Ci¡gi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot¦gowe.
Denicja 1. (zbie»no±¢ punktowa)
Ci¡g funkcyjny fn: D → R nazywamy zbie»nym punktowo w zbiorze A ⊂ D do funkcji (granicznej) f : D → R, je»eli:
∀x∈A∀ε>0∃n0∈N∀n>no|fn(x) − f (x)| < ε, co jest równowa»ne z tym, »e dla ka»dego x ∈ A
n→∞lim |fn(x) − f (x)| = 0.
Uwaga 2. W powy»szej denicji n0 zale»y zarówno od x jak i ε.
Denicja 3. (zbie»no±¢ jednostajna)
Ci¡g funkcyjny fn: D → R nazywamy zbie»nym jednostajnie w zbiorze A ⊂ D do funkcji f : D → R, je»eli:
∀ε>0∃n0∈N∀n>no∀x∈A|fn(x) − f (x)| < ε, co jest równowa»ne z
n→∞lim sup
x∈A
|fn(x) − f (x)| = 0.
Uwaga 4. W powy»szej denicji n0 zale»y tylko od ε.
Uwaga 5. Zbie»no±¢ jednostajna ci¡gu funkcyjnego w danym zbiorze poci¡ga za sob¡ zbie»no±¢
punktow¡.
Uwaga 6. Zbie»no±¢ punktow¡ ci¡g funkcyjnego fndo funkcji f w zbiorze D oznaczamy przez fn
→ Df, a zbie»no±¢ jednostajn¡ fn⇒
Df.
Twierdzenie 7. Granica jednostajnie zbie»nego ci¡gu funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ci¡gª¡.
Twierdzenie 8. (o przechodzeniu do granicy pod znakiem caªki Riemanna)
Niech (fn) : [a, b] → R b¦dzie ci¡giem funkcji ci¡gªych zbie»nym jednostajnie na przedziale [a, b], to
n→∞lim
b
Z
a
fn(x)dx =
b
Z
a
n→∞lim fn(x) dx.
Twierdzenie 9. (o wchodzeniu z granic¡ pod znak pochodnej)
Niech ci¡g funkcyjny (fn) funkcji ró»niczkowalnych w przedziale [a, b] jest zbie»ny chocia» w jednym punkcie przedziaªu [a, b]. Ponadto, niech ci¡g pochodnych (fn0) jest zbie»ny jednostajnie w przedziale [a, b], to:
• ci¡g (fn) jest zbie»ny jednostajnie w [a, b],
• funkcja graniczna f(x) jest ró»niczkowalna i f0(x) = lim
n→∞fn0(x).
Uwaga 10. Powy»sz¡ równo±¢ zapisujemy równie» w postaci:
n→∞lim f (x)0
= lim
n→∞fn0(x).
Denicja 11. Niech fn : D → R b¦dzie ci¡giem funkcyjnym. Wówczas szereg postaci:
∞
X
n=1
fn(x) (1)
nazywamy szeregiem funkcyjnym.
Denicja 12. Niech Sm(x)oznacza ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu funkcyjnego P∞
n=1
fn(x)tj.:
Sm(x) =
m
X
n=1
fn(x).
Wówczas mówimy, »e szereg funkcyjny (1) jest zbie»ny punktowo (lub jednostajnie) na zbiorze A ⊂ D do funkcji f, je»eli ci¡g sum cz¦±ciowych (Sm) jest zbie»ny punktowo (jednostajnie) na zbiorze A do funkcji f.
Uwaga 13. Zbie»no±¢ jednostajna szeregu funkcyjnego w danym zbiorze poci¡ga za sob¡ zbie»no±¢
punktow¡ tego szeregu.
Twierdzenie 14. (warunek konieczny zbie»no±ci jednostajnej szeregu funkcyjnego) Je»eli szereg funkcyjny P∞
n=1
fn(x) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D, to ci¡g funkcyjne (fn) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D do funkcji zerowej.
Twierdzenie 15. (kryterium Weierstrassa)
Niech fn : D → R b¦dzie ci¡giem funkcyjnym, a (an) ci¡giem liczbowym takim, »e dla ka»dych x ∈ D i n ∈ R speªniony jest warunek:
|fn(x)| ≤ an. Wówczas, je»eli szereg liczbowy P∞
n=1
an jest zbie»ny, to szereg funkcyjny P∞
n=1
fn(x) jest zbie»ny jedno- stajnie.
Twierdzenie 16. (kryterium Dirichleta)
Je»eli ci¡g funkcyjny (an(x)) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D do funkcji zerowej, przy czym dla ka»dego x ∈ D ci¡g liczbowy (an) jest monotoniczny, a sumy cz¦±ciowe Bn(x) szeregu funkcyjnego
∞
P
n=1
bn(x) s¡ wspólnie ograniczone dla dowolnych n ∈ N i x ∈ D :
|Bn(x)| ≤ M, to szereg P∞
n=1
an(x)bn(x) jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D.
Twierdzenie 17. Suma jednostajnie zbie»nego w D szeregu funkcyjnego P∞
n=1
fn(x) funkcji ci¡gªych
Twierdzenie 18. (o przechodzeniu do granicy pod znakiem sumy szeregu funkcyjnego) Niech szereg funkcyjny P∞
n=1
fn(x) funkcji fn : D → R jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D i dla ka»dego n ∈ N istnieje sko«czona granica lim
x→x0
fn(x), x0 ∈ D. Wówczas szereg P∞
n=1 x→xlim0
fn(x) jest zbie»ny i istnieje sko«czona granica lim
x→x0
∞ P
n=1
fn(x)
, a ponadto
x→xlim0
∞
X
n=1
fn(x)
!
=
∞
X
n=1 x→xlim0
fn(x).
Twierdzenie 19. (o caªkowaniu w sensie Riemanna szeregu funkcyjnego wyraz za wyrazem) Niech szereg funkcyjny P∞
n=1
fn(x) funkcji ci¡gªych fn : [a, b] → R jest zbie»ny jednostajnie w [a, b], to szereg liczbowy caªek jest zbie»ny oraz:
b
Z
a
∞
X
n=1
fn(x)dx =
∞
X
n=1 b
Z
a
fn(x)dx.
Twierdzenie 20. (o ró»niczkowaniu szeregu funkcyjnego wyraz za wyrazem) Niech szereg funkcyjny P∞
n=1
fn(x) funkcji fn : [a, b] → R klasy C1([a, b]) jest zbie»ny w przynajmniej jednym punkcie x0 ∈ [a, b] i szereg pochodnych P∞
n=1
fn0(x) jest zbie»ny jednostajnie na [a, b], to:
• szereg P∞
n=1
fn jest zbie»ny jednostajnie na [a, b],
• funkcja graniczna f(x) jest ró»niczkowalna na [a, b] i
f0(x) =
∞
X
n=1
fn0(x).
Uwaga 21. Powy»sz¡ równo±¢ zapisujemy równie» w postaci:
∞
X
n=1
fn(x)
!0
=
∞
X
n=1
fn0(x).
Denicja 22. Szereg funkcyjny postaci P∞
n=0
an(x − x0)n, gdzie (an) jest ci¡giem w zbiorze R oraz x0 ∈ R nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku w punkcie x0.
Denicja 23. Promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P∞
n=0
an(x − x0)n, nazywamy liczb¦ R ∈ [0, +∞] równ¡ poªowie dªugo±ci najwi¦kszego przedziaªu o ±rodku w punkcie x0, w którym szereg jest zbie»ny.
Oznaczmy przez % granic¦
% := lim
n→∞
p|an n|.
Twierdzenie 24. (Cauchy'ego-Hadamarda) Promie« zbie»no±ci R szeregu P∞
n=0
an(x − x0)n, jest równy odwrotno±ci liczby % :
R = 1
%.
(Tutaj, je»eli % = 0, to R = +∞; natomiast je»eli % = +∞, to R = 0.)
Uwaga 25. Twierdzenie 24 mo»na wzmocni¢ zast¦puj¡c granic¦ ci¡gu (%) przez górn¡ granic¦ ci¡gu:
% = lim
n→∞
p|an n|.
Uwaga 26. Z faktu, »e istnienie granicy lim
n→∞
an+1
an
poci¡ga istnienie granicy lim
n→∞
p|an n| promie«
zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P∞
n=0
an(x − x0)n mo»emy wylicza¢ ze wzorów:
R = lim
n→∞
1
p|an n| lub R = lim
n→∞
an an+1
, o ile granice istniej¡.
Uwaga 27. Na ko«cach przedziaªu zbie»no±ci (x0− R, x0+ R)szereg pot¦gowy mo»e by¢ zbie»ny lub rozbie»ny (mo»e by¢ równie» zbie»ny w jednym, a rozbie»ny w drugim punkcie). Dlatego zbie»no±¢
szeregu pot¦gowego w punktach x = x0− R oraz x = x0+ R badamy oddzielnie.
Co mo»emy
Twierdzenie 28. (O przedziale zbie»no±ci szeregu pot¦gowego) Je»eli szereg pot¦gowy P∞
n=1
an(x − x0)n jest zbie»ny w punkcie y0 6= x0, to jest on zbie»ny punktowo bezwzgl¦dnie w przedziale |x−x0| < |y0−x0|oraz zbie»ny w jednostajnie w ka»dym przedziale |x−x0| ≤ r, gdzie 0 < r < |y0− x0|.
Co mo»emy równie» rozumie¢ w postaci:
Uwaga 29. Niech 0 ≤ R ≤ +∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P∞
n=0
an(x − x0)n. Wówczas jest on:
a) zbie»ny bezwzgl¦dnie dla |x − x0| < R;
b) zbie»ny jednostajnie dla |x − x0| < r,gdzie r ∈ (0, R);
c) rozbie»ny dla |x − x0| > R.
Twierdzenie 30. (o ró»niczkowaniu szeregu pot¦gowego wyraz za wyrazem) Niech R ∈ (0, +∞] b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego P∞
n=0
an(x − x0)n. Wówczas szereg pochodnych P∞
n=1
nan(x − x0)n−1 równie» ma promie« zbie»no±ci R. Ponadto suma szeregu P∞
n=0
an(x − x0)n jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w przedziale zbie»no±ci |x − x0| < R oraz dla ka»dego x z przedziaªu zbie»no±ci zachodzi:
∞
X
n=0
an(x − x0)n
!0
=
∞
X
n=1
nan(x − x0)n−1. Z twierdzenia 19 i twierdzenia 28 otrzymujemy:
Twierdzenie 31. (o caªkowaniu szeregu pot¦gowego wyraz za wyrazem) Szereg pot¦gowy P∞
n=0
an(x − x0)n w przedziale [x0, x], gdzie |x − x0| < R mo»na caªkowa¢ wyraz za wyrazem:
x
Z
x0
∞
X
n=0
an(x − x0)ndx =
∞
X
n=0
an
n + 1(x − x0)n+1.
Warto±¢ x mo»e by¢ równa tak»e jednemu z ko«ców przedziaªu zbie»no±ci, o ile szereg P∞
n=0
an(x − x0)n jest zbie»ny w tym punkcie.
Twierdzenie 32. Szereg pot¦gowy P∞
n=0
an(x − x0)n o niezerowym promieniu zbie»no±ci jest, we we- wn¡trz swojego przedziaªu zbie»no±ci, rozwini¦ciem swojej sumy f w szereg Taylora o ±rodku x0, tzn.
an = f(n)(x0) n!
dla ka»dego n = 0, 1, 2, ...
Zadania
1. Na podstawie denicji wyka», »e ci¡g funkcyjny fn: [0, 1] → R dany wzorem fn(x) = xn zbiega punktowo do funkcji granicznej: f(x) =
(0 dla x ∈ [0, 1);
1 dla x = 1.
2. Znajd¹ punktow¡ funkcj¦ graniczn¡ f ci¡gu funkcyjnego fn: [0, 1] → R danego wzorem fn(x) =
x
n.Na podstawie denicji wyka», »e jest on zbie»ny jednostajnie do f.
3. Niech b¦dzie dany ci¡g funkcyjny fn : (0, 1) → R okre±lony wzorem fn(x) = xn. Zbadaj jego zbie»no±¢ jednostajn¡ na przedziaªach:]
a) [0, 1]; b) [0, 1); c) [0,12).
4. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych fn : D → R, gdy:
a) fn(x) = xne−nx, D = [0, ∞); b) fn(x) = 1+nnx2x2, D = [0, ∞);
c) fn(x) = 1−x1−xn, D = (−1, 1); d) fn(x) = √n
x, D = [0, +∞);
e) fn(x) = √n
x, D = (0, +∞); f) fn(x) = √n
x, D = [12, 1);
g) fn(x) = (1 − x)xn, D = [0, 1]; h) fn(x) = (1+xx22)n, D = [0, +∞);
i) fn(x) = x + sin(nx)n , D = R; j) fn(x) = n3nx+x2, D = R;
k) fn(x) = arctg x22x+n3, D = R; l) fn(x) =√
x + n + 1−√
x + n, D = [0, +∞);
m) fn(x) = √n
2n+ 3nx; D = [0, +∞).
5. Zbadaj, czy podane szeregi funkcyjne, s¡ zbie»ne jednostajnie:
a) P∞
n=1 x
(1+x)n−1, gdzie x ∈ [0, 1]; b) P∞
n=1
xn−1, gdzie x ∈ [−12,12];
c) P∞
n=1 n
n+1xn,gdzie x ∈ (0, 1); d) P∞
n=0
x(1 − x)n, gdzie x ∈ [0, 1];
6. Korzystaj¡c z kryterium Weierstrassa lub Dirichleta, zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:
a) P∞
n=1
(−1)n sin nxnp ,gdzie x ∈ R, p > 1; b) P∞
n=1 nx
1+n5x2, gdzie x ∈ (12, +∞);
c) P∞
n=1 1
n2e−xn,gdzie x ∈ (0, +∞); d) P∞
n=1 xn
n!,gdzie x ∈ [−5, 5];
e) P∞
n=1
n arctgnxn
,gdzie x ∈ [−π4,π4]; f) P∞
n=1 x
1+n4x2, gdzie x ∈ R;
g) P∞
n=1
ln(1+nx)
nxn , gdzie x ∈ (1, +∞); h) P∞
n=1
xn(1−x)
n , gdzie x ∈ [0, 1];
i) P∞
n=1 1
ln(n+2)sin nx, gdzie x ∈ [π6,116 π]; j) P∞
n=1
(−1)n+1
n+x2 , gdzie x ∈ R;
k) P∞
(−1)n+1 x2+n, gdzie x ∈ [a, b] ⊂ R;
7. Niech b¦dzie dany ci¡g funkcyjny fn : (0, 1) → R okre±lony wzorem fn(x) = nxn. Wyznacz f (x) = lim
n→∞fn(x), a nast¦pnie zbadaj czy zachodzi równo±¢ lim
n→∞
1
R
0
fn(x)dx =
1
R
0
f (x)dx. Uza- sadnij uzyskany wynik.
8. Korzystaj¡c z twierdzenia 8 wyka», »e ci¡g funkcyjny fn(x) = nxe−nx2, x ∈ [0, 1] nie jest zbie»ny jednostajnie.
9. Niech fn(x) = arctg(nx)n . Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu fn. Sprawd¹ czy lim
n→∞fn0(x) =
n→∞lim fn(x)0
. Zwerykuj wynik z twierdzeniem 9.
10. Niech f(x) = P∞
n=1
ne−nx. Wyka», »e funkcja f jest ci¡gªa dla x ∈ (a, +∞), gdzie a > 0. Oblicz caªk¦ ln 3R
ln 2
f (x)dx.
11. Znajd¹ sum¦ szeregu P∞
n=1 x2
(1+x2)n,gdzie x ∈ R. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡.
12. Wyznacz przedziaªy zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych:
a) P∞
n=1
3(x − 2)n; b) P∞
n=0 1
2n(n+1)(x − 1)n; c) P∞
n=0
n!(x + 3)n; d) P∞
n=0 xn
n!; e) P∞
n=2
(−1)n4n1ln nxn; f) P∞
n=1
3n+(−2)n
n (x + 1)n; g) P∞
n=1
(−1)n−1
2n−1 (x − 4)2n−1; h) P∞
n=1
(−4)nx2n; i) P∞
n=1 tgnx
n2 ; j) P∞
n=1 2n
n sinnx.
13. Oblicz sum¦ szeregu:
a) P∞
n=1 2n
n!; b) P∞
n=1 n 2
2 3
n
; 14. Okre±l przedziaª zbie»no±ci o oblicz sum¦ szeregu pot¦gowego:
a) P∞
n=1 1
nxn; b) P∞
n=1
(3n + 1)xn; c) P∞
n=1
n(n + 1)(n + 2)xn; d) P∞
n=1 3n+1
n4n x2n; e) P∞
n=1
n(2n+1) 6n x2n;
15. Rozwi« funkcj¦ podane funkcj¦ arctg x w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie x0 = 0.
16. Oblicz lim
x→0
∞
P
n=1 1
xsin2xn.