Geometria Zbiorów Analitycznych

Geometria Zbiorów Analitycznych

Literatura Pomocnicza:

1. E.Bierstone, P.D.Milman, Semianalytic and Subanalytic Sets, Publ.

Math. I.H.E.S. 67 (1988), 5-42,

2. B.Malgrange, Ideals of Dierentiable Functions, Oxford University Press 1966

3. S.Šojasiewicz, Ensembles SemiAnalytiques, I.H.E.S. 1964,

4. S.Šojasiewicz, Wst¦p do geometrii analitycznej zespolonej, PWN 1988,

5. S.Šojasiewicz, J.Stasica, Analiza formalna i funkcje analitycze, Wy- dawnictwo Uniwersytetu Jagiello«skiego 2005.

1 Oznaczenia

K  ciaªo liczb rzeczywistych R, lub ciaªo liczb zespolonych C K

= K × · · · × K × K

| {z }

n

, czyli R

lub C

Punkty: K

3 p = (p

, . . . , p

) , p

, . . . , p

∈ K Pocz¡tek ukªadu: 0 = (0, . . . , 0)

p, q ∈ K

: |p| = p|p

|

+ · · · + |p

|

d(p, q) = |p − q| = p|p

− q

|

+ · · · + |p

− q

|

i -ta wspóªrz¦dna x

: x

(p) = p

, wi¦c

x

: K

→ K

(Gdy K = C to u»ywa si¦ cz¦sto symbolu z

zamiast x

.)

(K

, d)  jest przestrzeni¡ metryczn¡, izometryczn¡ z R

lub z R

× · · · × R

| {z }

n

=

R

, ze standardow¡ metryk¡ euklidesow¡.

Niech U ⊂ K

b¦dzie zbiorem otwartym, p ∈ U, oraz f : U → K.

Deniujemy pochodn¡ cz¡stkow¡

(p) = D

f (p) jako lim

h→0

f (p

, . . . , p

+ h, . . . , p

) − f (p

, . . . , p

, . . . , p

)

h ,

o ile ta granica istnieje.

• N = {0, 1, 2, . . .}

• Wielowska¹nik: α = (α

, . . . , α

), α

∈ N

• |α| = α

+ · · · + α

 norma wielowska¹nika

• α ! = α

! · · · α

!  silnia wielowska¹nika

• D

f = ∂

f /∂x

= ∂

f /∂x

. . . ∂x

• x

= x

· · · x

 jednomian stopnia |α| (Uwaga: Przyjmujemy, »e D

f = f , (0, . . . , 0)! = 0! = 0, x

= 1 )

2 Funkcje analityczne

C ⊃ U  zbiór otwarty

f : U → C

Funkcja f jest holomorczna, je»eli dla ka»dego punktu a ∈ U istnieje pochodna

f

(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

Je»eli f jest holomorczna, to w ka»dym punkcie a ∈ U i dla dowolnego k ≥ 1 istnieje k-ta pochodna f

(a) .

Je»eli D(a, r) ⊂ U, to funkcja f rozwija si¦ w szereg pot¦gowy w kole D(a, r) , tzn.

f (z) =

∞

X

k=0

a

(z − a)

( dla z ∈ D(a, r) ),

gdzie a

=

f

(a) . A wi¦c, dla dowolnego punktu a ∈ U, w pewnym

otwartym otoczeniu tego punktu funkcja f jest równa rozwini¦ciu f w

niesko«czony szereg pot¦gowy Taylora w punkcie a.

Denicja. Niech U ⊂ K

b¦dzie zbiorem otwartym, oraz niech f : U → K.

Powiemy, »e funkcja f jest analityczna w punkcie p ∈ U, je»eli istnieje taka kula otwarta B(p, r) ⊂ U (r > 0) oraz wspóªczynniki a

∈ K (α ∈ N

) takie, »e

f (x) = f (x

, . . . , x

) = X

α∈Nⁿ

a

(x

− p

)

· · · (x

− p

)

dla wszystkich punktów x ∈ B(p, r), i szereg po prawej stronie jest bezwzgl¦dnie zbie»ny. (Wtedy mo»na dowolnie zmienia¢ kolejno±¢ su- mowania po prawej stronie.)

Denicja. Funkcja f jest analityczna w zbiorze U, je»eli jest anali- tyczna w ka»dym punkcie p ∈ U. B¦dziemy wtedy pisa¢ f ∈ O(U).

Je»eli chcemy wyra¹nie zaznaczy¢ jakie jest ciaªo K, to mo»emy mó- wi¢ o funkcjach K-analitycznych, i u»ywa¢ symbolu O

(U ) .

‚wiczenie 2.1 Niech K = C, niech U b¦dzie otwarty w C, niech f : U → C. Wtedy f jest C-analityczna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy, gdy f jest holomorczna w zbiorze U. W tym przypadku

f ∈ O

(U ) ⇔ f ∈ H(U ) .

‚wiczenie 2.2 Funkcja jednej zmiennej rzeczywistej f(x) = 1/(1+x

) jest okre±lona (i analityczna!) na caªej prostej R, ale jej rozwini¦cie w szereg Taylora w punkcie 0 :

1 − x

+ x

− x

+ x

− x

+ · · ·

jest szeregiem pot¦gowym zbie»nym tylko na odcinku (−1, 1).

‚wiczenie 2.3 Zdeniujmy funkcj¦

ϕ(x) =  e

dla x > 0 0 dla x ≤ 0 Poka», »e

• ϕ jest funkcj¡ klasy C

na prostej R

• ϕ nie jest R-analityczna w a = 0

• ϕ jest R-analityczna w ka»dym punkcie a ∈ R \ {0}

Napis postaci

f (x) = f (x

, . . . , x

) = X

α∈Nⁿ

a

(x

− p

)

· · · (x

− p

)

nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku w punkcie p = (p

, . . . , p

) . Przykªad. Je»eli a ∈ K oraz n = 1, to szereg pot¦gowy w punkcie a ma posta¢

f (x) =

∞

X

k=0

a

(x − a)

.

Niech R ≥ 0 b¦dzie promieniem zbie»no±ci tego szeregu. Je»eli

|x − a| = r < R , to szereg f(x) jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, a wi¦c X |a

| · |x − a|

= X

|a

| · r

< ∞ .

Je»eli |x − a| = s > R, to P |a

| · s

= ∞ , wi¦c szereg f(x) nie jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Wi¦c je»eli r ≥ 0 oraz P |a

| · r

< ∞ , to r ≤ R.

Wniosek 2.4 Szereg pot¦gowy jednej zmiennej f(x) = P a

(x − a)

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny w pewnym otwartym otoczeniu punktu a ∈ K wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje r > 0 takie, »e P |a

| · r

< ∞ .

‚wiczenie 2.5 Poda¢ przykªad szeregu pot¦gowego o promieniu zbie»- no±ci R = 0.

Twierdzenie 2.6 Szereg pot¦gowy n-zmiennych f (x) = f (x

, . . . , x

) = X

α∈Nⁿ

a

(x

−p

)

· · · (x

−p

)

= X

α

a

(x−p)

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny w pewnym otwartym otoczeniu punktu p = (p

, . . . , p

) ∈ K

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje r > 0 takie, »e

X

α∈Nⁿ

|a

| · r

· · · r

= X

α

|a

| · r

< ∞ .

Warunek ten pozwala sprawdza¢, czy szereg pot¦gowy deniuje funk- cj¦ K-analityczn¡ w punkcie p.

‚wiczenie 2.7 Funkcje analityczne s¡ klasy C

. Mo»na je dodawa¢,

odejmowa¢, mno»y¢, dzieli¢, i wynik dziaªania pozostanie funkcj¡ ana-

lityczn¡.

Klasa funkcji analitycznych zawiera funkcje wielomianowe, pot¦gowe, wykªadnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, hiperboliczne,... .

‚wiczenie 2.8 Je»eli f(x) = f(x

, . . . , x

) jest analityczna w punkcie p ∈ K

, to

f (x) = X

α

D

f (p)

α! (x − p)

w pewnym otwartym otoczeniu punktu p.

Twierdzenie 2.9 (Hartogs) Je»eli U ⊂ C

jest zbiorem otwartym, f : U → C, oraz dla ka»dego p ∈ U istniej¡ pochodne zespolone

∂f

∂z

(p), . . . , ∂f

∂z

(p) , to funkcja f jest analityczna.

3 Zbiory analityczne

Niech X b¦dzie podzbiorem otwartego zbioru U ⊂ K

.

Denicja. Zbiór X jest analityczny w U, je»eli dla ka»dego punktu p ∈ U istnieje otoczenie otwarte W punktu p oraz istnieje sko«czona rodzina funkcji analitycznych f

, . . . , f

∈ O(W ) , »e

(i) p ∈ W ⊂ U,

(ii) X ∩ W = {x ∈ W | f

(x) = · · · = f

(x) = 0} .

Przykªad. X = {(x, y) ∈ R

| sin(xy) = 0} .

Przykªad. X = {(x, y, z) ∈ R

| x

− y

sin z = 0} .

‚wiczenie 3.1 Zbiór analityczny w U jest domkni¦ty w U.

‚wiczenie 3.2 Przekrój oraz suma sko«czonej rodziny zbiorów anali- tycznych jest zbiorem analitycznym.

‚wiczenie 3.3 Je»eli X jest zbiorem analitycznym w spójnym otwar-

tym zbiorze U ⊂ K, to X = U albo ka»dy punkt p ∈ X jest izolowany

w X, wi¦c w tym przypadku X nie ma punktów skupienia w U i jest co

najwy»ej przeliczalny.

4 Kieªki funkcji

x

∈ K

 ustalony punkt

F = {(U, f ) | U zbiór otwarty w K

zawieraj¡cy x

, f : U → K

} Dla (U, f), (V, g) ∈ F: (U, f) ∼ (V, g) ⇔ istnieje zbiór otwarty W zawieraj¡cy punkt x

taki, »e W ⊂ U ∩ V oraz f|W ≡ g|W .

‚wiczenie 4.1 Relacja "∼"jest relacj¡ równowa»no±ci w F.

Klasy równowa»no±ci (warstwy) nazywamy kieªkami funkcji z K

do K

w punkcie x

.

Oznaczamy je:

f : (K

, x

) → K

lub

f : (K

, x

) → (K

, y

) , gdzie y

= f (x

)

Warto±¢ y

= f (x

) nie zale»y od wyboru reprezentanta.

Uwaga. K

nie musi by¢ dziedzin¡ funkcji f.

Kieªek jest ci¡gªy (ró»niczkowalny, klasy C

, analityczny, . . .) je»eli jego reprezentant jest ci¡gªy (ró»niczkowalny, klasy C

, analityczny, . . .).

Przykªad x

= 0

U

= (−1, 1), f

= 1 − x

+ x

− x

+ · · · U

= R, f

= 1/(1 + x

)

(U

, f

), (U

, f

) reprezentuj¡ ten sam kieªek funkcji analitycznej (R, 0) → R

Przykªad x

= 0 U

= R, f

≡ 1

U

= R, f

ma wykres:

(U

, f

), (U

, f

) reprezentuj¡ ten sam kieªek C

-funkcji.

Przykªad x

= 0, f

= x, f

= sin x

reprezentuj¡ ró»ne kieªki, mimo »e warto±¢ w x

= 0 obu funkcji jest taka sama.

Przykªad. f(x) = x, g(x) =

reprezentuj¡ ten sam kieªek funkcji

analitycznej w 0.

Denicja. O

(n) lub O

 zbiór kieªków funkcji K-analitycznych w punkcie p ∈ K

.

Je»eli p = 0 to b¦dziemy u»ywa¢ symboli O(n) lub O.

Je»eli chcemy wyra¹nie zaznaczy¢, jakie jest ciaªo K, to mo»emy u»y- wa¢ symboli: O

(n) lub O

,

a dla p = 0 : O

(n) lub O

.

Kieªki ci¡gªe ( wi¦c równie» analityczne, ró»niczkowalne, . . .) mo»na skªada¢:

f : (K

, x

) → (K

, y

) , g : (K

, y

) → (K

, z

) Kieªek g ◦ f : (K

, x

) → (K

, z

)

jest reprezentowany przez zªo»enie dowolnych reprezentantów f oraz g.

Je»eli f : (K

, x

) → (K

, y

) , to g : (K

, y

) → (K

, x

) jest kieªkiem odwrotnym do f je»eli g ◦ f ∼ id

oraz f ◦ g ∼ id

.

Przykªad. Je»eli f : (R, 0) → (R, 0) jest kieªkiem funkcji sin x, g : (R, 0) → (R, 0) jest kieªkiem funkcji arcsin x, to g jest kieªkiem odwrotnym do f.

Je»eli f : (K

, x

) → K

jest kieªkiem ró»niczkowalnym, to mo»na okre-

±li¢ pochodn¡ Df(x

) : K

→ K

:

Przedstawmy f = (f

, . . . , f

) z pomoc¡ funkcji wspóªrz¦dnych.

Macierz Df(x

) (tzn. macierz Jacobiego) ma posta¢







∂f₁

∂x₁

(x

) · · ·

n

(x

) ... ... ...

∂fm

∂x1

(x

) · · ·

n

(x

)







Twierdzenie 4.2 (O funkcji odwrotnej) Kieªek f : (K

, x

) → (K

, y

) analityczny (odp. klasy C

) posiada kieªek odwrotny analityczny (odp.

klasy C

)

f

: (K

, y

) → (K

, x

)

wtedy i tylko wtedy, gdy macierz Jacobiego jest niezdegenerowana, tzn.

det Df (x

) 6= 0 .

Przykªad f(x, y) = (e

sin y, e

cos y) : (R

, (a, b)) → (R

, f (a, b)) jest kieªkiem odwracalnym w ka»dym punkcie (a, b) ∈ R

, ale funkcja (e

sin y, e

cos y) : R

→ R

nie jest odwracalna.

Przykªad. Kieªek f : (R, 0) → (R, 0) funkcji x

posiada kieªek od- wrotny reprezentowany przez √

x , ale ten kieªek nie jest ani analityczny w zerze, ani klasy C

.

5 Algebra kieªków

B¦dziemy bada¢ kieªki analityczne (K

, x

) → K,

najwygodniej jest przyj¡¢, »e x

= 0 = (0, . . . , 0) jest pocz¡tkiem ukªadu wspóªrz¦dnych.

• O(n) lub O  zbiór kieªkow analitycznych (K

, 0) → K

• A(n)  zbiór funkcji analitycznych K

→ K

‚wiczenie 5.1 O(n), A(n) s¡ K-algebrami.

Fakt 5.2 Naturalne odwzorowanie π : A(n) → O(n) jest (ró»nowarto-

±ciowym) homomorzmem K-algebr.

• m(n) = m = {f ∈ O(n) | f (0) = 0} jest ideaªem wªa±ciwym algebry O(n) .

‚wiczenie 5.3 Dla kieªka f ∈ O istnieje dokªadnie jeden element r ∈ m taki, »e f = f(0) + r.

W szczególno±ci, pier±cie« ilorazowy O/m jest izomorczny z K.

Fakt 5.4 m jest ideaªem maksymalnym.

Fakt 5.5 O(n) jest pier±cieniem lokalnym.

Przykªad. A(n) nie jest pier±cieniem lokalnym.

Twierdzenie 5.6 (Wzór Taylora) Je»eli f ∈ A(n) (odp. O(n)) oraz k ≥ 1 , to istniej¡ g

∈ A(n) (odp. O(n)) dla wszystkich wielowska¹ni- ków α stopnia |α| = k takie, »e

f (x) = X

|α|<k

D

f (0)

α ! x

+ X

|α|=k

g

(x)x

,

oraz g

(0) = D

f (0)/α ! .

Wniosek 5.7 Je»eli f ∈ A(n) (odp. O(n)), to istniej¡ g

, . . . , g

∈ A(n) (odp. O(n)) takie, »e

f (x) = f (0) + x

g

(x) + · · · + x

g

(x) oraz g

(0) = ∂f /∂x

(0) .

Z denicji funkcji analitycznych wynika natychmiast, »e je»eli f ∈ O(n) , to istniej¡ jednoznacznie wyznaczone wspóªczynniki a

=

∈ K dla wszystkich wielowska¹ników α takie, »e

f (x) = X

α

a

x

= X

α

D

f (0) α ! x

w pewnym otwartym otoczeniu pocz¡tku ukªadu.

Fakt 5.8 Ideaª m(n) jest generowany przez kieªki x

, . . . , x

. I, J  ideaªy w pewnym pier±cieniu. Wtedy

• I · J = {a

b

+ · · · + a

b

| s ≥ 1, a

∈ I, b

∈ J}

• I · J ⊂ I ∩ J , wi¦c I · J ⊂ I, I · J ⊂ J

• I

= I · I · · · I

| {z }

k

= { P

sk.

c

· · · c

| c

∈ I} jest ideaªem

• I ⊃ I

⊃ · · · ⊃ I

⊃ · · ·

• Je»eli g

, . . . , g

∈ I generuj¡ ideaª I, to zbiór elementów postaci g

· · · g

(gdzie α

+ · · · + α

= k ) generuje I

.

• m

(n) = m(n) · · · m(n)

| {z }

k

jest ideaªem w O(n), przyjmuje si¦, »e m

= O

• m

⊃ m

⊃ m

⊃ · · · ⊃ m

⊃ · · ·

Fakt 5.9 Jednomiany x

stopnia k generuj¡ m

, tzn:

f ∈ m

⇔ f = X

|α|=k

x

g

(x) = X

|α|=k

x

· · · x

g

(x) .

W szczególno±ci, m

jest sko«czenie generowany.

Lemat 5.10 f ∈ m

⇒ ∂f /∂x

∈ m

.

Fakt 5.11 m

= {f ∈ O | ∀ |α| < k D

f (0) = 0 } . Przykªad.

• sin xy nale»y do m

(2) , ale nie nale»y do m

(2)

• cos xy 6∈ m(2)

• cos xy − 1 ∈ m

(2) , ale nie nale»y do m

(2) .

‚wiczenie 5.12 Dla f ∈ O(n) :

f (x

, . . . , x

, 0, . . . , 0) ≡ 0 ⇔ f ∈ hx

, . . . , x

i O(n) .

‚wiczenie 5.13 Je»eli g

, . . . , g

∈ O(p) , tzn. g

= g

(x

, . . . , x

) , to istnieje izomorzm

O(p)/ hg

, . . . , g

i ' O(n)/ hg

, . . . , g

, x

, . . . , x

i oraz

m(p)/ hg

, . . . , g

i ' m(n)/ hg

, . . . , g

, x

, . . . , x

i . Wskazówka. Poka», »e j¡drem surjektywnego homomorzmu

O(n) 3 f 7→ f (x

, . . . , x

, 0, . . . , 0) ∈ O(p)/ hg

, . . . , g

i jest hg

, . . . , g

, x

, . . . , x

i .

6 Lokalne Twierdzenie o Zerach

Je»eli I ⊂ O(n) jest ideaªem, to pier±cie« ilorazowy O(n)/I jest prze- strzeni¡ wektorow¡ nad ciaªem K.

dim

O(n)/I  wymiar przestrzeni wektorowej O(n)/I.

‚wiczenie 6.1 dim

O(n) = ∞ , wi¦c je»eli I = {0}, to dim

O(n)/{0} =

∞ .

‚wiczenie 6.2 Je»eli I = x

, x

, to dim

O(2)/I ≤ 4 .

‚wiczenie 6.3 Je»eli I = x

, . . . , x

, x

, to przestrze« wektorowa O(n)/I jest rozpi¦ta przez 1, x

, x

, . . . , x

, czyli

O(n)/I = K · 1 + K · x

+ K · x

+ . . . + K · x

.

‚wiczenie 6.4 dim

O(n)/m

< ∞ .

Fakt 6.5 dim

O(n)/I < ∞ ⇔ ∃ k : m

⊂ I .

Twierdzenia o Zerach (Nullstellensatz) pozwalaj¡ porównywa¢ wªa- sno±ci ideaªów z wªasno±ciami zbioru punktów, na których elementy ide- aªu przyjmuj¡ warto±¢ zero. Poni»ej przedstawiamy bardzo prost¡ wersj¦

Lokalnego Twierdzenia o Zerach.

Twierdzenie 6.6 We¹my f

, . . . , f

∈ m(n) , tzn. f

∈ O(n) oraz f

(0) = 0 . Niech I = hf

, . . . , f

i ⊂ O(n) b¦dzie ideaªem generowa- nym przez te elementy. Wtedy

(i) Je»eli dim

O(n)/I < ∞ , to pocz¡tek ukªadu 0 jest punktem izo- lowanym w zbiorze

{x ∈ K

| f

(x) = 0, . . . , f

(x) = 0} . (ii) Je»eli 0 jest punktem izolowanym w zbiorze

{x ∈ C

| f

(x) = 0, . . . , f

(x) = 0} , to dim

O(n)/I < ∞ .

‚wiczenie 6.7 Udowodnij punkt (i) powy»szego Twierdzenia.

Przykªad. Niech f

(x

, x

) = x

x

, f

(x

, x

) = x

− 5x

, oraz niech I = hf

, f

i ⊂ O(2) . Wtedy dim

O(n)/I < ∞ .

7 Homomorzmy algebr

We¹my f

, . . . , f

∈ m(n) , tzn. f

∈ O(n) oraz f

(0) = 0 F = (f

, . . . , f

)

F (x) = (f

(x), . . . , f

(x))

F : (K

, 0) → (K

, 0) jest kieªkiem analitycznego odwzorowania.

Je»eli a ∈ O(p) to a ◦ F ∈ O(n).

Denicja. F

(a) := a ◦ F .

F

: O(p) → O(n)

‚wiczenie 7.1 F

jest homomorzmem K-algebr.

x = (x

, . . . , x

)  wspóªrz¦dne w K

y = (y

, . . . , y

)  wspóªrz¦dne w K

a = a(y) = a(y

, . . . , y

)

F

(a) = a ◦ F = a(F (x)) = a(f

(x), . . . , f

(x)) Przykªad. F (x

, x

, x

) = (x

x

, x

+ x

) : (K

, 0) → (K

, 0)) .

a = y

+ cos(y

y

) ∈ O(2)

F

(a) = (x

x

)

+ cos(x

x

(x

+ x

)) ∈ O(3) Uwaga. F

(y

) = y

◦ (f

, . . . , f

) = f

c ∈ K : F

(c) = c

Denicja. Mo»na zdeniowa¢ mno»enie elementów z O(n) przez ele- menty pier±cienia O(p):

a ∈ O(p), g ∈ O(n) : a • g := F

(a)g

Przykªad. F, a takie jak w poprzednim przykªadzie.

g = 7 + sin(x

) + x

x

x

a • g = ((x

x

)

+ cos(x

x

(x

+ x

))(7 + sin(x

) + x

x

x

) ∈ O(3)

‚wiczenie 7.2 O(n) ze zwykªym dodawaniem i mno»eniem • przez ele- menty pier±cienia O(p) jest O(p)-moduªem, tzn.:

(O(n), +) jest grup¡ abelow¡

Je»eli a, a

, a

∈ O(p) , g, g

, g

∈ O(n) , to:

a • (g

+ g

) = a • g

+ a • g

(a

+ a

) • g = a

• g + a

• g

(a

a

) • g = a

• (a

• g)

1 • g = g

‚wiczenie 7.3 Sprawdzi¢, »e dla c ∈ K: c • g = cg, wi¦c 0 • g = 0, (−1) • g = −g,

a • (g

g

) = (a • g

)g

= g

(a • g

).

Denicja. Je»eli J ⊂ O(p) jest ideaªem, to symbol F

(J )O(n)

b¦dzie oznaczaª ideaª w O(n) generowany przez F

(J ) .

‚wiczenie 7.4 Je»eli J ⊂ O(n) jest generowany przez g

, . . . , g

, tzn.

J = hg

, . . . , g

i , to:

F

(J )O(n) = hF

(g

), . . . , F

(g

)i . Fakt 7.5 F

(m(p))O(n) = hf

, . . . , f

i .

8 Twierdzenie Przygotowawcze

We¹my k > 0.

Dla f = P

a

x

∈ O(n) deniujemy wielomian τ(f) oraz kieªek r(f):

τ (f ) = X

|α|<k

a

x

, r(f ) = f − τ (f ) , f = τ (f ) + r(f ) .

Niech α

, . . . , α

, . . . , α

b¦d¡ wszystkimi wielowska¹nikami o normie

|α

| = . . . = |α

| = . . . = |α

| = k .

W szeregu r(f) wyst¦puj¡ tylko jednomiany x

takie, »e |β| ≥ k.

Ka»dy taki jednomian jest podzielny przez co najmniej jeden z jedno- mianów x

.

Przykªad. n = 2, k = 2.

α

= (2, 0) , α

= (1, 1) , α

= (0, 2) x

= x

, x

= x

x

, x

= x

x

x

= x

· (x

x

) = x

· x

.

γ

 suma tych skªadników w r(f) które dziel¡ si¦ przez x

, wi¦c γ

= x

σ

(f ), σ

(f ) ∈ O(n) .

γ

 suma tych skªadników w r(f) − γ

które dziel¡ si¦ przez x

, wi¦c γ

= x

σ

(f ), σ

(f ) ∈ O(n) .

γ

 suma tych skªadników w r(f) − γ

− γ

które dziel¡ si¦ przez x

, wi¦c

γ

= x

σ

(f ), σ

(f ) ∈ O(n) . ...

r(f ) = γ

+ · · · + γ

r(f ) = x

σ

(f ) + · · · + x

σ

(f ) Przykªad. n = 2, k = 2

f = 4 − x

+ 2x

− x

x

+ x

+ 5x

x

− x

+ · · · τ (f ) = 4 − x

+ 2x

x

= x

, x

= x

x

, x

= x

γ

= x

+ 5x

x

+ · · · = x

(x

+ 5x

+ · · · ) = x

σ

(f ) γ

= −x

x

+ · · · = x

x

(−1 + · · · ) = x

x

σ

(f ) γ

= −x

+ · · · = x

(−x

+ · · · ) = x

σ

(f ).

Dla f ∈ O(n) otrzymujemy jednoznaczne przedstawienie:

f = τ (f ) + X

|α|=k

x

σ

(f ), gdzie σ

(f ) ∈ O(n) .

We¹my f

, . . . , f

∈ m(n) , F = (f

, . . . , f

) ,

F

: O(p) → O(n)

Denicja. O(n) jest sko«czenie generowanym O(p)-moduªem, je»eli istniej¡ g

, . . . , g

∈ O(n) takie, »e

∀ g ∈ O(n) ∃ a

, . . . , a

∈ O(p) :

g = a

• g

+ · · · + a

• g

= F

(a

)g

+ · · · + F

(a

)g

Twierdzenie 8.1 (Tw.Przygotowawcze - I) O(n) jest sko«czenie ge- nerowanym O(p)-moduªem wtedy i tylko wtedy, gdy

dim

O(n)/F

(m(p))O(n) = dim

O(n)/ hf

, . . . , f

i < ∞ . Przykªad. Funkcja f : R

→ R jest symetryczna, je»eli f(x

, x

) = f (x

, x

) .

θ

= x

+ x

, θ

= x

x

 elementarne wielomiany symetryczne

Twierdzenie 8.2 Je»eli w = w(x

, x

) jest symetrycznym wielomianem, to istnieje wielomian W = W (y

, y

) taki, »e w = W (θ

, θ

) , czyli

w(x

, x

) = W (x

+ x

, x

x

) .

‚wiczenie 8.3 (Tw. Glaesera) Je»eli g = g(x

, x

) ∈ O(2) jest kieª- kiem symetrycznym, to istnieje kieªek G = G(y

, y

) ∈ O(2) taki, »e

g(x

, x

) = G(θ

, θ

) = G(x

+ x

, x

x

)

Twierdzenie 8.4 (Lemat Nakayamy) Je»eli (A, m) jest pier±cieniem lokalnym, P jest sko«czenie generowanym A-moduªami, Q jest A-moduªem, oraz P ⊂ Q + m · P , to P ⊂ Q.

‚wiczenie 8.5 Je»eli I ⊂ O(n) jest takim ideaªem, »e I + m

⊂ I + m

, to m

⊂ I .

I ⊂ O(n)  ideaª

O(n)/I jest O(n)-moduªem, wi¦c mo»emy zdeniowa¢ mno»enie ele- mentów z O(n)/I przez elementy pier±cienia O(p):

a ∈ O(p) , [g] ∈ O(n)/I (g ∈ O(n))

a • [g] := [a • g] = [F

(a)g]

‚wiczenie 8.6 Mno»enie jest dobrze zdeniowane.

O(n)/I , z tak zdeniowanym mno»eniem, jest O(p)-moduªem.

Twierdzenie 8.7 (Tw. Przygotowawcze - II) O(n)/I jest sko«cze- nie generowanym O(p) moduªem wtedy i tylko wtedy, gdy

dim

O(n)/(F

(m(p))O(n) + I) = dim

O(n)/(hf

, . . . , f

i + I) < ∞ .

Fakt 8.8 g

, . . . , g

∈ O(n) generuj¡ O(n)/I jako O(p)-moduª wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy [g

], . . . , [g

] w O(n)/(F

(m(p))O(n) + I) rozpinaj¡ t¡ przestrze« wektorow¡.

9 Twierdzenie Weierstrassa

Denicja. f ∈ O(n) jest k-regularny na osi x

, je»eli f (0) = · · · = ∂

f

∂x

(0) = 0 oraz

∂

f

∂x

(0) 6= 0 , tzn. d

d x

f (0, . . . , 0, x

)

6= 0

‚wiczenie 9.1 Wtedy istnieje ˜ f ∈ O(1) , ˜ f (0) 6= 0 , taki, »e f(0, . . . , 0, x

) = x

f (x ˜

) .

Dla x = (x

, . . . , x

) b¦dziemy oznacza¢

x

= (x

, . . . , x

), x = (x

, x

)

Twierdzenie 9.2 (Tw. Weierstrassa o dzieleniu - I) Zaªó»my, »e f ∈ O(n) jest k-regularny na osi x

. Wtedy

∀ g ∈ O(n) ∃ a

(x

), . . . , a

(x

) ∈ O(n − 1) oraz Q ∈ O(n) : g = f · Q + a

(x

)x

+ · · · + a

(x

)x

+ a

(x

) .

‚wiczenie 9.3 Kieªki a

, . . . , a

, Q s¡ jednoznacznie wyznaczone.

Twierdzenie 9.4 (Tw. Weierstrassa o dzieleniu - II) Zaªó»my, »e f ∈ O(n) jest k-regularny na osi x

. Wtedy

∃ a

(x

), . . . , a

(x

) ∈ m(n − 1)

∃ Q ∈ O(n), Q(0) 6= 0 , tzn. Q jest odwracalny : f = Q · (x

+ a

(x

)x

+ · · · + a

(x

)) = Q · R , wi¦c R ∈ O(n − 1)[x

] .

‚wiczenie 9.5 Q oraz R s¡ jednoznacznie wyznaczone.

Denicja. Je»eli R = x

+ a

(x

)x

+ · · · + a

(x

)x

+ a

(x

) oraz a

(0) = · · · = a

(0) = 0 , tzn. a

, . . . , a

∈ m(n − 1) , to R nazywamy wielomianem wyró»nionym.

10 Wªasno±ci pier±cienia O(n)

‚wiczenie 10.1 O(1) jest pier±cieniem noetherowskim, tzn. ka»dy jego ideaª jest sko«czenie generowany

‚wiczenie 10.2 Niech 0 6= f ∈ O(n). Istnieje k: f ∈ m

, f 6∈ m

. Po dokonaniu liniowej zamiany ukªadu wspóªrz¦dnych f jest k-regularny na osi x

.

Twierdzenie 10.3 (Lokalna wersja Tw. Hilberta o Bazie) O(n) jest pier±cieniem noetherowskim.

‚wiczenie 10.4 Pier±cie« O(1) jest dziedzin¡ caªkowito±ci, tzn. nie posiada dzielników zera.

Twierdzenie 10.5 Pier±cie« O(n) jest dziedzin¡ caªkowito±ci, tzn. nie posiada dzielników zera.

Fakt 10.6 Niech P ∈ O(n − 1)[x

] b¦dzie wielomianem wyró»nionym, nierozkªadalnym w O(n − 1)[x

] .

Wtedy P jest elementem pierwszym w O(n).

‚wiczenie 10.7 W O(n) ka»dy element rozkªadalny jest iloczynem ele- mentów nierozkªadalnych. Wskazówka:

 Je»eli f ∈ m(n) oraz

(0) 6= 0 , to f jest nierozkªadalny.

 Je»eli f(0, . . . , 0, x

) = a(x

)x

, a(0) 6= 0 , to f jest iloczynem co najwy»ej k elementów nierozkªadalnych.

‚wiczenie 10.8 O(1) jest dziedzin¡ z jednoznaczno±ci¡ rozkªadu.

Twierdzenie 10.9 Pier±cie« O(n) jest dziedzin¡ z jednoznaczno±ci¡

rozkªadu.

‚wiczenie 10.10 Je»eli P ∈ O(n − 1)[x

] jest wielomianem wyró»- nionym, to istniej¡ nierozkªadalne wielomiany wyró»nione P

, . . . , P

∈ O(n − 1)[x

] takie, »e

P = P

· · · P

.

Wniosek 10.11 Niech O(n − 1) oznacza ciaªo uªamków pier±cienia O(n − 1) .

Je»eli element P ∈ O(n − 1)[x

] jest nierozkªadalny w O(n − 1)[x

] , to P jest nierozkªadalny w O(n − 1)[x

] , lub P ∈ O(n − 1) i jest nie- rozkªadalny w O(n − 1) .

Wi¦c je»eli P jest rozkªadalny w O(n − 1)[x

] , to jest rozkªadalny w O(n − 1)[x

] .

11 Wyró»nik

Dla wielomianu unormowanego t

+ t

x + · · · + t

x

+ x

o wspóª- czynnikach t

, . . . , t

mo»na zdeniowa¢ wyró»nik ∆

(t

, . . . , t

) ∈ Z[t

, . . . , t

] .

Je»eli A jest pier±cieniem, P = a

+ a

x + · · · + a

x

+ x

∈ A[x]

to ∆ = ∆

(a

, a

, . . . , a

) ∈ A nazywamy wyró»nikiem wielomianu P (x) .

Wªasno±ci wyró»nika:

Zaªó»my, »e A jest pier±cieniem zawieraj¡cym liczby wymierne oraz za- wartym w pewnym ciele L. Wtedy:

• ∆ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany P oraz P

maj¡

wspólny dzielnik w L[x].

Wi¦c je»eli P jest nierozkªadalny, to ∆ 6= 0.

• Je»eli ξ

, . . . , ξ

∈ L oraz P (x) = (x − ξ

) · · · (x − ξ

) , wówczas

∆ = ± Y

i6=j

(ξ

− ξ

) = ±

k

Y

i=1

P

(ξ

) .

W tym przypadku ∆ 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy pierwiastki P s¡ parami ró»ne i jednokrotne.

• Je»eli ∆ 6= 0 oraz P = P

· · · P

jest rozkªadem na czynniki nieroz- kªadalne, unormowane, to P

6= P

dla i 6= j.

We¹my wielomian wyró»niony P ∈ O(n − 1)[x

] . Mo»na go przed- stawi¢ jako iloczyn parami nie stowarzyszonych elementów nierozkªadal- nych

P = P

· · · P

(m

≥ 1) z których ka»dy te» jest wielomianem wyró»nionym.

Z Wniosku 10.11, ka»dy P

jest nierozkªadalny w O(n − 1)[x

] . Po- nadto P

oraz P

, dla i 6= j, nie s¡ stowarzyszone w O(n − 1)[x

] .

Je»eli wyró»nik ∆ wielomianu P

· · · P

jest równy zero, to P

· · · P

oraz jego pochodna

(P

· · · P

)

= P

P

· · · P

+ P

P

· · · P

+ . . . + P

P

· · · P

maj¡ wspólny dzielnik w O(n − 1)[x

] , który musi by¢ iloczynem pew- nych P

.

Mo»emy wi¦c zaªo»y¢, »e wspólny dzielnik zawiera P

jako jeden ze skªadników

P

| (P

· · · P

)

⇒ P

| P

P

· · · P

⇒ P

| P

w O(n − 1)[x

] , co nie jest mo»liwe, bo deg P

< deg P

.

Wniosek 11.1 Zbiór zer wielomianu wyró»nionego P = P

· · · P

jest taki sam jak zbiór zer wielomianu P

· · · P

oraz wyró»nik wielo- mianu P

· · · P

jest niezerowym elementem O(n − 1).

Niech P ∈ O(n − 1)[x

] b¦dzie wielomianem wyró»nionym stopnia k , niech ∆ ∈ O(n − 1) b¦dzie jego wyró»nikiem.

Zaªó»my, »e x

∈ K

le»y dostatecznie blisko pocz¡tku ukªadu

wspórz¦dnych. Wtedy ∆(x

) ∈ K jest równy wyró»nikowi wielomianu

jednej zmiennej P (x

, x

) ∈ K[x

] .

Zaªó»my, »e ξ

, . . . , ξ

∈ C s¡ pierwiastkami P (x

, ξ) = 0 . Wi¦c P (x

, x

) = (x

− ξ

) · · · (x

− ξ

) .

Ponadto ∆(x

) = ± Q

i6=j

(ξ

− ξ

) = ± Q

i=1

P

(ξ

) ..

Wi¦c ∆(x

) 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy pierwiastki zespolone wie- lomianu P (x

, x

) = 0 s¡ parami ró»ne i jednokrotne.

Fakt 11.2 Je»eli P (x

, x

) = x

+ a

(x

)x

+ · · · + a

(x

) oraz dla pewnego r > 0 mamy

|a

(x

)| ≤ r, |a

(x

)| ≤ r

, . . . , |a

(x

)| ≤ r

to |ξ

| ≤ 2r dla ka»dego z pierwiastków zespolonych ξ

, . . . , ξ

speªniaj¡- cych równanie P (x

, ξ

) = 0 .

Wniosek 11.3 Je»eli P (x

, x

) ∈ O(n − 1)[x

] jest wielomianem wy- ró»nionym, to

∀  > 0 ∃ δ > 0 : |x

| < δ oraz P (x

, ξ) = 0 ⇒ |ξ| <  . Wniosek 11.4 Je»eli x

→ 0 oraz ξ

(x

), . . . , ξ

(x

) s¡ zespolonymi pierwiastkami P (x

, x

) = 0 , to

ξ

(x

) → 0, . . . , ξ

(x

) → 0 .

Wniosek 11.5 Je»eli ∆(x

) 6= 0 , to dla ka»dego 1 ≤ i ≤ k P

(x

, ξ

(x

)) = d P

d x

(x

, ξ

(x

)) 6= 0 .

Z Twierdzenia o Funkcji Uwikªanej mo»na znale¹¢ funkcje (anali- tyczne) ξ

(x

) o warto±ciach zespolonych zdeniowane w pewnym otwar- tym otoczeniu punktu x

w C

takie, »e P (x

, ξ

(x

)) ≡ 0 .

Wykresy funkcji ξ

(x

), . . . , ξ

(x

) , dla x

nale»¡cych do tego otocze- nia, nie przecinaj¡ si¦.

Twierdzenie 11.6 Zaªó»my, »e P (x

, x

) ∈ O

(1)[x

] jest rzeczywi- stym wielomianem wyró»nionym stopnia k.

Wtedy istnieje δ

> 0 , oraz istnieje sko«czenie wiele rzeczywistych funkcji analitycznych

ξ

(x

) < . . . < ξ

(x

) , gdzie x

∈ (−δ

, 0), 0 ≤ p ≤ k ,

ξ

(x

) < . . . < ξ

(x

) , gdzie x

∈ (0, δ

), 0 ≤ s ≤ k , takich, »e dla ka»dej z tych funkcji lim

ξ

(x

) = 0 , oraz

{(x

, x

) ∈ (−δ

, δ

) × R | P (x

, x

) = 0} = {(0, 0)} ∪ [

i

graph ξ

.

Denicja. Wykresy graph ξ

b¦dziemy nazywa¢ gaª¦ziami w P

(0) wychodz¡cymi z pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych 0 ∈ R

.

Twierdzenie 11.7 Liczba gaª¦zi jest zawsze parzysta. (Mo»e by¢ równa zero.)

12 Analityczne Šuki

‚wiczenie 12.1 Zaªó»my, »e funkcja f : (a, b) → R jest funkcj¡ ana- lityczn¡

Wtedy albo f jest staªa na (a, b), albo dla ka»dego x ∈ (a, b) istnieje

 > 0 taki, »e

• f : [x, x + ) → R jest ró»nowarto±ciowa

• dla t ∈ (x, x + ): f

(t) 6= 0

• dla t ∈ (x, x + ) warto±ci f(t) maj¡ staªy znak.

Niech p(t) = (x

(t), . . . , x

(t)) : (−

, +

) → R

b¦dzie odwzorowa- niem analitycznym takim, »e p(0) = 0 oraz p(t) nie jest odwzorowaniem staªym.

Fakt 12.2 Istnieje 0 <  < 

takie, »e p : [0, ] → R

jest ró»nowarto-

±ciowe.

Fakt 12.3 Istnieje 0 <  < 

takie, »e

∀ 0 < t <  : p

(t) = (x

(t), . . . , x

(t)) 6= 0 .

Wniosek 12.4 Istnieje 0 <  < 

takie, »e p((0, )) ⊂ R

jest gªadk¡

krzyw¡ bez samoprzeci¦¢, czyli jest gªadk¡ 1-wymiarow¡ rozmaito±ci¡.

Denicja. Zbiór A = p((0, )) nazywamy ªukiem analitycznym.

Oczywi±cie: domkni¦cie ªuku ¯ A jest homeomorczne z odcinkiem [0, 1]

oraz 0 ∈ ¯ A .

‚wiczenie 12.5 Je»eli A ⊂ R

jest ªukiem analitycznym oraz f ∈ O(n) , to istnieje r > 0 takie, »e f(x) ma staªy znak dla x ∈ A∩B(0, r).

Denicja. Je»eli a = p(t) ∈ A, to ka»dy wektor wspóªliniowy z p

(t) nazywamy wektorem stycznym do ªuku w punkcie a, za± zadan¡ para- metrycznie prost¡

s 7→ a + p

(t)s nazywamy prost¡ styczn¡ do ªuku w punkcie a.

Niech α(a) b¦dzie k¡tem pomi¦dzy prost¡ 0 a oraz prost¡ styczn¡ do ªuku w punkcie a.

Twierdzenie 12.6 Je»eli a ∈ A oraz a → 0, to α(a) → 0.

‚wiczenie 12.7 Czy prawdziwe jest zdanie: Istnieje δ > 0 takie, »e k¡t α(a) ma staªy znak (<, =,>) dla takich a ∈ A, »e 0 < |a| < δ.

‚wiczenie 12.8 Niech B = {(t, t

sin

) | t 6= 0} ⊂ R

. Czy B speªnia tez¦ poprzedniego Twierdzenia?

Czy istnieje taki ªuk analityczny, »e B = A w pewnym otwartym oto- czeniu pocz¡tku ukªadu?

‚wiczenie 12.9 Niech A

, A

b¦d¡ analitycznymi ªukami. Wtedy ist- nieje takie r > 0, »e

A

∩ B(0, r) = A

∩ B(0, r) lub A

∩ A

∩ B(0, r) = ∅ . Denicja. Zbiór S ⊂ R

nazywamy otwartym ostrzem, je»eli S = B(0, r) \ {0} , lub je»eli

istniej¡ ªuki analityczne A

, A

oraz otwarte koªo B(0, r) takie, »e A

∩

A

∩ B(0, r) = ∅ , oraz S jest skªadow¡ zbioru B(0, r) \ (A

∪ A

) .