Metody Numeryczne Wykład 1 Specyﬁka obliczeń numerycznych

(1)

Metody Numeryczne Wykład 1

Specyfika obliczeń numerycznych

Metody Numeryczne s¸ a dziedzin¸ a wiedzy zajmuj¸ ac¸ a si¸e problemami obliczeniowymi i konstrukcj¸ a algorytmów rozwi¸ azywania zadań matematycznych.

Aby w ogóle mówić o problemie obliczeniowym, musimy najpierw

• określić dane pocz¸atkowe i cel obliczeń, czyli dokładnie sformułować zadanie,

• określić środki obliczeniowe dzi¸eki którym chcemy osi¸agn¸ać cel, czyli zdefiniować model obliczeniowy.

Zadania numeryczne, przykłady

Sformułowanie zadania polega na sformułowaniu tego co mamy i co chcemy uzyskać.

Formalnie polega to na zdefiniowaniu przestrzeni danych F i przestrzni wyników G. i wskazaniu zależności f 7→ g, gdzie f ∈ F i g ∈ G, mi¸edzy danymi a wynikami.Zależność t¸e reprezentuje operator rozwi¸ azania

S : F −→ G.

B¸edziemy przede wszystkim zainteresowani zadaniami numerycznymi. S¸ a to zadania , dla których wynikiem g jest zawsze skończony ci¸ ag liczb rzeczywistych, czyli

G ⊂

∞

[

n=0

R ⁿ

(przyjmujemy przy tym, że R ⁰ = Ø)). Zbiór danych może być w zasadzie dowolny, ale my dla uproszczenia b¸edziemy rozpatrywać tylko zadania dla których F ⊂ R ^m , albo ogól- niej, dla których F jest pewn¸ a klas¸ a funkcji zdefiniowanych na ustalonym zbiorze D ⊂ R ^d . Przykład 1 ( Równanie kwadratowe) Załóżmy, że chcemy obliczyć wszystkie rzeczywiste pierwiastki równania

x ² − 2px + q = 0,

dla danych liczb rzecywistych p i q. Wtedy F = R ² , G = R ⁰ ∪ R ¹ ∪ R ² , oraz S(p, q) = Ø gdy ∆ < 0, S(p,q)=p gdy ∆ = 0 i S(p,q)=(p + √

∆/2, p − √

∆/2)gdy ∆ > 0.

gdzie ∆ = 4p ² − 4q.

Przykład 2(Układ równań liniowych)Rozpatrzmy zadanie rozwi¸ azywania układu r’ownań liniowych

A ∗ − → x = − → b

1

(2)

dla nieosobliwej macierzy A = (a _i,j ) ⁿ _i,j=1 i wektora − →

b = (b _i,j ) ⁿ _i,j=1 . Wtedy F =

n (A, − →

b ) ∈ R ⁿ

²

⁺ⁿ : det(A) 6= 0 o

,

Przykład 3(Całkowanie) Dla danej funkcji ci¸ agłej f : [a, b] → R, chemy obliczyć całk¸e oznaczon¸ a

I(f ) = Z b

a

f (x)dx.

W tym przypadku G = R, ale dane stanowi pewna klasa funkcji ci¸ agłych określonych na odcinku [a, b], tzn. F ⊂ C ([a, b]) . S jest operatorem całkowania S(a, b, f ) = I.

Model obliczeniowy

Do zdefiniowania modelu obliczeniowego posłużymy si¸e poj¸eciem programu.Zastosujemy przy tym notacj¸e podobn¸ a do j¸ezyka programowania OCTAVE.

Program to zbiór deklaracji, czyli opisu obiektów, które b¸edziemy używać, oraz poleceń (instrukcji), czyli opisu akcji, które b¸edziemy wykonywać.

Dost¸epnymi obiektami s¸ a stałe i zmienne typu całkowitego(integer),rzeczywistego (real) i logicznego typu (Boolean). Zmienne mog¸ a być grupowane w wektory albo tablice.

Polecenia dzielimy na proste i złożone. Poleceniem prostym jest

• PODSTAWIENIE

z = W ;

gdzie z jest zmienn¸ a, a W jest wyrażeniem tego samego typu co z.

Wyrażeniem jest pojedyńcza stała lub zmienna, albo złożenie skoń czonej liczby operacji elementarnych na wyrażeniach. Operacje elementarne to:

arytmetyczno-arytmetyczne:x 7→ −x, (x, y) 7→ x + y, (x, y) 7→ x − y, (x, y) 7→ x ∗ y, (xy) 7→ x/y, gdzie y 6= 0, gdzie x, y s¸ a stałymi lub zmiennymi liczbowymi,

arytmetyczno-logiczne: (x, y) 7→ x < y, (x, y) 7→ x <= y, (x, y) 7→ x = y, (x, y) 7→ x <> y, (x, y) 7→>= y, gdzie x,y s¸ a stałymi lub zmiennymi liczbowymi,

logiczno-logiczne: p 7→ p, (p, q) 7→ p&q, (p, q) 7→ p|q,gdzie p,q s¸ a stałymi lub zmien- nymi logicznymi.

Dla zadań numerycznych wygodnie jest (czasem koniecznie) uzupełnić ten zbiór o do- datkowe operacje, takie jak obliczanie wartości funkcji standardowych

( sqrt,sin( ),cos( ),exp( ),log( ), log10( )) czy funkcji bardziej skomplikowanych jak np.

zastosowanie szkolnych wzorów na obliczanie pierwiastków równania kwadratowego z przykładu 1. Należy przy tym pami¸etać, że wpraktyce funkcje standardowe ( o ile s¸ a dopuszszczalne) s¸ a obliczane przy użyciu czterech podstawowych operacji arytmetycz- nych. W OCTAVE wyst¸epuj¸ a trzy podstawowe polecenia złożone.

2

(3)

• WARUNKOWE

If W A ₁ else A ₂ lub bardziej złożona If W A ₁ elseif A ₂ else A ₃ end

gdzie W jest wyrażeniem o wartościach logicznych, a A _i dla i =1,2,3 s¸ a poleceniami .

Metody Numeryczne Wykład 1 Specyﬁka obliczeń numerycznych

Metody Numeryczne Wykład 1

Specyfika obliczeń numerycznych

Metody Numeryczne s¸ a dziedzin¸ a wiedzy zajmuj¸ ac¸ a si¸e problemami obliczeniowymi i konstrukcj¸ a algorytmów rozwi¸ azywania zadań matematycznych.

Aby w ogóle mówić o problemie obliczeniowym, musimy najpierw

• określić dane pocz¸atkowe i cel obliczeń, czyli dokładnie sformułować zadanie,

• określić środki obliczeniowe dzi¸eki którym chcemy osi¸agn¸ać cel, czyli zdefiniować model obliczeniowy.

Zadania numeryczne, przykłady

Sformułowanie zadania polega na sformułowaniu tego co mamy i co chcemy uzyskać.

Formalnie polega to na zdefiniowaniu przestrzeni danych F i przestrzni wyników G. i wskazaniu zależności f 7→ g, gdzie f ∈ F i g ∈ G, mi¸edzy danymi a wynikami.Zależność t¸e reprezentuje operator rozwi¸ azania

S : F −→ G.

B¸edziemy przede wszystkim zainteresowani zadaniami numerycznymi. S¸ a to zadania , dla których wynikiem g jest zawsze skończony ci¸ ag liczb rzeczywistych, czyli

G ⊂

∞

[

n=0

R n

x 2 − 2px + q = 0,

dla danych liczb rzecywistych p i q. Wtedy F = R 2 , G = R 0 ∪ R 1 ∪ R 2 , oraz S(p, q) = Ø gdy ∆ < 0, S(p,q)=p gdy ∆ = 0 i S(p,q)=(p + √

∆/2, p − √

∆/2)gdy ∆ > 0.

gdzie ∆ = 4p 2 − 4q.

Przykład 2(Układ równań liniowych)Rozpatrzmy zadanie rozwi¸ azywania układu r’ownań liniowych

A ∗ − → x = − → b

1

dla nieosobliwej macierzy A = (a i,j ) n i,j=1 i wektora − →

b = (b i,j ) n i,j=1 . Wtedy F =

n (A, − →

b ) ∈ R n

+n : det(A) 6= 0 o

,

Przykład 3(Całkowanie) Dla danej funkcji ci¸ agłej f : [a, b] → R, chemy obliczyć całk¸e oznaczon¸ a

I(f ) = Z b

a

f (x)dx.

W tym przypadku G = R, ale dane stanowi pewna klasa funkcji ci¸ agłych określonych na odcinku [a, b], tzn. F ⊂ C ([a, b]) . S jest operatorem całkowania S(a, b, f ) = I.

Model obliczeniowy

Do zdefiniowania modelu obliczeniowego posłużymy si¸e poj¸eciem programu.Zastosujemy przy tym notacj¸e podobn¸ a do j¸ezyka programowania OCTAVE.

Program to zbiór deklaracji, czyli opisu obiektów, które b¸edziemy używać, oraz poleceń (instrukcji), czyli opisu akcji, które b¸edziemy wykonywać.

Dost¸epnymi obiektami s¸ a stałe i zmienne typu całkowitego(integer),rzeczywistego (real) i logicznego typu (Boolean). Zmienne mog¸ a być grupowane w wektory albo tablice.

Polecenia dzielimy na proste i złożone. Poleceniem prostym jest

• PODSTAWIENIE

z = W ;

gdzie z jest zmienn¸ a, a W jest wyrażeniem tego samego typu co z.

Wyrażeniem jest pojedyńcza stała lub zmienna, albo złożenie skoń czonej liczby operacji elementarnych na wyrażeniach. Operacje elementarne to:

arytmetyczno-arytmetyczne:x 7→ −x, (x, y) 7→ x + y, (x, y) 7→ x − y, (x, y) 7→ x ∗ y, (xy) 7→ x/y, gdzie y 6= 0, gdzie x, y s¸ a stałymi lub zmiennymi liczbowymi,

arytmetyczno-logiczne: (x, y) 7→ x < y, (x, y) 7→ x <= y, (x, y) 7→ x = y, (x, y) 7→ x <> y, (x, y) 7→>= y, gdzie x,y s¸ a stałymi lub zmiennymi liczbowymi,

logiczno-logiczne: p 7→ p, (p, q) 7→ p&q, (p, q) 7→ p|q,gdzie p,q s¸ a stałymi lub zmien- nymi logicznymi.

Dla zadań numerycznych wygodnie jest (czasem koniecznie) uzupełnić ten zbiór o do- datkowe operacje, takie jak obliczanie wartości funkcji standardowych

( sqrt,sin( ),cos( ),exp( ),log( ), log10( )) czy funkcji bardziej skomplikowanych jak np.

2

• WARUNKOWE

If W A 1 else A 2 lub bardziej złożona If W A 1 elseif A 2 else A 3 end

gdzie W jest wyrażeniem o wartościach logicznych, a A i dla i =1,2,3 s¸ a poleceniami .

• POWTARZANE for W A end while W A end

gdzie W jest wyrażeniem o wartościach logicznych, a A jest poleceniem.

• KOMBINOWANE begin A 1 ; A 2 ; ...; A n end

• WPROWADZANIE DANYCH D = input(’D =’)

gdzie D jest jest stał¸ a lub zmienn¸ a liczbow¸ a.

• WYPROWADZANIE DANYCH fprintf(’D=format ’,D)

gdzie D jest stał¸ a lub zmienn¸ a liczbow¸ a.

3

R ⁿ

x ² − 2px + q = 0,

dla danych liczb rzecywistych p i q. Wtedy F = R ² , G = R ⁰ ∪ R ¹ ∪ R ² , oraz S(p, q) = Ø gdy ∆ < 0, S(p,q)=p gdy ∆ = 0 i S(p,q)=(p + √

gdzie ∆ = 4p ² − 4q.

dla nieosobliwej macierzy A = (a _i,j ) ⁿ _i,j=1 i wektora − →

b = (b _i,j ) ⁿ _i,j=1 . Wtedy F =

b ) ∈ R ⁿ

⁺ⁿ : det(A) 6= 0 o

If W A ₁ else A ₂ lub bardziej złożona If W A ₁ elseif A ₂ else A ₃ end

gdzie W jest wyrażeniem o wartościach logicznych, a A _i dla i =1,2,3 s¸ a poleceniami .

• KOMBINOWANE begin A ₁ ; A ₂ ; ...; A _n end