - goed overeenstemt met de verkelijkheid.

T UD

Fig. 7 Stapresponse van schip

De hoeksnelheid vertoont dus een "overshoot", waarvan degrootte - afhankelijk van de roerhoek - tot 4O Z van de stationaire waarde der hoeksnelheici kan be-dragen.

Vergelijken we dit met de stapresponse van zowel het lineaire als het niet-lineaire eerste orde systeern, dan treedt deze overschoot niet op, evenmin bij

het hierna nog ter sprake komende tweede orde systeem.

Bekijken we nu de time history van de variabele.r*, dan blijkt deze geen over-schoot te hebben. Dit is een rnotief orn een"hoeksnelheíds" vergelijking van de volgende gedaante te beschouwen:

d ' *

T-E--(r ) + r

K6

hoekversnetting.

Een andere eigensclap van dit lineairestelsel is, dat de stationaire, relatie tussen hoeksnelheid en roerhoek niet-lineai is, met dezelfde tendens als in werkelijkheid gevonden wordt; m.a.w. een deel van het niet-lineaire gedrag der hoeksnelheid wordt door dit eerivoudigeste].sel reeds beschreven. Dit blijkt bijvoorbeeld uit de volgende figuur:

.3

Fig. 8 Vergelijking tussen stationairehoeksnelheid (r')

en stationaire waarde der gelijkvormigheidsparaineter r

Overigens is de niet-lineaire relatie tussen de stationaire hoeksnelheid en de roerhoek vaak mgr niet-lineair dan door dit stelse]. beschreven' kan worden. 0m die reden en tevens orn het gedrag van koersinstabiele schepen te kunnen beschrijven, is uitbreiding met een derde-graadsterm soms venselijk.

Een dergeli,jk model is met succes toegepast voor de beschrijving van een aantal draaicirkelproeven, met roerhoeken van 5 tot 35 graden, van

een snel vrachtschip. De belangrijkste resultaten van dit onderzoek zijn in de volgende figuren weergegeven,ontleend aan de betrrffènde

pub].icatie: (14)

-'-0.3 0.2 0.1 5 o o,.-35 u (KN) 6=-2o°

00

0

0000

*O*O**o,o*o3

Oaoo ..CotTlposs Islond Modelli

20 .%

15

lUD (MIMuTEt _{TUD MINuTEÑ}

Fig. 9 "Time histories" van gelijkvormigheidsparaineter r en de voorwaartse sneiheid U

Als bijzonderheid werd bij dit model niet de tijd als onafhankelijk ver-anderlijke, maar de afgeleßde ve gebruikt. De gier- en snelheidsvergelijking hadden de volgende vorm:

Tt d2i' dP

()3,

= 6 (gier vgl.)

++a

3 ds ds ds T + u =

_{Kr2 (snelh. vgl.)}

waarin ds

Udt/L

zodat r en d2i L d

2 U

) ds ds

U-U0.

terwiji u _{= IT}

"0

-

.---

.- --.--- -,

AA

00

_o o o D

o o o o

.60.-5.

80=-100

GAOci ..Composs IsLand

- ModeLli

80=_200

00

-o o o o o o 0.5 A A 60=-100

In meer algemene vorm kunnen we deze vergelijkingen ookaldus noteren: T --- + f *2 3 " * ds ds * du T ds* + g3 (u ) + g2

(!

, o ) = o ds

waarin de functie g. afkomstig is van het verschil tussen stuwkracht en weerstand tijdens eeiì manoeuvr en g2 een kwadratische functie van

en 6 is, die het snelheidsver1is veroorzaakt. In deze vorm is het model gebruikt voor de simulatie van een uitgebreide serie draaicirkel en stut proeven vàn een tanker. Dit onderzoek is nog niet afgesloten maar in de volgende figuren zijn enkale van de voorlopige resultaten te zien

hoeksnetheid in draaicirkeLs 5 60 t. 0 0.1 ,d'Ii dt 1c 0.5 °/sec 0.5 - doorzwooihoeken bu stutproeven 30° i / 60 2it lt p voorwoortse snetheid ¡n droaicirkes s- ster modeL

ware grootte (berekend vio oscittotieproeven)

0.5 0. 0.5

w..

gemiddeLde periodetengten bij

stutproeven

soort stutproef

0.2 10/20 20/20 30/20

Fig. 10 _{Simulatie van manoeuvreerproeven met een tanker m.b.v.} niet-lineair "s-ster" -model

-lets over de relatie tussen empirische en elementaire modellen.

1313 dc tot nu toe bcsproken empirische modellen wordt geen beschri3ving ge-geven van de drift (y), ondanks hot feit dat uit dc elementaire modellen blijkt dat in de momentvergelijking - die bij de empirische modellen de gier-vcrgelijking gcmoemt wordt - doze drift eon niet onbelangri3ke rol speelt. Dit kan o.m. vcrklaard worden.. uit hot feit dat er eon vrijwel tijd-onafhan-kelijke relatie tussen de drift ende hoeksnclheid bestaat, die, als grove benadering, neerkomt op eon constante verhouding v/r = Y.

Zouden we doze relatic in de momentvergeiijking substitueren dan bleef er can niet-lineaire eerste-orde differentiaalvergelijking over. Daarmee zou dusde.gehele dwarskrachtvergelijking vervallen en, indien dit voor de be-schrijving van de positie van bet schip t.o.v. een bepaaid assenkruisno dig was, vervangen kunnen worden door deze relatie tussen y en r.

N.B. De positie van het schip voigt uit de integratie van de vergelijkingen:

= cos('-8)

ain

Tweede-orde modellen.

Een geheel andere ontwikkeling op het gebied van de. empirische modellen is ontstaan uit de o.a. door Nomoto opgestelde lineaire vergelijkingen, die, in accentvornl, symbolisch de volgende gedaante hebben:

r'

v, r', ', t',S (dwarskrachtvgl.)

t'

= V',

r', '", t',ó (momentvgl.)

Hierbij wordt het snelheidsverlies buiten besehouwing gelaten. Door de va-riabelen

V'

en r' te scheiden vindenwe twee lincaire vergelijkingen van de gedaante:

ir', r" = 6, !

j,,

V'

= 6, ¿'

Deze vergelijkingen, en in het bijzonder de eerste ervan zijn de basis voor de in gebruik zijndeweede-orde modellen. Daar het, door de afwezigheid van niet-lineaire termen, niet rnogelijk is hiermee de eigenschappen van

koers-instabiele schepen te baschrijven werd de giervergelijking ervan uitgebreid tot de vorm: .

Voegen we aan deze vergelijking er een toe die de voorwaartse sneiheid be-schrijf t, dan kunnen oak met dit tweede-orde model goede resultaten ver-kregen worden, hoewel, zoalsin bet voorgaande reeds opgemerkt werd, geen

Methoden en criteria bij de bepaling van wiskundige modellen

Tenslotte nog erikele opmerkingen over de methoden

en de criteria

die gebruikt worden bij de bepaling van empirische modellen uit

ware

grootte proeven.

De eenvoudigste methode, die echter geen garantie

voor een optimaa].

resultaat geeft, is, orn de stationaire karakteristieken

van

draai-cirkeldiaineter

(

'/r)

of hoeksnelheid () en van de voorwaartse

sneiheid als functie van de roerhoek, in combinatie met

elkaar te

beschrijven, dus de hierboven genoemde functies:

f3(r,6) = O

g3(ut)

_{+ g2(r,6) = O}

_{te bepalen.}

Met een schatting van de tijdconstanten, kunnen de te vergelijken

manoeuvres dan analcdg of digitaal gesimuleerd worden, waarna, door kleine.

veranderingen aan te brengen in de beide tijdconstanten, de resultaten

zo nodig verder geoptiinaliseerd kunnen worden. Deze werkwijze is vrij

primitief en een bezwaar is, dat het vaak

op meerdere manieren inogelijk

is de stationaire karakteristieken te beschrijven. Stelt

men echter niet

te hoge eisen aan de nauwkeurigheid, dan wordt dit bezwaar minder

groot

als men zich in het aantal termen beperkt. Hierbij heeft

men uiteraard

enige steun aan de eleznentaire, krachte beschrijvende, modellen.

Ook kan enig inicht in het proces verkregen worden, door de

hoekversne].-lingen (c.q. .) tegen de hoeksnelheden

(c.q. r) uit te zetten voor

die gedeeltenan manoeuvres waar de roerhoek constant

was.

Bij het hiervoor ter sprake gekomen onderzoek hadden deze tiguren

de volgende

vorm:

_((k

ds

roerhoek:

350

o+b6

Fig. 11

_{Relatjetussen}

_i

_en

_r

_{bij stut-proeven}

ten op de verticale as. dus r

*

vs cS , zonder

C

te beschrijven te zijn. Hoevel deze methode, tot nu

Uit deze figuur is o.m. de conclusie getrokken, dat de functie f3 waarschij-lijk een term ró2 moet bevatten wegens het verloop der hellingen in

depun-Inderdaed bleek ook de stationaire karakteristiek, dezeterm niet erg, en mtdeze term zeernauwkeurig

toe, in de meeste gevallen tot goede resultaten leidde, is zij niet geschikt orn geautomatiseerd te worden. ("Feeling" speelt er nog een te grpte rol bij).

Op het ogenblik is een meer geavanceerde methode in ontwikkeling, die ge-bruik maakt van de Simplex-methode voor het optimaliseren van functies. Hier-bij spelen overigens dezelfde problemen een rol:

welke termen zijn onmisbaar? welke criteria gebruikt men?

Test signalen.

Wat bet laatste betref t, dus de beoorde].ingscriteria, is bet grootste probleem, dat er nog geen "optimale manoeuvre" in regeltechnische termen -geen optimaal testsignaal uitgevonden is, zodat men zich tevreden moet stel-len met een aantal verschilstel-lend-soortige manoeuvres, zoals:

een serie stutproeven waarmec, veer in regeltechnische termen vrijwel het gehele, voor de praktijk belangrijke,

"frequentie-gebied" bestreken wordt:

Fig.

12e

Fig.

12a Ingangssignalen bij stutproeven

een serie draaicirkelproeven met verschillende roerhoeken:

/

Fig. 12b. Ingangssigna1en bij draaicirkelproeven eventueelaangevuld met de resultaten van een spiraalproef:

Bij de simulatie der draaicirkelproeven is men genoodzaakt ook de baancor-dinaten, of daarop betrekking hebbende grootheden zoals "advance", "transfer"

en tactische diameter, in de beoordeling op te nemen, terwiji bij stutproe-ven deze baancodrdinaten, voorop gesteld dat men ze enigszins betrouwbaar

zou kunnen bepalen, doorgaans te weinig informatie bevatten orn ze te gebrui-ken bij de inodelvorming, zodat ze dus ook geen beoordelingscriter.ium opleveren.

Zo heef t dus elke soort van proeven zijn eigen stélsel criteria, wat de nia-delvorming bemoeilijkt.

1k vii deze lezing dan ook besluiten met de hoop uit te spreken dat dit, door regeitechnici georganiseerde symposium over een in oorsprong scheeps-bouwkundig probleem, zal leiden tot een vruchtbare uitwisseling van kennis

r..

Literatuurli,j st

(i) Abkowitz, M.A. "Lectures on Ship Hydronamic3"

IlyArep. December 1961f

(2) Eda & Crane "Steering characteristics of ships in calm, water and waves"

S.N.AJ4.E. 1965

(3) Nomoto, K. "Analysis of the standard manoeuvring test of Kenipf and. proposed steering quality indices" Symp. Ship. Manoeuvr. Washington 1960

()

Van Leeuven, G. A simplified non-linear model of a manoeuvring ship, report 262

Laboratorium voor Scheepsbouwkunde, Technische Hogeschool Delft, maart

₁₉₇₀

(5)

Va*i Leeuwen, G. Prediction of ship manoeuvrability making use of modeltests.

Report nr. 288, Laboratorium voor Scheepsbouwkunde,

april1970

--/

O7

ooc

oo

0L

.0

koersonstabiet

schip

Nomoto-benadering

koersstabiet schip

I

- teken

1dI'

dt 'c

.

Ô

(d4'

_\

+ teken

.S.

d2''

hoekversnetting:

dt2

hoeksneLheid:

.!±

sneheid: U

roerhoek: §

lUD

I

I

I

.

cr0

.

.