Rachunek prawdopodobieństwa
5. Zbieżność szeregów niezależnych zmiennych losowych - zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5.1 Zbadaj zbieżność prawie wszędzie szeregu P∞n=1Xn, jeśli zmienne losowe Xn są nieza- leżne i
P (Xn= 2−n) = P (Xn = 0) = 1/2.
Zad. 5.2 Niech {Xn}n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym roz- kładzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Oblicz E(X1· X2 · . . . · Xn). Udowodnij, że szereg
P∞
n=1X1· X2· . . . · Xn jest prawie wszędzie zbieżny.
Zad. 5.3 Niech {Xn}n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkła- dzie zadanym wzorem
P (Xn= 1) = P (Xn = −1) = 1/2.
Dla jakich θ ∈ [0, 1] szereg
∞
X
n=1
Xn nθ jest prawie wszędzie zbieżny?
Zad. 5.4 Niech {Xn}n∈N będzie takim ciągiem niezależnych zmiennych losowych, że P (Xn= −1) = P (Xn = 1) = 1/2,
a {an}n∈N ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych. Udowodnij, że jeśliP∞n=1a2n jest zbież- ny, to szereg P∞n=1anXn jest prawie wszędzie zbieżny.
