Zestaw zadań z fizyki kwantowej

Zestaw zadań z fizyki kwantowej

3. Kwantowy oscylator harmoniczny Funkcja falowa oscylatora harmonicznego:

 

n n 2 n

m x m

x A  H x 

  ^  ^{ }  ^,

4 1

, 0,1, 2,...

n 2 !n

A m n

n



  

 Własności wielomianów Hermite’a:

     

1 2 2 1

n n n

H _ x  xH x  nH _ x ,

   

2 2 !

x n

n m nm

e H x H x dx n 

 





1. Równanie Schrödingera

1.1 Podać postać równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego w zmiennych wymiarowych.

1.2 Podać postać równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego w zmiennych bezwymiarowych.

1.3 Wykazać, że funkcja falowa dla oscylatora harmonicznego powinna mieć postać

   

f 2

    ^  ^

 , gdzie funkcja f spełnia równanie:

 

  

  

f^    f^    f   . 2. Rozwiązanie przy pomocy wielomianów Hermite’a

2.1 Wykazać, że element macierzowy k x n spełnia relację

, 1 , 1

1

2 ^{k n} 2 ^{k n}

n n

k x n

m  

 ^{ }

  

   

 

 .

3. Operatory kreacji i anihilacji

3.1 Wykazać, że hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać:

1 1

ˆ ˆ ˆ

2 2

H ^b b^  ^^N ^, gdzie operatory kreacji i anihilacji mają postać:

 

ˆ 1 ˆ ˆ

b 2 m x ip

m 



 

 , ^{ˆ 1}





b 2 m x ip

m 

  

 .

3.2 Wykazać, że b b^{ˆ ˆ}, ^  1. 3.3 Wykazać, że ˆ ˆb b n^ n n . 3.4 Obliczyć element macierzowy:

a) k x n , b) k p n ,

wiedząc że ˆb n  n n oraz ˆ1 b n^  n1 n . 1 3.5 Podać postać macierzową operatorów ˆb oaz ˆb^. 3.6 Podać postać macierzową operatorów ˆx oaz ˆp . 3.7 Wykazać, że ˆ 0b^  1 .