an 2 An takich, ktorych zestawienie z jakiegos powodu nas interesuje

Pełen tekst

(1)Matematyka dyskretna dla informatykow. Wyklad 3,4,5 (9.11.98) Wersja 1.0 1. Relacje. 1.1 Podstawowe pojecia ,. Pojecie relacji jest jednym z najwa_zniejszych w matematyce i informatyce. Formalnie , relacja, n-argumentowa, okreslona, w zbiorach A1 An nazwiemy dowolny podzbior iloczynu kartezjanskiego A1 An. Czyli okreslenie relacji polega na wybraniu z wszystkich mo_zliwych n-tek (a1 . . . an) : a1 2 A1 an 2 An takich, ktorych zestawienie z jakiegos powodu nas interesuje. Niech na przyk lad A1 oznacza zbior pasa_zerow w pewnej bazie danych, A2 zbior linii lotniczych w tej bazie, zas A3 | zbior wszystkich po lacze , n lotniczych zarejestrowanych w tej bazie. Zbior A1 A2 A3 oznacza zestawienie wszystkich mo_zliwosci lotu ka_zdego z pasa_zerow na ka_zdej z tras ka_zda, z linii. Elementami tego zbioru bed , a, te_z trojki, ktore w rzeczywistosci moga, nie odpowiadac stanowi faktycznemu chocby z tego powodu, z_ e dana linia lotnicza na danej trasie mo_ze nie miec z_ adnego lotu w rozk ladzie. Nas bed , a, interesowa ly rezerwacje, ktorych pasa_zerowie dokonali w tej bazie danych. Mo_zemy okreslic relacje, R dokonanych rezerwacji w taki sposob, z_ e (a1 a2 a3) 2 R wtedy i tylko wtedy gdy pasa_zer a1 dokona l rezerwacji lotu w liniach lotniczych a2 na trasie a3. Zauwa_zmy przy tym, z_ e jeden pasa_zer mo_ze dokonac kilku rezerwacji na danej trasie w roz_ nych liniach, z_ e kilku roz_ nych pasa_zerow mo_ze dokonac rezerwacji na te, sama, trase, ta, sama, linia,, z_ e w koncu jeden pasa_zer mo_ze korzystac z us lug jednej linii na kilku trasach. Wszystkie te sytuacje mo_zemy wyrazic umieszczajac, odpowiednie zestawienia w relacji R. Nasza relacja jest jednak za s laba, z_ eby wyrazic np. fakt rezerwacji kilku roz_ nych lotow ta, sama, linia, na identycznej trasie przez tego samego pasa_zera (np. dzien po dniu). Gdybysmy chcieli i te, wiadomosc uja,c w relacji opisujacej , rezerwacje, musielibysmy wprowadzic dodatkowe zbiory opisujace , konkretne loty i daty i okreslic nowa, relacje, , np. 5-argumentowa,, ktorej elementem bedzie piatka (pasa_zer, linia lotnicza, trasa, nr lotu, , , data). Szczegolnym rodzajem relacji sa, relacje dwuargumentowe. Stanowia, one na tyle wa_zna, klase, relacji, z_ e bedziemy opuszczali przymiotnik ,,dwuargumentowa" i mowiac, o relacjach , bez dodatkowych okreslen bedziemy rozumieli w lasnie relacje dwuargumentowe. , Jak zobaczylismy, zbiory po laczone relacja, moga, byc bardzo roz_ ne. Czasami jednak , zdarza sie,, z_ e wszystkie sk ladniki relacji, szczegolnie dwuargumentowej, sa, identyczne. Relacja taka jest wtedy podzbiorem kwadratu kartezjanskiego A A oznaczanego te_z przez A2. Mowimy wtedy, z_ e relacja jest okreslona w zbiorze A. Przyk ladami takich relacji sa:, Relacja niemniejszo sci okreslona w zbiorze liczb naturalnych, czyli 2 IN = f(a b) 2 IN 9k 2 IN : a + k = bg. Relacja niemniejszosci okreslona w zbiorze liczb rzeczywistych, czyli R= f(a b) 2 R29c 2 R : a + c2 = bg. 1.

(2) Relacja przystawania modulo n w zbiorze liczb naturalnych, czyli modn = ff(a b) 2 IN 29k l r 2 IN : a = kn + r b = ln + rg. Rzecz jasna nie sa, to jedyne mo_zliwe sposoby deniowania tych skadin , ad , znanych relacji. Zwykle w przypadku relacji dwuargumentowych stosuje sie, notacje, inksowa, piszac, np. zamiast (2 5) 2IN po prostu 2 IN 5 lub wrecz , 2 5, gdy jasne jest w jakiej dziedzinie (w tym przypadku | naturalnej) relacja zosta la okreslona. Dziedzina, relacji nazwiemy zbior tych elementow, ktore wystepuj , a, jako pierwszy sk ladnik par wchodzacych w jej sk lad, a przeciwdziedzina, | zbior tych elementow, ktore , wystepuj a jako drugi sk. l adnik par wchodzacych w jej sk lad. Przyk ladowo dziedzina, relacji , , , ostrej wiekszo sci okreslonej na liczbach naturalnych jest zbior IN nf0g, zas przeciwdziedzina, , zbior IN . Relacja pusta, to po prostu zbior pusty, a relacja pelna, to zbior A A = A2. _ Zadne dwa elementy nie sa, ze soba, w relacji pustej ka_zde dwa elementy sa, ze soba, w relacji pe lnej. Relacja, odwrotna, do relacji R A B nazwiemy relacje, R;1 okreslona, w B A w ;1 ;1 ;1 nastepuj , acy , sposob: (b a) 2 R , (a b) 2 R. Zauwa_zmy, z_ e (R ) = R. Dla dwoch relacji binarnych R1 2 A1 A2 oraz R2 2 A2 A3 okreslamy ich zlo_zenie jako relacje, R A1 A3 w nastepuj , acy , sposo b: (a1 a3) 2 R , 9a2 2 A2 : (a1 a2) 2 R1 (a2 a3) 2 R2. Najcze, sciej mamy do czynienia z sytuacja,, gdy A1 = A2 = A3, czyli gdy wszystkie relacje sa, okreslone w tym samym zbiorze. Wtedy interpretujac, relacje w postaci strza lek l acz elementy zbioru musimy rozroz_ nic (na przyk lad kolorem) , acych , te pary punktow, ktore sa, po laczone relacja, R1 (powiedzmy strza lki czerwone) oraz te. , ktore sa, po laczone relacj a R (powiedzmy strza lki zielone). Wtedy z lo_zenie R1 i R2 bedzie , , 2 , relacja,, ktora laczy ze sob a te elementy, kt o re s a po. l aczone dwiema kolejnymi strza. l kami: , , , , najpierw czerwona,, a potem zielona., Ustalmy te_z notacje, dla relacji z lo_zonej ze soba, kilka razy. Przyjmijmy, z_ e R0 = id oraz Rn+1 = R Rn dla n 0. Pewna klasa relacji odgrywa ogromne znaczenie w matematyce. Niektore relacje R A1 An maja, te, ceche,, z_ e gdy ustalimy elementy a1 . . . an;1, wowczas tylko co najwy_zej jeden element an bedzie z nimi w relacji, czyli spe lniony jest ogolny warunek: , 0 8a1 2 A1 . . . an;1 2 An;1(9an an 2 An : (a1 . . . an;1 an) 2 R ^ (a1 . . . an;1 a0n) 2 R ) an = a0n. Innymi s lowy jesli dwa elementy an oraz a0n sa, w relacji R z elementami a1 . . . an;1, to musza, byc sobie rowne. Dok ladniej: je_zeli ustalimy elementy a1 . . . an;1, to sa, dwie mo_zliwosci: albo nie bedzie z_ adnego elementu wchodzacego z nimi w relacje, , , (implikacja wystepuj , aca , w denicji jest w sposo b trywialny prawdziwa, jako z_ e poprzednik implikacji jest fa lszywy), albo bedzie tylko jeden taki element. Relacje, R, ktora spe lnia , powy_zszy warunek nazywamy funkcja, cze , sciowa,, albo, krocej, funkcja,. Je_zeli dodatkowo dla ka_zdych a1 . . . an;1 istnieje element an (rzecz jasna jedyny) bed , acy , z nimi w relacji, to funkcja taka nazywa sie, funkcja, calkowita,. Zauwa_zmy, z_ e szkolne pojecie , funkcji odpowiada funkcji ca lkowitej, a pojecia , dziedziny funkcji, z lo_zenia funkcji, odwracania funkcji, znane ze szko ly sredniej sa, szczegolnymi przypadkami powy_zszych okreslen dla relacji. Zauwa_zmy te_z, z_ e choc dla ka_zdej relacji istnieje relacja odwrotna, to nie dla ka_zdej funkcji istnieje funkcja odwrotna. Relacja odwrotna do relacji, ktora jest funkcja,, sama byc funkcja, nie musi. Na przyk lad relacja f(x y) 2 R2 : x2 = yg jest funkcja,, ale relacja odwrotna f(y x) 2 R2 : x2 = yg ju_z funkcja, nie jest. Nale_za, do niej chocby pary (1 ;1) oraz (1 1). Przyk lad. Rozwa_zmy relacje, log2 okreslona, w zbiorze R w nastepuj , acy , sposob: (x y ) 2 log2 , x > 2.

(3) 0 ^ 2y = x. Dziedzina, tej relacji jest zbior wszystkich liczb dodatnich, przeciwdziedzina, ca ly zbior R. Relacja ta jest funkcja., Nale_za, do niej przyk ladowo pary 1 ;10) ( 1 ;1) (1 0) (2 1) (1024 10): ( 1024 2 Jest to funkcja logarytmiczna. Standardowo piszemy np. zamiast (2 1) 2 log2 po prostu log2(2) = 1 lub wrecz , log2 2 = 1. Relacja odwrotna do log2 jest tak_ze funkcja., Jej dziedzina, jest zbior R, a przeciwdziedzina, zbior R+ . Sk lada sie, ona m.in. z par 1 ) (;1 1 ) (0 1) (1 2) (10 1024): (;10 1024 2 Jest to funkcja wyk ladnicza. Z lo_zenie relacji log2 oraz relacji odwrotnej log;2 1 jest tak_ze funkcja., Jest to funkcja identycznosciowa na zbiorze R+ (czyli zbior par (x x) takich z_ e x 2 R+ ). Z kolei z lo_zenie relacji (funkcji) log;2 1 oraz relacji (funkcji) do niej odwrotnej, czyli log2 tak_ze jest funkcja,, ale nieco inna., Te_z jest to funkcja identycznosciowa, ale na ca lym zbiorze R. Niektore cechy relacji sa, szczegolnie wa_zne. Przedstawimy teraz podstawowe rodzaje relacji. Niech R X X dla pewnego ustalonego zbioru X . R jest zwrotna , 8a 2 X : (a a) 2 R. R jest przeciwzwrotna , 8a 2 X : (a a) 2= R. R jest symetryczna , 8a b 2 X : (a b) 2 R ) (b a) 2 R. R jest asymetryczna , 8a b 2 X : (a b) 2 R ) (b a) 2= R. R jest antysymetryczna , 8a b 2 X : (a b) 2 R ^ (b a) 2 R ) a = b. R jest przechodnia , 8a b c 2 X : (a b) 2 R ^ (b c) 2 R ) (a c) 2 R. R jest spojna , 8a b 2 X : (a b) 2 R _ (b a) 2 R. Wa_znym pojeciem jest te_z domkniecie relacji ze wzgledu na pewna, ceche,, czyli jej , , , uzupe lnienie o minimalna, liczbe, elementow tak, aby zapewnic zachodzenie tej cechy. Zw laszcza istotne sa, domkniecia przechodnie, a tak_ze symetryczne i zwrotne. Zacznijmy , mo_ze od tego ostatniego. Domknieciem zwrotnym relacji R nazwiemy relacje, R id. , Domkniecie symetryczne relacji R , to relacja R R;1. Domkniecie przechodnie relacji , , R, to relacja, ktora sk lada sie, z wszystkich par (a b) takich, z_ e (a b) 2 Rn dla pewnego n 1. Domkniecie oznaczali symbolem R+ , domkniecie , przechodnie relacji R bedziemy , , s , a domkniecie jednoczesnie zwrotne symbolem Rz , domkniecie symetryczne symbolem R , , zwrotne i przechodnie symbolem R. Je_zeli spojrzymy na relacje, R gracznie jako na strza lki l acz , ace , ze soba, narysowane punkty, to jej domkniecie zwrotne odpowiada dorysowaniu brakujacych petelek , , , (czyli strza lek prowadzacych od ka_zdego wez. , , la do siebie samego) przy ka_zdym punkcie, domkniecie symetryczne | uzupe lnienie ka_zdej strza lki o przeciwny kierunek, a domk, niecie przechodnie | po laczenie strza lka, ka_zdej pary punktow (a b) takiej, z_ e z a do b , , mo_zna dojsc po strza lkach relacji R. 3.

(4) Zauwa_zmy w koncu, z_ e relacje sa, zbiorami, wiec , mo_zna na nich wykonywac wszystkie dzia lania teorii zbiorow, a wiec sumowanie, iloczyn, roz_ nice,, dope lnienie itd. , Przedstawimy teraz kolekcje, relacji ka_zdemu doskonale znanych z z_ ycia codziennego i sprobujemy zilustrowac wprowadzone pojecia. Za loz_ my, z_ e rozwa_zamy relacje rodzinne w , zbiorze ludzi znajdujacych sie, obecnie na ziemi (mo_zna te_z dorzucic do tego zbioru pare, , minionych pokolen). W tym zbiorze okreslone sa, naturalne relacje MATKA i OJCIEC. Powiemy, z_ e (x y) 2 MATKA jesli y jest matka, x, zas (x y) 2 OJCIEC jesli y jest ojcem x. Za loz_ my te_z istnienie jednoargumentowych relacji ON i ONA mowiacych o , tym, czy ktos jest me_, zczyzna, czy kobieta., Zatem x 2 ONA, albo, krocej, ONA(x), gdy x jest kobieta, i analogicznie dla me_, zczyzn. Z przyczyn technicznych warto te_z zdeniowac relacje ONI = f(x x) : ON(x)g oraz ONE = f(x x) : ONA(x)g. Relacje ONI i ONE sa, podzbiorami relacji id. Dowolna relacja z lo_zona z relacja, ONI (ONE) pozostawi tylko te elementy, ktore na drugiej wspo lrzednej maja, me_, zczyzn (kobiety). Podobnie, relacja , ONI (ONE) z lo_zona z dowolna, relacja, pozostawi z niej tylko te pary, ktore maja, na pierwszej wspo lrzednej me_, zczyzn (kobiety). Podstawowymi relacjami bed , , a, te_z relacje ; 1 _ MA, Z_ = f(x y) : y jest me_, zem xg i ZONA = MA, Z_ . Bed , a, to nasze relacje bazowe i z nich wyprowadzimy znane skadin , ad , dalsze relacje rodzinne.. Relacja ,,x jest rodzicem y" to po prostu relacja RODZIC = MATKA OJCIEC Relacja ,,b jest bratem a", to relacja BRAT = f(a b) : a 6= b ^ ON(b) ^ 9m o : MATKA(a m) MATKA(b m) OJCIEC(a o) OJCIEC(b o)g. Zauwa_zmy, z_ e relacja ((MATKA MATKA;1) \ (OJCIEC OJCIEC;1 ) n id) ONI jest dok ladnie relacja, . . BRAT. SIOSTRA = ((MATKA MATKA;1) \ (OJCIEC OJCIEC;1) n id)ONE Relacja CA LE RODZEN STWO = (MATKA OJCIEC)(MATKA OJCIEC);1 n id deniuje rodzenstwo zarowno naturalne, jak i przyrodnie. Relacja OJCIEC BRAT to STRYJ. Sprobujmy zdeniowac relacje, WUJ. Jest to niewatpliwie brat matki, a wiec , , mo_zemy go zdeniowac jako MATKA BRAT (najpierw idziemy po strza lce do matki, a potem do jej brata). Wujem te_z nazywa sie, me_, za ciotki. Zatem kim jest ciotka? Ciotka, to siostra matki lub ojca, wiec , CIOTKA = RODZICSIOSTRA. Uwaga: zgodnie z polska, tradycja, z_ ona wuja to wujenka, a nie ciotka. Inaczej mielibysmy ma le k lopoty: do zdeniowania wuja by laby potrzebna ciotka (jako jego z_ ona), a do zdeniowania ciotki | wuj (jako jej ma_,z). Grozi loby to zapetleniem , sie., Ostatecznie jednak WUJ = MATKA BRAT CIOTKA MA, Z._ Dziadek, to rodzic do kwadratu p lci meskiej: DZIADEK = RODZIC2ONI, a bab, cia to BABCIA = RODZIC2ONE. Mo_zna te_z inaczej: DZIADEK = RODZIC OJCIEC, a BABCIA = RODZIC MATKA. WNUCZE, = (DZIADEK BABCIA);1, zas WNUK = WNUCZE, ONI. PRZODEK = RODZIC+ POTOMEK = PRZODEK;1. 4.

(5) KREWNY = PRZODEKz POTOMEKz . Ktos jest zatem moim krewnym, jesli znajde, takiego swojego przodka, ktorego on jest potomkiem.. Podamy teraz denicje, grafu relacji, ktora zostanie pozniej uogolniona. Grafem relacji R okreslonej w zbiorze A nazwiemy pare, (A R). Zbior A nazywamy zbiorem wez , low lub wierzcholkow grafu, a zbior R | zbiorem jego krawedzi reprezento, . Grafy bedziemy , wali gracznie w postaci rysunkow, w ktorych wez. l y s a punktami, a elementy relacji | , , strza lkami. Scie_zka, d lugosci n w grae relacji (A R) nazwiemy ciag, v0 e1 v1 e2 . . . en vn, gdzie dla ka_zdego i = 1 . . . n : ei = (vi;1 vi). Scie_zka, jest zatem ciag, kolejnych wez. , low i krawedzi prowadzacych od v0 do vn. Je_zeli v0 = vn, to scie_zke, nazywamy cyklem. Jesli , , dodatkowo z_ aden pozosta lych z wez. , low sie, nie powtarza, to taki cykl nazywamy prostym. Graf nazwiemy pelnym, jesli R = A2, czyli gdy jest grafem relacji pe lnej: ka_zde dwa elementy A sa, wtedy ze soba, w relacji. Graf relacji symetrycznej bedziemy nazywali nie, zorientowanym i strza lki odpowiadajace relacjom b edziemy rysowa c w postaci odcinkow , , zak ladajac, , z_ e ka_zdy (niezorientowany) odcinek reprezentuje dwie strza lki: po jednej dla ka_zdego kierunku.. 1.2 Relacje rownowa_znosci i podzialy. Relacja, rownowa_znosci jest ka_zda relacja jednoczesnie zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przyk lady relacji rownowa_znosci: Relacja rownosci elementow dowolnego zbioru (identycznosc) jest relacja, rownowaz_ nosci. Relacja osiagalno sci w grae relacji zwrotnej i symetrycznej, ktora, deniujemy tak: , b jest osiagalne z a, jesli istnieje scie_zka prowadzaca , , w tym grae od a do b. Relacja RODZEN STWO, ktora obejmuje te pary, ktore maja, identycznych rodzicow. Relacja modn przystawania modulo n dla n > 0 w zbiorze liczb naturalnych: (a b) 2 modn , amodn = bmodn. Relacja nale_zenia do tej samej grupy cwiczeniowej z PRG. Nie sa, natomiast relacjami rownowa_znosci nastepuj , ace , relacje: Relacja pokrewienstwa KREWNY. (brak przechodniosci!) Relacja BRAT(ani zwrotna ani symetryczna ani przechodnia!) Relacja nale_zenia do tej samej grupy cwiczeniowej z czegokolwiek w PJWSTK. Klasa, abstrakcji elementu a 2 A relacji rownowa_znosci R nazwiemy zbior fb : (a b) 2 Rg. Klase, abstrakcji elementu a oznaczamy przez a]. Zbior klas abstrakcji relacji R oznaczamy przez A=R i nazywamy zbiorem ilorazowym. Podzialem zbioru A nazwiemy rodzine, jego podzbiorow A1 . . . Ak taka,, z_ e spe lnione sa, dwa warunki: A1 Ak = A. 5.

(6) 8i 6= j : Ai \ Aj = : Czyli podzia lem zbioru A nazywamy ka_zdy zbior roz lacznych parami podzbiorow zbioru , A, ktore w sumie daja, ca ly zbior A. Zasada abstrakcji g losi, z_ e miedzy podzia lami zbioru, , a relacjami rownowa_znosci istnieje wzajemna odpowiedniosc. Ka_zda relacja rownowa_znosci wyznacza pewien podzia l, a ka_zdy podzia l deniuje unikalna, relacje, rownowa_znosci: taka,, z_ e para elementow jest ze soba, w tej relacji, gdy oba elementu znajduja, sie, w jednym podzbiorze. Przyk lady: Relacja osiagalno sci deniuje podzia l zbioru A na regiony po laczone ze soba, scie_zka, , mi w grae relacji. W szczegolnosci gdybysmy rozwa_zali graf po lacze , n drogowych na kuli ziemskiej, to zapewne jedna, klase, abstrakcji stanowi lyby wszystkie kontynentalne wez. nskie, kolejna, wez. , ly azjatyckie, europejskie i afryka , ly obu Ameryk, kolejna, | wez. , ly australijskie, dalej osobno wez. , ly brytyjskie, islandzkie itd. Ogolnie ka_zda wyspa stanowi laby swoja, klase, abstrakcji. Relacja RODZEN STWO uto_zsamia dzieci tych samych rodzicow. Z pewnych wzgle-, dow rozroz_ nianie miedzy nimi mo_ze byc nieistotne: na przyk lad gdy rodzic dostaje , zaproszenie na jaka,s impreze, dla siebie i jednego dziecka, to nie wa_zne, ktore ze swoich dzieci ze soba, zabierze. Mowiac, w jezyku potocznym ,,jedno dziecko" mamy , w takim przypadku na mysli reprezentanta odpowiedniej klasy abstrakcji relacji RODZEN STWO. Relacja modn dzieli zbior liczb naturalnych na n klas abstrakcji. Do pierwszej z nich nale_za, te wszystkie liczby, ktore przy dzieleniu przez n daja, reszte, 0, do drugiej | te, ktore daja, reszte, 1, . . ., do n-tej te, ktore daja, reszte, n ; 1. Praktyka pokazuje, z_ e przy analizie systemow nale_zy abstrahowac od nieistotnych szczegol ow ustalajac, mo_zliwie du_za, relacje, rownowa_znosci, ktora pozwoli skoncentrowac sie, na istotych roz_ nicach. Zbior ilorazowy takiej relacji jest z regu ly prostszy i przez to. latwiejszy do implementacji. Ustalenie odpowiedzniej relacji rownowa_znosci jest jednym z podstawowych narzedzi informatyka porzadkuj acego badany przez siebie swiat. , , ,. 1.3 Relacje porzadku ,. Inna, wa_zna, klasa, relacji sa, relacje porzadkuj ace , , zbior. Ze szko ly znamy najprostsze takie relacje: porzadki liczbowe. Zbiory liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych , sa, uporzadkowane relacja, niemniejszosci. Uogolnimy teraz to pojecie. , , Relacja R okreslona na zbiorze A jest relacja, porzadku cze , , sciowego lub, krocej, relacja, porzadku , , wtedy i tylko wtedy gdy jest zwrotna antysymetryczna przechodnia. 6.

(7) Zauwa_zmy, z_ e relacje porzadkuj ace , , zbiory liczbowe spe lniaja, wszystkie te w lasnosci. Zauwa_zmy, z_ e nie ma za lo_zenia o spojnosci relacji porzadku cze , , sciowego. Mo_ze sie, zdarzyc, z_ e relacja porzadku nie jest w stanie uporzadkowa c dwoch roz_ nych elementow. , , Oznacza to, z_ e mo_ze sie, zdarzyc sytuacja, w ktorej nie mo_zna stwierdzic ani z_ e (a b) 2 R, cze, sciowego jest dodatkowo spojna ani z_ e (b a) 2 R. Natomiast gdy relacja porzadku , (czyli miedzy ka_zdymi dwoma elemenatmi mo_zna okreslic, ktory z nich jest wiekszy lub , , rowny), to taka, relacje, nazwiemy relacja, porzadku liniowego . , Przyk lady. n Relacja IN porzadkuj aca , , punkty przestrzeni IN , czyli wektory liczb naturalnych. Powiemy, z_ e (a1 . . . an) (b1 . . . bn ) , a1 b1 ^ ^ an bn . Relacja porzadku leksykogracznego, stosowana w s lownikach. Na zbiorach s low , nad danym skonczonym alfabetem deniujemy porzadek w nastepuj , , acy , sposo b. Po pierwsze okreslamy porzadek liter w alfabecie. Nastepnie majac, dwa s lowa , , ustalamy, z_ e interesuje nas pierwsza od lewej roz_ niaca , je litera. Mniejsze bedzie , to s lowo, ktorego taka pierwsza od lewej rozniaca je litera jest mniejsza w sensie , porzadku alfabetycznego od swojej odpowiedniczki w drugim s lowie. Je_zeli takiej , litery nie ma, to jedno z rozwa_zanych s low musi byc poczatkiem drugiego. Wtedy , to z nich, ktore jest krotsze jest mniejsze. Jesli oba sa, dodatkowo tej samej d lugosci, to sa, one rowne. Porzadkujemy punkty p laszczyzny w uk ladzie kartezjanskim nastepuj (x1 y1) K , , aco: , (x2 y2) , (x1 < x2) _ (x1 = x2) ^ (y1 y2). Zdeniowany porzadek nazywamy , leksykogracznym porzadkiem kartezja n skim . , Porzadkujemy punkty p laszczyzny nastepuj ka_zdemu punktowi przypisujemy , , , aco: pare, liczb: (r '). Zak ladamy przy tym, z_ e r 0 0 ' < 2. Interpretujemy r jako odleg losc od srodka uk ladu wspo lrzednych O, zas ' jako miare, kata , miedzy , osia, OX , a prosta, lacz ac a pocz atek uk. l adu wsp o l. rz ednych z naszym punktem, o ile , , , , , 0). jest on roz_ ny od O. Umawiamy sie, dodatkowo, z_ e punkt O ma wspo lrzedne (0 , Reszta | tak jak poprzednio: (r1 '1) B (r2 '2) , (r1 < r2) _ (r1 = r2) ^ ('1 '2). Zdeniowany porzadek nazywamy leksykogracznym porzadkiem biegunowym. , , Relacja inkluzji na zbiorze podzbiorow dowolnego zbioru. Relacja porzadku na zbiorze funkcji rzeczywistych okreslonych na domknietym od, , cinku a b] zdeniowana nastepuj f g , 8x 2 a b] : f (x) g(x). , aco: , Zauwa_zmy, poza pierwsza, i ostatnia, z przyk ladowych relacji wszystkie przyk ladowe relacje sa, relacjami porzadku ca lkowitego. Ostatnia relacja porzadku na funkcjach jest relacja, , , 2 porzadku cze , , sciowego: nie sposo b np. stwierdzic, ktora z dwoch funkcji: f (x) = x oraz g(x) = 1 jest wieksza na przedziale 0::2]. , Porzadki leksykograczne stanowia, z informatycznego punktu widzenia wyjatkowo , , wa_zna, klase, porzadk o w. Umo_ z liwiaj a one okre s lenie relacji porz adku liniowego na ilo, , , czynach kartezjanskich (bazy danych!) gdy dane sa, porzadki liniowe na sk ladnikach tego iloczynu. Wa_znymi pojeciami sa, te_z okreslenia elementow najwiekszych i maksymalnych (odpo, , wiednio najmniejszych i minimalnych). 7.

(8) Niech A bedzie relaca, porzadku cze , , , sciowego okreslonego w zbiorze A. Elementem najwiekszym (odp. najmniejszym) nazwiemy taki element a 2 A, z_ e dla ka_zdego b 2 A , zachodzi b A a (odp. a A b). Elementem maksymalnym (odp. minimalnym) nazwiemy taki element a 2 A, z_ e nie istnieje roz_ ny od a element b 2 A taki, z_ e a A b (odp. b A a). naturalnych Przyklad 1: Rozwa_ zmy zbior niezerowych wektorow o wspol rzednych , oraz relacje, IN porzadku cze (zdeniowana, wczesniej w , , sciowego po wspo lrzednych , przyk ladach). W zbiorze tym istnieja, trzy elementy minimalne: 1 0 0] 0 1 0] oraz 0 0 1]. Nie ma w tym zbiorze elementu najmniejszego, ani maksymalnego (a tym bardziej najwiekszego). Gdybysmy uzupe lnili ten zbior o wektor zerowy 0 0 0], to sta lby , sie, on elementem najmniejszym tej relacji i jednoczesnie jedynym minimalnym. Przyklad 2: Rozwa_ zmy domkniecie zwrotne relacji ,,bycia przodkiem" w drzewie , z genealogicznym ludzkosci. Powiemy wiec, , z_ e xPRZODEK y , jesli x jest przodkiem y lub x = y. Jest to relacja cze (patrz cwiczenia do tego rozdzia lu). , sciowego porzadku , Umowmy sie,, z_ e xPRZODEKz y bedzie mia. l o znaczenie x y (_zeby okreslic kierunek , strza lek). Elementy maksymalne tej relacji, to wszyscy ludzie, ktorzy nigdy nie mieli, lub nie maja, dzieci. Elementy minimalne sa, dwa: Adam i Ewa. Zauwa_zmy, w ka_zdej relacji porzadku ka_zdy element najwiekszy jest maksymalny (a , , najmniejszy | minimalny), ale nie na odwrot. W zbiorze mo_ze byc co najwy_zej jeden element najwiekszy (najmniejszy), a elementow maksymalnych mo_ze byc wiecej , , ni_z jeden. Relacje porzadkuj ace pe. l ni a fundamentaln a rol e w przygotowaniu danych do ich wyko, , , , , rzystania w algorytmach. Przede wszystkim chodzi tu o algorytm przeszukiwania binarnego, ktory omowimy dok ladnie na programowaniu. Aby moc zastosowac ten algorytm trzeba miec relacje, porzadku liniowego. Czasami taka, relacje, wprowadza sie, ca lkowicie , sztucznie (np. porzadkuje sie, kolory, rodzaje materia lu itp.) tylko po to, z_ eby wymusic , odpowiedz na pytanie, ktory element jest wiekszy lub rowny. , Okazuje sie, te_z, co pokaza l Szpilrajn, z_ e ka_zda, relacje, porzadku cze , , sciowego mo_zna uzupe lnic o takie elementy, aby sta la sie, relacja, porzadku ca. l kowitego. Algorytmy, ktore , tego dokonuja, nazywaja, sie, algorytmami sortowania topologicznego.. 1.4 Podobienstwa i pokrycia. Czesto spotykamy sie, z sytuacja,, kiedy interesujaca , , nas relacja majaca , pogrupowac elementy w grupy o zbli_zonych w lasciwosciach nie jest przechodnia. Przyk ladem takiej relacji jest relacja podobienstwa w rodzinie. Czesto zdarza sie, tak, z_ e ojciec jest podobny , do corki, corka do matki, a ojciec do matki | niekoniecznie. Mowi sie, co prawda, z_ e to corka jest podobna do ojca, ale przyjmiemy tutaj, z_ e relacja podobienstwa w rodzinie jest symetryczna. Ogolnie relacja, podobienstwa nazwiemy ka_zda, relacje, zwrotna, i symetryczna., Przyk lady relacji podobienstwa: Relacja pokrewienstwa KREWNY. Matka jest krewna, syna, syn krewnym ojca, ale matka na ogol krewna, ojca nie jest. Relacja podobngo ow losienia g lowy zdeniowana tak, z_ e podobne ow losienie maja, takie dwie osoby, ktorych liczba w losow na g lowie roz_ ni sie, co najwy_zej o jeden. Zwrotnosc i symetrycznosc tej relacji jest oczywista, a przechodniosc nie zachodzi: 8.

(9) gdyby tak by lo, to kompletnie lysy facet mia lby ow losienie podobne do Claudii Schier. Wszystkie relacje rownowa_znosci (nie jest wcale zastrze_zone, z_ e podobienstwo nie mo_ze byc relacja, przechodnia). , Dla danej relacji podobienstwa wa_zne jest okreslenie maksymalnych podzbiorow, w ktorych ta relacja jest te_z przechodnia. W pewnym sensie mo_zemy mowic wtedy o silnym podobienstwie ze wzgledu na pewna, ceche., Tyle tylko, z_ e ta cecha nie musi byc , jednakowa dla wszystkich takich grup (tak by lo w przypadku relacji rownowa_znosci). Na przyk lad dla relacji pokrewienstwa takim podzbiorem mo_ze byc zbior krewnych danej osoby. Typem podobienstwa bedzie w tym przypadku pokrewienstwo z ta, w lasnie osoba., , Niech zatem dla danej relacji podobienstwa P typem podobienstwa bedzie ka_zdy ma, ksymalny podzbior elementow, w ktorym ka_zde dwa sa, ze soba, w relacji P . Pokryciem zbioru A nazwiemy ka_,zda, taka, rodzine, jego podzbiorow fA1 A2 . . ., z_ e A1 A2 = A. Pokrycie P nazwiemy wlasciwym, jesli z_ aden podzbior Ai 2 P nie jest podzbiorem z_ adnego Aj 2 P dla i 6= j . Okazuje sie,, z_ e miedzy relacjami podobienstwa, a pokryciami w lasciwymi ka_zdego , zbioru istnieje analogiczny zwiazek, jak miedzy relacjami rownowa_znosci, a podzia lami. , , Je_zeli dane jest podobienstwo P , to zbior typow tego podobienstwa stanowi jednoznacznie wyznaczone pokrycie. Jest to pokrycie w lasciwe. Na odwrot, jesli dane jest pokrycie w lasciwe P = A1 A2 . . . zbioru A, to relacja P = f(a b)g : 9i : (a b) 2 Ai jest relacja, podobienstwa. Je_zeli relacja podobienstwa jest jednoczesnie relacja, rownowa_znosci, to pokrycie z nia, zwiazane jest podazia lem, a typy tej relacji podobien stwa sa, klasami abstrakcji. , Zadania. 1. Zadania 1/140, 2/141,13,14/142,3,6,7,8,9,10/141 z ,,Matematyki dyskretnej". 2. Ktore ze zdeniowanych w lasnosci spe lniaja, relacje pusta i pe lna? 3. Czy prawdziwe sa, nastepuj , ace , stwierdzenia Jesli relacja jest asymetryczna (odp. przeciwzwrotna), to nie jest symetryczna (odp. zwrotna) Jesli relacja jest symetryczna i przechodnia, to jest zwrotna Domkniecie , przechodnie relacji przechodniej jest jej rowne Wynik domkniecia , relacji zwrotnego, symetrycznego i przechodniego zale_zy od kolejnosci dokonywania tych domknie ,c Domkniecie , zwrotne, symetryczne i przechodnie jest relacja, pe lna, 4. Zdeniuj w rachunku relacji wychodzac, od relacji zdenowanych w tekscie naste-, pujace , relacje rodzinne: Stryjenka (_zona stryja) Jatrew (w tym stosunku rodzinnym sa, ze soba, z_ ony braci) , Kuzyn (wspolni dziadkowie, ale nie rodzice) 9.

(10) Szwagier (ma_,z siostry albo brat z_ ony lub me_, za). 5. Ktore z poni_zszych rownosci sa, prawdziwe: DZIADEK = ONI RODZIC2? SIOSTRA = RODZEN STWO ONE? BRAT BRAT;1 = BRAT;1 BRAT? 6. Dla ka_zdej z relacji rodzinnych okresl, czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia, antysymetryczna. 7. Poka_z, z_ e relacja PRZODEKz jest relacja, cze, sciowego porzadku. , 8. Poka_z, z_ e jesli R jest relacja, cze to jest nia, rownie_z relacja R;1 . , , sciowego porzadku, 9. Ktora z liczb bedzie pie leksykogracznego liczb , , cdziesiata , w relacji uporzadkowania , od 1 do 100 wed lug zapisu literowego po polsku (liczby zapisujemy tak: jeden, dwa, trzy. . . . Oczywiscie tutaj np. dwa<jeden<trzy)? cyfrowego w uk ladzie dziesietnym. (Uwaga: tu np. 11 < 2)? , rzymskiego? 10. Uogolnij denicje porzadk , ow kartezjanskiego i biegunowego na przypadek trojwymiarowy. 11. Czy relacja K \ B jest relacja, porzadku cze , , sciowego porzadku liniowego? , 12. Czy relacja K B jest relacja, porzadku cze , , sciowego porzadku liniowego? ,. 10.

(11)