Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 5. (na piątek 20.04.2018)
Zadanie 1. Udowodnij, że następujące nierówności są prawdziwe:
(a) 1 +12x − 18x2<√
1 + x < 1 +12x −18x2+161x3dla x > 0, (b) ln(1 + cos x) < ln 2 −x42 dla x ∈ (0, π).
Zadanie 2. Oblicz granicę
lim
x→0
sin(sin x) − tg(tg x)
x3 .
Zadanie 3. Oblicz granicę
x→1lim
ln x + ln2x − x + 1 cos2 xπ2 .
Zadanie 4. Wykaż, że granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ograniczonych jest funkcją ograni- czoną. Czy granica ciągu funkcji ograniczonych zbieżnego punktowo musi być funkcją ograniczoną?
Zadanie 5. Zbadaj zbieżność jednostajną ciągu
fn = cosnx(1 − cosnx) na zbiorach A = [0, π/2] i B = [π/4, π/2].
1
