Ci¡gi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot¦gowe.

(1)

Ci¡gi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot¦gowe.

Denicja 1. (zbie»no±¢ punktowa)

Ci¡g funkcyjny fn: D → R nazywamy zbie»nym punktowo w zbiorze A ⊂ D do funkcji (granicznej) f : D → R, je»eli:

∀_x∈A∀_ε>0∃_n₀_∈N∀_n>n_o|f_n(x) − f (x)| < ε, co jest równowa»ne z tym, »e dla ka»dego x ∈ A

n→∞lim |f_n(x) − f (x)| = 0.

Uwaga 2. W powy»szej denicji n0 zale»y zarówno od x jak i ε.

Denicja 3. (zbie»no±¢ jednostajna)

Ci¡g funkcyjny fn: D → R nazywamy zbie»nym jednostajnie w zbiorze A ⊂ D do funkcji f : D → R, je»eli:

∀_ε>0∃_n₀_∈N∀_n>n_o∀_x∈A|f_n(x) − f (x)| < ε, co jest równowa»ne z

n→∞lim sup

x∈A

|f_n(x) − f (x)| = 0.

Uwaga 4. W powy»szej denicji n0 zale»y tylko od ε.

Uwaga 5. Zbie»no±¢ jednostajna ci¡gu funkcyjnego w danym zbiorze poci¡ga za sob¡ zbie»no±¢

punktow¡.

Uwaga 6. Zbie»no±¢ punktow¡ ci¡g funkcyjnego fndo funkcji f oznaczamy przez fn→ f,a zbie»no±¢

jednostajn¡ fn⇒ f.

Denicja 7. Niech fn : D → R b¦dzie ci¡giem funkcyjnym. Wówczas szereg postaci:

∞

X

n=1

f_n(x) (1)

nazywamy szeregiem funkcyjnym.

Denicja 8. Niech Sm(x)oznacza ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu funkcyjnego P^∞

n=1

f_n(x)tj.:

S_m(x) =

m

X

n=1

f_n(x).

Wówczas mówimy, »e szereg funkcyjny (1) jest zbie»ny punktowo (lub jednostajnie) na zbiorze A ⊂ D do funkcji f, je»eli ci¡g sum cz¦±ciowych (Sm) jest zbie»ny punktowo (jednostajnie) na zbiorze A do funkcji f.

Uwaga 9. Zbie»no±¢ jednostajna szeregu funkcyjnego w danym zbiorze poci¡ga za sob¡ zbie»no±¢

punktow¡ tego szeregu.

(2)

Twierdzenie 10. (warunek konieczny zbie»no±ci jednostajnej szeregu funkcyjnego) Je»eli szereg funkcyjny P^∞

n=1

f_n(x) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D, to ci¡g funkcyjne (fn) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D do funkcji zerowej.

Twierdzenie 11. (kryterium Weierstrassa) Niech dla wyrazów szeregu funkcyjnego P^∞

n=1

fn(x) istnieje liczba n0 i ci¡g liczbowy (an) taki, »e dla ka»dych x ∈ D i n ≥ n0 speªniony jest warunek:

|f_n(x)| ≤ a_n. Wówczas, je»eli szereg liczbowy P^∞

n=1

a_n jest zbie»ny, to szereg funkcyjny P^∞

n=1

f_n(x) jest zbie»ny jednostajnie.

Twierdzenie 12. (warunek koniecznym zbie»no±ci jednostajnej szeregu) Je»eli szereg funkcyjny P^∞

n=1

fn(x) jest jednostajnie zbie»ny, to fn ⇒ 0.

Twierdzenie 13. Granica jednostajna ci¡gu funkcji ci¡gªych jest ci¡gª¡.

Twierdzenie 14. Niech wyrazy szeregu funkcyjnego P^∞

n=1

f_n(x) b¦d¡ ci¡gªe oraz dodatnie w caªym zbiorze D. Wówczas, je»eli szereg ma sum¦ f(x), która jest funkcja ci¡gª¡ w caªym zbiorze D, to jest on jednostajnie zbie»ny w D.

Twierdzenie 15. (o przechodzeniu do granicy pod znakiem caªki)

Niech ci¡g funkcyjny (fn) funkcji caªkowalnych w przedziale [a, b] jest zbie»ny jednostajnie do funkcji f (x) w przedziale [a, b], funkcja f(x) jest caªkowalna na [a, b] oraz:

n→∞lim

b

Z

a

f_n(x)dx =

b

Z

a

f (x)dx.

Uwaga 16. Powy»sz¡ równo±¢ zapisujemy równie» w postaci:

n→∞lim

b

Z

a

f_n(x)dx =

b

Z

a

n→∞lim f_n(x) dx.

Twierdzenie 17. (o wchodzeniu z granic¡ pod znak pochodnej)

Niech ci¡g funkcyjny (fn) funkcji ró»niczkowalnych w przedziale [a, b] jest zbie»ny chocia» w jednym punkcie przedziaªu [a, b]. Ponadto, niech ci¡g pochodnych (fn⁰) jest zbie»ny jednostajnie w przedziale [a, b], to:

• ci¡g (fn) jest zbie»ny jednostajnie w [a, b],

• funkcja graniczna f(x) jest ró»niczkowalna i f⁰(x) = lim

n→∞f_n⁰(x).

(3)

n→∞lim f (x)0

= lim

n→∞f_n⁰(x).

Twierdzenie 19. (caªkowanie szeregu funkcyjnego wyraz za wyrazem) Niech szereg funkcyjny P^∞

n=1

f_n(x) funkcji ci¡gªych fn : [a, b] → R jest zbie»ny jednostajnie w [a, b], to szereg liczbowy caªek jest zbie»ny oraz:

b

Z

a

∞

X

n=1

f_n(x)dx =

∞

X

n=1 b

Z

a

f_n(x)dx.

Twierdzenie 20. (ró»niczkowanie szeregu funkcyjnego wyraz za wyrazem) Niech szereg funkcyjny P^∞

n=1

fn(x) funkcji ró»niczkowalnych fn : [a, b] → R jest zbie»ny chocia» w jednym punkcie przedziaªu [a, b] i szereg pochodnych P^∞

n=1

f_n⁰(x) jest zbie»ny jednostajnie w przedziale [a, b], to:

• szereg P^∞

n=1

f_n jest zbie»ny jednostajnie w [a, b],

• funkcja graniczna f(x) jest ró»niczkowalna na [a, b] i f⁰(x) =

∞

X

n=1

f_n⁰(x).

∞

X

n=1

f_n(x)

!0

=

∞

X

n=1

f_n⁰(x).

Twierdzenie 22. (o przechodzeniu do granicy pod znakiem szeregu funkcyjnego) Niech szereg funkcyjny P^∞

n=1

f_n(x),gdzie fn : D → R jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D i dla ka»dego n ∈ N istnieje sko«czona granica lim

x→x0

f_n(x), x₀ ∈ D. Wówczas

x→xlim0

∞

X

n=1

f_n(x)

!

=

∞

X

n=1 x→xlim0

f_n(x).

Denicja 23. Szereg funkcyjny postaci P^∞

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ, gdzie (an) jest ci¡giem w zbiorze R oraz x₀ ∈ R nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku w punkcie x0.

Denicja 24. Promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P^∞

n=0

an(x − x0)ⁿ, nazywamy liczb¦ R ∈ [0, +∞] równ¡ poªowie dªugo±ci najwi¦kszego przedziaªu o ±rodku w punkcie x0, w którym szereg jest zbie»ny.

(4)

Oznaczmy przez % granic¦

% := lim

n→∞

p|an _n|.

Twierdzenie 25. (Cauchy'ego-Hadamarda) Promie« zbie»no±ci szeregu P^∞

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ, jest równy odwrotno±ci liczby % :

R = 1

%.

(Tutaj, je»eli % = 0, to R = +∞; natomiast je»eli % = +∞, to R = 0.)

Uwaga 26. Twierdzenie 25 mo»na wzmocni¢ zast¦puj¡c granic¦ ci¡gu (%) przez górn¡ granic¦ ci¡gu:

% = lim

n→∞

p|an _n|.

Uwaga 27. Z faktu, »e istnienie granicy lim

n→∞

an+1

an

poci¡ga istnienie granicy lim

n→∞

p|an _n| promie«

zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P^∞

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ mo»emy wylicza¢ ze wzorów:

R = lim

n→∞

1

p|an _n| lub R = lim

n→∞

a_n a_n+1

, o ile granice istniej¡.

Uwaga 28. Na ko«cach przedziaªu zbie»no±ci (x0− R, x₀+ R)szereg pot¦gowy mo»e by¢ zbie»ny lub rozbie»ny (mo»e by¢ równie» zbie»ny w jednym, a rozbie»ny w drugim punkcie). Dlatego zbie»no±¢

szeregu pot¦gowego w punktach x = x0− R oraz x = x0+ R badamy oddzielnie.

Twierdzenie 29. Niech 0 ≤ R ≤ +∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P^∞

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ. Wówczas jest on:

a) zbie»ny bezwzgl¦dnie dla |x − x0| < R;

b) zbie»ny jednostajnie dla |x − x0| < r, gdzie r ∈ (0, R);

c) rozbie»ny dla |x − x0| > R.

Twierdzenie 30. (o ró»niczkowaniu szeregu pot¦gowego wyraz za wyrazem) Niech R ∈ (0, +∞] b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P^∞

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ. Wówczas jego suma jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w przedziale zbie»no±ci |x−x0| < R oraz dla ka»dego x z przedziaªu zbie»no±ci zachodzi:

∞

X

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ

!0

=

∞

X

n=1

na_n(x − x₀)ⁿ⁻¹.

Ponadto szereg pochodnych P^∞

n=1

na_n(x − x₀)ⁿ⁻¹ równie» ma promie« zbie»no±ci R.

(5)

Twierdzenie 31. Szereg pot¦gowy P

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ o niezerowym promieniu zbie»no±ci jest, we we- wn¡trz swojego przedziaªu zbie»no±ci, rozwini¦ciem swojej sumy f w szereg Taylora o ±rodku x0, tzn.

a_n= ^f⁽ⁿ⁾_n!^(x⁰⁾ dla ka»dego n = 0, 1, 2, ...

Zadania

1. Na podstawie denicji wyka», »e ci¡g funkcyjny fn: [0, 1] → R dany wzorem fn(x) = xⁿ zbiega punktowo do funkcji granicznej: f(x) =

(0 dla x ∈ [0, 1);

1 dla x = 1.

2. Znajd¹ punktow¡ funkcj¦ graniczn¡ f ci¡gu funkcyjnego fn: [0, 1] → R danego wzorem fn(x) =

x

n.Na podstawie denicji wyka», »e jest on zbie»ny jednostajnie do f.

3. Niech b¦dzie dany ci¡g funkcyjny fn : (0, 1) → R okre±lony wzorem fn(x) = xⁿ. Zbadaj jego zbie»no±¢ jednostajn¡ na przedziaªach:]

a) [0, 1]; b) [0, 1); c) [0,¹₂).

4. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych fn : D → R, gdy:

a) fn(x) = xⁿe^−nx, D = [0, ∞); b) fn(x) = _1+n^nx2x², D = [0, ∞);

c) fn(x) = ^1−x_1−xⁿ, D = (−1, 1); d) fn(x) = √ⁿ

x, D = [0, +∞);

e) fn(x) = √ⁿ

x, D = (0, +∞); f) fn(x) = √ⁿ

x, D = [¹₂, 1);

g) fn(x) = (1 − x)xⁿ, D = [0, 1]; h) fn(x) = _(1+x^x²2)ⁿ, D = [0, +∞);

i) fn(x) = x + ^sin(nx)_n , D = R; j) fn(x) = _n3^nx+x², D = R;

k) fn(x) = arctg _x2^2x+n³, D = R; l) fn(x) =√

x + n + 1−√

x + n, D = [0, +∞);

m) fn(x) = √ⁿ

2ⁿ+ 3ⁿx; D = [0, +∞).

5. Zbadaj, czy podane szeregi funkcyjne, s¡ zbie»ne jednostajnie:

a) P^∞

n=1 x

(1+x)ⁿ⁻¹, gdzie x ∈ [0, 1]; b) P^∞

n=1

xⁿ⁻¹, gdzie x ∈ [−¹₂,¹₂];

c) P^∞

n=1 n

n+1xⁿ,gdzie x ∈ (0, 1); d) P^∞

n=0

x(1 − x)ⁿ, gdzie x ∈ [0, 1];

6. Korzystaj¡c z kryterium Weierstrassa, zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

a) P^∞

n=1

(−1)^{n sin nx}_np ,gdzie x ∈ R, p > 1; b) P^∞

n=1 nx

1+n⁵x², gdzie x ∈ (¹₂, +∞);

c) P^∞

n=1 1

n²e⁻^xⁿ,gdzie x ∈ (0, +∞); d) P^∞

n=1 xⁿ

n!,gdzie x ∈ [−5, 5];

e) P^∞

n=1

n arctg_n^xn

,gdzie x ∈ [−^π₄,^π₄]; f) P^∞

n=1 x

1+n⁴x², gdzie x ∈ R;

g) P^∞

n=1

ln(1+nx)

nxⁿ , gdzie x ∈ (1, +∞); h) P^∞

n=1

xⁿ(1−x)

n , gdzie x ∈ [0, 1].

(6)

7. Niech b¦dzie dany ci¡g funkcyjny fn : (0, 1) → R okre±lony wzorem fn(x) = nxⁿ. Wyznacz f (x) = lim

n→∞f_n(x), a nast¦pnie zbadaj czy zachodzi równo±¢ lim

n→∞

1

R

0

f_n(x)dx =

1

R

0

f (x)dx. Uza- sadnij uzyskany wynik.

8. Korzystaj¡c z twierdzenia 15 wyka», »e ci¡g funkcyjny fn(x) = nxe^−nx², x ∈ [0, 1] nie jest zbie»ny jednostajnie.

9. Niech fn(x) = ^arctg(nx)_n . Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu fn. Sprawd¹ czy lim

n→∞f_n⁰(x) =

n→∞lim f_n(x)⁰

. Zwerykuj wynik z twierdzeniem 17.

10. Niech f(x) = P^∞

n=1

ne^−nx. Wyka», »e funkcja f jest ci¡gªa dla x ∈ (a, +∞), gdzie a > 0. Oblicz caªk¦ ^{ln 3}R

ln 2

f (x)dx.

11. Znajd¹ sum¦ szeregu P^∞

n=1 x²

(1+x²)ⁿ,gdzie x ∈ R. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡.

12. Wyznacz przedziaªy zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych:

a) P^∞

n=1

3(x − 2)ⁿ; b) P^∞

n=0 1

2ⁿ(n+1)(x − 1)ⁿ; c) P^∞

n=0

n!(x + 3)ⁿ; d) P^∞

n=0 xⁿ

n!; e) P^∞

n=2

(−1)ⁿ₄n¹ln nxⁿ; f) P^∞

n=1

3ⁿ+(−2)ⁿ

n (x + 1)ⁿ; g) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

2n−1 (x − 4)²ⁿ⁻¹; h) P^∞

n=1

(−4)ⁿx²ⁿ; i) P^∞

n=1 tgⁿx

n² ; j) P^∞

n=1 2ⁿ

n sinⁿx.

13. Oblicz sum¦ szeregu:

a) P^∞

n=1 2ⁿ

n!; b) P^∞

n=1 n 2

2 3

n

; 14. Okre±l przedziaª zbie»no±ci o oblicz sum¦ szeregu pot¦gowego:

a) P^∞

n=1 1

nxⁿ; b) P^∞

n=1

(3n + 1)xⁿ; c) P^∞

n=1

n(n + 1)(n + 2)xⁿ; d) P^∞

n=1 3ⁿ⁺¹

n4ⁿ x²ⁿ; e) P^∞

n=1

n(2n+1) 6ⁿ x²ⁿ;

15. Rozwi« funkcj¦ podane funkcj¦ arctg x w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie x0 = 0.

16. Oblicz lim

x→0

∞

P

n=1 1

xsin₂^xn.