Regresja wieloraka
Regresja wieloraka
Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów.
Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna
(można zobrazować na wykresie rozrzutu)
Regresja wieloraka
Estymacja najmniejszych kwadratów:
Program tak dobierze równanie tej linii, że
suma kwadratów odległości punktów na
wykresie rozrzutu od linii regresji będzie
minimalna.
Równanie regresji
Linia prosta w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie): Y=a+b*X
Stała- wyraz wolny, nachylenie- współczynnik regresji.
W przypadku wielowymiarowym (mamy do czynienia z więcej niż jedną zmienną niezależną) linia regresji nie może już być tak prosto przedstawiona wizualnie w przestrzeni dwuwymiarowej. Postać równania:
Y=a+b1*X1+b2*X2+...+bp*Xp
Równanie regresji
Y=a+b1*X1+b2*X2+...+bp*Xp
Współczynniki regresji (b) reprezentują niezależne wkłady każdej ze zmiennych niezależnych do
predykcji zmiennej zależnej.
Równanie regresji
Y=a+b1*X1+b2*X2+...+bp*Xp
Kierunek zależności od poszczególnej zmiennej ustala się na podstawie znaku wartości
współczynnika regresji (b).
Jeśli b ma wartość dodatnią- związek jest dodatni (wraz ze wzrostem zmiennej X rośnie wartość Y) Jeśli b jest ujemne- związek jest negatywny
b=0 - między zmiennymi nie ma zależności
Równanie regresji
Wartości przewidywane a wartości resztowe
Linia regresji wyraża najlepszą predykcję zmiennej zależnej (Y) przy danych zmiennych niezależnych (X).
Zazwyczaj mamy do czynienia z odchyleniami punktów pomiarowych od linii regresji
Wartość resztowa: odchylenie danego punktu na wykresie od linii regresji (czyli od jego wartości przewidywanej)
Równanie regresji
Wariancja resztowa a R2
Im mniejsza wariancja wartości resztowych wokół linii regresji w stosunku do zmienności ogólnej, tym lepsza jakość predykcji.
Równanie regresji
Wariancja resztowa a R2
Brak zależności pomiędzy zmiennymi X i Y -
stosunek zmienności resztowej Y do zmienności całkowitej równa się 1,0.
X i Y ściśle (w sensie zależności funkcyjnej) zależne od siebie- zmienność resztowa równa się 0 i taki
stosunek również 0,0.
Najczęściej: stosunek zmienności resztowej Y do zmienności całkowitej zawiera się gdzieś pomiędzy tymi wartościami ekstremalnymi.
Równanie regresji
Wariancja resztowa a R2
1 minus ten stosunek= R2 (współczynnik
determinacji)- wskaźnik jakości dopasowania modelu do danych
Bliski 1,0 wskazuje, że prawie cała zmienność zmiennej zależnej może być objaśniona przez zmienne niezależne włączone do modelu).
Równanie regresji
Wariancja resztowa a R2
1 minus ten stosunek= R2 (współczynnik
determinacji)- wskaźnik jakości dopasowania modelu do danych
Interpretacja: Gdyby wartość R2 wynosiła 0,4
wówczas wiadomo byłoby, że wariancja wartości Y wokół linii regresji wynosi 1-0,4 razy pierwotna
wariancja Y (40% pierwotnej zmienności Y zostało wytłumaczone przez regresję, a 60% pozostało w zmienności resztowej).
Równanie regresji
Interpretacja współczynnika korelacji R
Stopień, w jakim dwie lub więcej zmiennych objaśniających (niezależnych lub X) jest
powiązanych ze zmienną objaśnianą (zmienna zależna Y), wyrażany jest przez wartość
współczynnika korelacji R (pierwiastek kwadratowy z R2) .
W regresji wielorakiej R może przyjmować wartości pomiędzy 0 i 1.
Równanie regresji
Założenia i ograniczenia
• założenie braku obserwacji odstających (normalności rozkładów zmiennych)
•założenie liniowości
• założenie normalności reszt
• wybór liczby zmiennych
Równanie regresji
Założenia i ograniczenia
Założenie braku obserwacji odstających: należy przeanalizować pod tym kątem wykresy P-P.
histogramy, przeprowadzić testy normalności.
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Dystrybuanta emp
Równanie regresji
Założenia i ograniczenia
Założenie liniowości: założenie, że zależność między zmiennymi jest liniowa.
Rada: przeanalizowanie pod tym kątem
dwuwymiarowych wykresów rozrzutu badanych zmiennych.
Równanie regresji
Założenia i ograniczenia
Założenie normalności reszt: reszty (różnice między wartością obserwowaną a obliczoną z równania regresji) podlegają rozkładowi
normalnemu.
Równanie regresji
Założenia i ograniczenia
Wybór liczby zmiennych: Zaleca się, aby brać do analizy przynajmniej około 10 do 20 razy więcej przypadków niż występuje w niej zmiennych. W przeciwnym wypadku oceny linii regresji będą
bardzo niestabilne i będą się silnie zmieniać wraz ze wzrostem liczby przypadków.
