Lista 12. Granice funkcji Intuicyjnie, granica funkcji f : Df

Lista 12. Granice funkcji

Intuicyjnie, granica funkcji f : Df → R w punkcie x0, to liczba do której si¦ zbli»aj¡ warto±ci f (x)gdy argumenty x s¡ coraz bli»sze x0. Symbolicznie zapisujemy to

x→xlim0

f (x).

Zanim przejdziemy do formalnej denicji u±ci¢lijmy, w których punktach mo»emy liczy¢ granic¦, bo paradoksalnie niekoniecznie mo»na to zrobi¢ w ka»dym punkcie dziedziny, natomiast da si¦

czasem w niektórych punktach poza dziedzin¡. W uproszczeniu, umawiamy si¦, »e granic¦ liczymy w punktach wewn¡trz przedziaªów lub na ich ko«cach, natomiast nie w tzw. "punktach izolowanych".

Dla przykªadu: je±li dziedzin¡ jest zbiór: Df = {−4} ∪ {−3} ∪ (−1, 0) ∪ [1, 2) ∪ (2, ∞), to grance mo»emy liczy¢ w punktach x0∈ [−1, 0] ∪ [1, ∞].

Denicja (Granica funkcji w punkcie). Granic¡ fukcji f : Df → R w punkcie x0 nazywamy liczb¦

g ∈ R, która speªnia warunek

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df, x 6= x0 |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − g| < ε.

Je±li liczba g z powy»szego twierdzenia istnieje, to oznaczamy j¡ g = limx→x₀f (x).

1. Przypomnij denicj¦ (tzw. "Heinego") ci¡gªo±ci fukncji f : Df → R w punkcie x0. Wska»

ró»nic¦ pomi¦dzy tymi dwiema denicjami.

2. Udowodnij (korzystaj¡c z denicji ci¡gªo±ci i powy»szej), »e je±li funkcja f : Df → R jest ci¡gªa w pewnym punkcie x0 ∈ Df, to jej granica jest równa dokªadnie warto±ci wtym punkcie, tzn.

x→xlim₀f (x) = f (x₀).

Wobec powy»szego, dla fukncji ci¡gªych (a taka jest wi¦kszo±¢ spotykanych przez nas funkcji) granic¡ funkcji w punkcie x0, w którym jest ona okre±lona jest po prostu warto±¢ f(x0). Dlatego w przykªadach b¦dziemy liczy¢ gªównie granice w:

• punktach, w których funkcja nie jest okre±lona (ale "le»¡ na brzegu"),

• punktach, w których funkcja nie jest ci¡gªa,

• w niesko«czono±ciach.

Mo»e si¦ zdarzy¢, »e granica nie istnieje, ale istniej¡ tzw. "granice jednostronne". Ich denicja jest identyczna, jak powy»sza - zmianiamy jedynie "x 6= x0" w trzecim kwantykarorze na "x > x0"

(lub "x < x0"). Tak¡ granic¦ zapisujemy lim_x→x⁺

0 f (x) (lub lim_x→x⁻

0 f (x)).

A teraz zadania:

3. Policz z denicji granic¦:

x→9limx − 5, lim

x→−22x²− 5x.

4. Policz granice:

lim

x→1

x²− 1

x − 1, lim

x→2

x²− 5x + 6

x²− 2x , lim

x→2

x⁵− 32

x⁴− 16, lim

x→1

xⁿ− 1 x − 1 . 5. Policz granice:

x→2lim

x − 2

√x − 1 − 1, lim

x→0

√

x²+ 1 − 1

√

x²+ 25 − 5.

6. Policz granice jednostronne funkcji f(x) = sgn(x + 2) − x w punkcie x0= −2.

Jak ju» wspomnieli±my chcemy równie» liczy¢ granice w "punktach" x0 = ∞ lub x0 = −∞. Nie da si¦ wtedy korzysta¢ z tej samej denicji, wi¦c potrzebujemy pewnej modykacji.

1

Denicja (Granica funkcji w punkcie niewªa±ciwym). Granic¡ fukcji f : Df → R w punkcie x0= ∞nazywamy liczb¦ g ∈ R, która speªnia warunek

∀ε > 0 ∃γ > 0 ∀x ∈ Df x > γ ⇒ |f (x) − g| < ε.

6. Jak zmieni¢ denicj¦, by oddawaªa granic¦ w x0= −∞. 7. Policz z denicji granice:

x→−∞lim 2

1 + x, lim

x→∞2 + 1 x². 8. Policz granice:

x→∞lim(−3x³+ 2x²− x), lim

x→∞

1

x²− x, lim

x→∞

2x²+ x − 5

x²+ 3x + 1, lim

x→∞

x³− 1

−3x⁴+ 3x + 5,

x→−∞lim

x⁵− 2x²+ 3x

x²− 1 , lim

x→∞(p³

2x³+ 5x²− x−p³

2x³+ 4x²− 1), lim

x→∞

2x −√ x²− 1 x + 3 . Podobnie, czasem w zwykªym punkcie x0 nie ma liczby g, która speªnia pierwsz¡ denicj¦, ale za to warto±ci zzbli»aj¡ si¦ do niesko«czono±ci (lub minus niesko«czono±ci). Wtedy denicj¦

modykujemy nast¦puj¡co.

Denicja (Niewªa±ciwa granica funkcji w punkcie). Granic¡ fukcji f : Df → R w punkcie x0

nazywamy ∞, gdy jest speªniony warunek

∀β > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df, x 6= x0 |x − x0| < δ ⇒ f (x) > β.

9. Napisz denicj¦ z "−∞" w miejsce ∞.

10. Policz z denicji granice:

lim

x→0− 1

x², lim

x→1

sgn(x − 1)

x − 1 , lim

x→1

2^x x − 1. 11. Napisz denicj¦ "niewªa±ciwej granicy w punkcie niewªa±ciwym".

12. Niech c oznacza dowoln¡ liczb¦ ró»n¡ od zera. Co si¦ dzieje, je±li licz¡c granic¦ uªamka dostajemy:

0 c, c

0, 0

∞, ∞

0 , ∞ c , c

∞, c c, 0

0, ∞

∞.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2