Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2 10. Równania ró

(1)

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2

10. Równania różniczkowe I

1. Rozwiązać równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych:

a) dx x

x dy 1

2 =sin ,

b) sin 1

2

2  =



 

 +

dx

x dy ,

c) y x

dx

xdy cos

sin = ,

d) dx

x dy dx xy

dy ₂ ₂

2 −

= ^,

e) ^y

(

^x ^x

)

dx

ydy 3sin 5cos 3cos

cos = ³ − ,

f)

(

¹ ²

)

¹ ^y²

dx xydy

x = +

+ ^.

2. Dany jest obwód elektryczny zawierający kondensator o pojemności C naładowany ładunkiem Q oraz opornik o oporze R. W chwili, gdy obwód zostaje zamknięty, tzn. dla t = 0, wartość ładunku zgromadzonego na kondensatorze wynosi Q₀, zatem natężenie prądu odpowiadające temu momentowi jest równe ⁱ0 =^Q0

( )

^RC . Wyznaczyć funkcję określającą przebieg zmian natężenia prądu i = f(t) w zależności od czasu t dla danego obwodu.

3. Rozwiązać równania różniczkowe metodą podstawienia:

a)

(

⁺

)

² ⁼^a²^, ^a^>⁰

dx y dy

x ,

b) =

(

²x+ y−³

)

² −⁴x−²y+⁵ dx

dy ,

c) =x+y+3 dx

dy ,

d)

(

^x ^y

)

dx

dy =sin − ,

e) ⁼

(

^x⁻^y

)

² ⁺¹

dx

dy .

4. Rozwiązać równania różniczkowe jednorodne:

a) ² x² xy y² dx

x dy = + + ,

b) dx

xydy y

x²+ ² =2 ,

c) dx

xdy y

x+ = ,

d)

( )

^y ^x

dx x dy

y−2 =2 + .