Twierdzenie o selektorach fimkcyj wielo wartościowychna dendrytach

J. M ioduszewski (Wrocław)

Twierdzenie o selektorach fimkcyj wielo wartościowych na dendrytach

1. Niech F będzie funkcją wielo wartościo wą określoną na przestrzeni zwartej X o wartościach będących podzbiorami zwartymi pewnej prze­

strzeni topologicznej, zwartej / / . Zajmować się będziemy selektorami ciągłymi i1) takich funkcji, tj. funkcjami ciągłymi (jednowartościowymi) f : X li takimi, że f(x) eF(x) dla każdego xe X. O funkcji wielowarto- ściowej F mówimy, że jest półciągła górnie w punkcie x e X, jeśli LsF(|) C F(x), gdzie Ls oznacza granicę topologiczną górną, tj. zbiór

I-»#

tych punktów y e F { X ) C Y , które są granicami ciągów {r]n}, gdzie rjneF(in) dla pewnych ciągów -> x. Mówimy, że F jest ciągła w punkcie хеЭС, jeśli ponadto F(x) C IAF(tj), gdzie Li oznacza granicę topologiczną dolną tj. zbiór tych punktów yeF(x) C Y, które są granicami ciągów {iyw}, gdzie rjneF(in) dla wszystkich ciągów !jn-^x (patrz [2], I, str. 241 i dalsze).

Funkcję F nazywam 0-wymiarową, jeśli zbiory F(x) mają wymiar 0 dla każdego ХеЭС. Przedmiotem pracy jest dowód następującego twier­

dzenia :

T w ier d zen ie . Jeśli F jest funkcją wielowartościową ciągłą i 0 -wymia­

rową określoną na dendrycic ЭС, o wartościach z pewnej przestrzeni zwartej

% to dla każdego x0e X i y0eF(x0) istnieje selektom' ciągły f funkcji F taki, że f(x0) = у o.

Z twierdzenia tego wynika, jako szczególny przypadek, twierdzenie Floyda, (patrz [1], str. 574), w którym F{x) = / _1[№ )L gdzie/jest funkcją ciągłą otwartą na odcinku X i x eX.

2. Zauważmy najpierw kilka własności funkcji wielo wartościowych F ciągłych i O-wymiarowych, określonych na przestrzeni zwartej X i o wartościach z pewnej przestrzeni zwartej c)j.

Niech X С X. Przez F(X) rozumieć będziemy zbiór F{x). Już z półciągłości górnej funkcji F wynika, że XeX (* )

(*) Z literatury dotyczącej selektorów ciągłych wymienić należy przede wszyst­

kim prace E. Michaela [3].

(1) Dla każdego e > 0 istnieje у > 0 takie, że jeśli średnica ó{X) ф r/, to komponenty zbioru F(X) mają średnice mniejsze lub równe e.

Niech Y C (jj. Przez F~l( Y) rozumieć będziemy zbiór {ж: F(x) r\

r\ Y Ф 0}. Pokażemy, że

(2) Jeśli X C C X jest kontinuum, a Y jest podzbiorem domk/nięto- -otwartym w F(X), to P - 1(Y) = X.

Przypuśćmy bowiem, że j P- 1(Y ) = X' Ф X. Niech Pr (Z ') oznacza brzeg zbioru X' w X. Jest więc Pr (Z ') Ф 0. Niech xeFr{X') i niech [xv\

będzie dowolnym ciągiem takim, że хпе Х —Х' i lima?n = x. Jest

W— ► OO

LimF(a?n) = F{x) na mocy ciągłości funkcji F. Z a7e P r(Z '), X' — F~ ( Y1)

n~> 00

i z domkniętości Y w F(X) wynika, że Y F{x) Ф 0. Niech więc

;i/f Y гл F(x). Wobec ciągłości funkcji F istnieje ciąg \yn} taki, że yneF(xn) i lim yn — y. W myśl określenia ciągu [xv] jest Y F(xn) = 0. Stąd

n- *00

yne F { X ) - Y dla każdego n. Wynikałoby stąd, wobec y e Y i у — limyn, że Y nie jest otwarty w F{X), wbrew założeniu. ri >0°

3. Podfunkcją funkcji wielowartościowoj i ciągłej F będziemy nazy­

wać każdą funkcję wielowartościową Ф, która jest półciągła górnie na 9i i Ф(х) Ф O oraz Ф(х) C F{x) dla każdego xe9C. Podfunkcję Ф będziemy nazywać e-podfunkcją, jeśli ponadto jest д[Ф{х)] < e dla każdego хеЭС.

Zajmiemy się teraz własnościami ciągów {Ф„\ e;,-podfunkcji funkcji ciągłej i O-wy miarowej F, gdzie en -> 0. Dla takich ciągów

( 3 ) Dla każdego e > O istnieje takie у > O, że dla kontinuów X С 9C

o średnicy д(Х) < у jest д[Фп(Х)] < e dla dostatecznie dużych n.

Przypuśćmy, a contr ario, że istnieje e > O i ciąg kontinuów [Xn\

taki, że X nC X, L im Z w = (x), gdzie xe'X, oraz taki, że д[Фп(Х п)] > e

11- >00

dla każdego n. Możemy bez zmniejszenia ogólności założyć ([2], I, str. 246), że Lim Фп{Хп) istnieje. Z półciągłości górnej funkcji F wynika, że

n->

Ъ1тФп(Х п) C F(x) oraz że ó [L im 0 n( Z n)] > e. Stąd i z O-wymiarowości

W->oo

zbioru F(x) wynika niespójność zbioru Lim Фп(Хп). Jest więc Lim<Pn( Z n)

n >00

= XL ^ N, gdzie M Ф О Ф N, M rs N = O, a zbiory M i N są domknięte w Lim Фп(Хп), a więc w szczególności zwarte. Niech q (31,N) = d > 0.

n->oo

Dla dostatecznie dużych n jest więc Фп(Хп) — Mn ^ Nn, gdzie Mn ФО Ф Ф Nn, Mn i Nn są domknięte i o( Mn, Nn) > \d. Na mocy (2) jest Xn =

= Ф~1(Мп) ^ Ф~1(ЖП), gdzie oba ostatnie zbiory są domknięte. Wobec spójności X n jest więc Ф~1{Мп) гл Ф~1(Хп) Ф 0. Niech хеФ~1(Мп) гл

^ ФпЧ^п). Jest Фп(х) ^ мп ^ф О Ф Фп{х) r> Nn, a więc <5[Ф(ж)] > \d

dla dostatecznie dużych n, co jest sprzeczne z określeniem e^-podfunkcji

dla en < \d.

Mówimy, że ciąg [Фп\ eH-podfunkcji funkcji F jest zbieżny, jeśli istnieje taka funkcja jednowartościowa / określona na 9C, że dla każdego xe9C istnieje Lim ^„(x) i Lim Фп(х) — f(x). Mówimy, że ciąg {Фп) jest zbieżny

n -> O Q 7 1 -+ 0 0

jednostajnie do f, jeśli dla każdego e > 0 istnieje takie n0, że dla n > nQ jest dist(0 M(a;), f(x))

dla każdego х e ЭС, gdzie dist oznacza odległość w sensie Hausdorffa dwóch zbiorów: dist (A , B) — m ax[supe(#, A),

xeB

sup£>(#, /?)]. Wobec zwartości przestrzeni jj (a więc i jej zupełności)

xeA

warunkiem koniecznym i лууstarczającym jednostajnej zbieżności ciągu {Фта} jest, by dla każdego e > 0 istniało takie n0, że dla m, n > щ zachodzi nierówność dist[Фп{х), Фт{х)) < e.

Zauważmy, że

(4) Granica f ciągu jednostajnie zbieżnego [Фпj en-podfunkcji funkcji F ciągłej i ^-wymiarowej jest funkcją (jednowartościową) ciągłą w punktach lokalnej spójności przestrzeni SĆ.

Istotnie, przypuśćmy, że / jest nieciągła w punkcie x będącym punk­

tem lokalnej spójności przestrzeni 9C. Mech {X „} będzie ciągiem otoczeń punktu x będących kontinuami i niech Lim J n = (x). Niech d oznacza

П-> 00

wahanie funkcji / w punkcie x. Jest więc d > 0; dla dostatecznie dużych n byłoby zatem <5[ФИ(Х „)] > \d, co jest sprzeczne z (3).

4. Udowodnimy tu odpowiednik lematu Arzeli:

(5) Jeśli ЭС jest kontinuum lokalnie spójnym, to każdy ciąg [Фп}

en-podfunkcji fmikcji F ciągłej i O-wymiarowej, gdzie en -» O, zawiera pod­

ciąg jednostajnie zbieżny.

Istotnie, niech {«Д będzie zbiorem przeliczalnym gęstym w ЭС. Mech bx eJJ będzie punktem skupienia ciągu zbiorów {Фп{ах)) (w sensie metryki dist Hausdorffa). Mech \ФХп) będzie takim podciągiem ciągu \Фп), że 1АтФКп{ах) = {by).

Tb—>oo

Załóżmy, że określone są już ciągi \Фг<п) dla i < к takie, że (*) № , » ! c

(**) L i m = 6,-, gdzie 6f jest punktem skupienia ciągu zbio-

П-ЮО

rów { Ф г -^ М Ь

Mech bk będzie punktem skupienia ciągu zbiorów |Ф*_1>П(«У}. Pod- ciąg \Фкп] określamy jako ten podciąg ciągu {Ф*_1>№ }, dla którego Lim Фк'П{ак) = {bk).

n->0 O

Określona została w ten sposób rodzina podciągów {Ф£ } ciągu (Ф,Д

o własnościach (*) i (**) dla i = 1 , 2 , . . .

Rozważmy ciąg przekątniowy {Фпп}. Jest

(i) Lim 0 n,A<H) = bi dla i = 1 , 2 , . . . П-И50

Wykażemy, że ciąg {Фпп} jest jednostajnie zbieżny na SC. Istotnie, niecli e > 0 . Wtedy na mocy (3) istnieje takie r) > 0 , że jeśli X С SC jest kontinuum o średnicy d{X)^r], to д[Фпп(Х)] < e dla dostatecznie

S

dużych n. Niech SC = U X k będzie pokryciem przestrzeni X kontinuami X k, gdzie fc=1

(ii) 6{Xk) ^ r j .

Jest więc

(iii) д[Фп>п(Хк)] ^ e dla dostatecznie dużych n.

Niech щ с Х ц %2 e X 2, . .. , aiseX s będą punktami z {%}. Wtedy wobec (i) istnieje taki wskaźnik n0, że dla m, n ^ n 0 jest dist(Фт,т(Щк), Фп,п(очк)) dla fc = 1 , 2 , . . . , s. Stąd na mocy (i), (ii) oraz aikeXkJ dostajemy dist($m>m(#)> Фп,п{%)) ^ 3e dla każdego x e X k, Tc = 1 , 2 , ..., s, co dowodzi jednostajnej zbieżności ciągu {Фпп}.

5. D o w ó d t w i e r d z e n i a . Zakładamy teraz, że SC jest dendrytem.

Można go zatem ([2], II, str. 226, 6) dla każdego rj > 0 przedstawić

S

w postaci SC = (J X k, gdzie X k są dendrytami o średnicach nie większych niż t) oraz fc=1

1° X k о Х г < 1, jeśli l Ф Jc,

2° X k Х г r> X m — 0, jeśli wskaźniki fc, l i m są różne.

Niech г] > 0 będzie tak dobrane, by komponenty zbiorów F ( X k) miały średnicę nie większą niż |s, gdzie e jest dowolną liczbą dodatnią.

Można to zrobić na mocy (1). Niech x0 będzie dowolnym punktem dendrytu SC, a y0 dowolnym punktem z F(x0). Załóżmy, co nie zmniejsza ogólności, że %0еХг. Skonstruujemy e-podfunkcję Фе funkcji F taką, że г/0еФе(#0).

K o n s t r u k c j a . Niech Yt będzie dowolnym podzbiorem domknię- to-otwartym w F{X{) takim, że y0 e Yx i d{Yx) < \e. Podzielmy zbiór dendrytów |Xfc} na skończoną ilość klas Dly D 2, ..., Dr w następujący sposób:

(I) klasa Dx składa się z jednego dendrytu X x,

(II) klasa Dk składa się z tych dendrytów Хл nie należących do klas niższych, dla których istnieje dendryt Xj <=Dk_ 1 taki, że Z* ^ Xj Ф 0.

Określimy teraz zbiory Yi dla wszelkich i ф s. Załóżmy, że określone są one już dla tych i, dla których Х4еВт, gdzie m <Tc. Niech więc i bę­

dzie takim wskaźnikiem, że XieDk. Niech X,j €Dk_ l oraz X t ^ Xj Ф 0.

Zbiór Yi określamy jako podzbiór domknięto-otwarty zbioru F ( X i)

taki, że YirsYj Ф O i <5(ГД < Zbiory Y{, i = 1, 2, s, zostały więc określone.

Definiujemy wreszcie podfunkcję Фе wzorem Фе{х) = (Yj Yj) гл гл F(x), gdzie i, j są tymi wskaźnikami, dla których xeYj r\ Yj. Wskaźni­

ków tych jest na mocy 2° co najwyżej dwa.

D o k o ń c z e n i e d o w o d u . Niech {Фя} będzie ciągiem £n-podfunkcji funkcji F, gdzie en -> 0, takich że у0еФп(х0) dla każdego n — 1 , 2 , . . . W myśl (5), ciąg {Фп} zawiera podciąg {Фп/С} zbieżny jednostajnie do funkcji (jednowartościowej) /, która jest na mocy (4) ciągła na całym 9C.

Jest oczywiście f{x) *F(x) dla każdego xe9C, a ponieważ jest у0еФП]с{х„) dla к — 1 , 2 , . . . , więc jest y0 = f(x0). Funkcja / jest więc szukanym se­

lektorem ciągłym.

Prace cytowane

[1] E. E. F lo y d , Some characterizations o f interior mays, Annals of Mathe­

matics 51 (1950), str. 571-575.

[2] C. K u r a t o w s k i, Topologie, t. I (1948) i II (1950), Warszawa-Wroclaw.

[3] E. M ic h a e l, Continuous selections 1-111, Annals of Mathematics, 63-65 (1956-1957).

E. М

(Вроцлан)

О Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Х В Ы Б О Р А Х М Н О Г О З Н А Ч Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й НА Д Е Н Д Р И Т А Х

Р Е 3 ЮМЕ

Т

. Пусть F-. SГ -*• О/ (где X дендрит, а О/ Некоторое метрическое компактное пространство) — многозначная непрерывная функция, значения F( x ) которой замкнутые множества размерности 0. Тогда для всякого а50еД' и y 0o F (x 0) существует непрерывный выбор / из F (т. е. однозначная функция / : X -> О/ такая, что f ( x ) e F ( x ) для всякого х е Х ) такой, что f ( x 0) — у 0.

J. M io d u s z e w s k i (Wrocław)

ON T H E C O N TIN U O U S SE LE C TIO N S OF M U L T I-V A L U E D FU N C TIO N S ON D E N D R IT E S

S U M M A R Y

T h e o r e m . Let F : Х - + У , where X is a dendrite and 0 / a metric compact space, he a multi-valued continuous function whose values F( x) , x e X , are closed and of dimension 0. Then, for every £C0eST and every y 0e F ( x 0), there exists a contin­

uous selection / of F (i. e. a single-valued fu n ctio n /: X -> ‘T/ such that f ( x ) e F ( x ) for

every x e X ) such that f ( x 0) = y 0.