IV termin

(1)

Zadanie I Zadanie 2

Zadanie 3 Zadanie 4

Zad,anie 5

Zadanie 6

Zadarie

7 Zadanie 8 Zadanie 9 Zadanie 10

Imię

i

nazwisko

Numer

indeksu

.,...,....

Studia stacjonarne, specjalność ...,..

Kolokwiurn z ana|W"Trlillffznej 4

^_

IV termin

Uwaga.

Każde

zadanie jest punktowane w

skali

(0-2pkt).

Warunkiem

zaliczenia kolokwium na ocenę dostateczną

jest

_zdobycie_co

najmniej

12 pkt.

Zadanie I.

^Obli,czyć^d,rugqpochod,nq w

punkcierg (

0 funkcji, uwikłanej u

: _a@)

określonej równanźem 12

- ^ra ł a'

⁺

^2r - L:

^Ooraz spełni,ajqcej warunek

g(ro) : t. W,.

qą _w: ql"YW,ŁY^'

;fłilrruJ:i t_*ri'(l"fi+o-'-Yąo

f, rxą

#ń ,1,,,'ŁĘff)=l,,Tryę=ffi=-ąb

|(D*l, łHTr**,spei*l

_a&T.

{u(.)=

.lu(ą)

=

(a-Du _F _il,3':? ^jn _-re@ś _rc

zu,Gt!)

Zadanie2,Wyznaczyćmetod,qmnożni'kówt,og,oM,i,=7ę|,1ffi,:,#=* : warunkur*92:g,

ftl,r, Ą)=

_{{r,

9},rĆr.,l) - xlt

_1?f

Ą(*t,1)

lFl ⁼ zrti _rliv=o F2"=X r . ^iloq ^r,łrł ^:g t,ir==T,i- V",F: t}$ł",[i" Tk ^dlc,x,c,

Fj^

(o,o,o)=Ź r}r{0,o,o)^o %dałęnąWą'au dgąŁw,r,ra

/

F§(oo,o1=o

Ę'^(olo,o)=r7 -tĘ

ł; Łl= ^Ll ^Ż il #c:'**,dIł ^kł=-Ą

4"T",a

I _{,_} ^

^{t{,om^L}

łnćrrinr,łrt,rr*r,",}rał

Ąi ^|r,oto\,9

^l'"or

,#rrn',..l ń' ^- ^---

U;povpllłta,U*

X..{" =O

(2)

Zadanie 3.

Wyznaczyć wszystkie lini,owo ni,ezależne welłtory

normalne

w ^punkci,e

(0,-2,zn)

,

^oTazprzestrzeń

normalnq

dla powierzchni zadanej następujqco 12 + _a2+

z :

O.

Krrq,ł),o ^Łu ^.

^FCp

qrt\Ł 7<|tlLtŁ

rt-

p,lrił.,,rl,aił,,L :

{cri,6,+)e

tX l ^F(r,l l>\-o}

Fl(n,q,4=f 4rtątą1

F'(o,-1,zJr [ 0r-Ę,4] P z" ^rde

nlsrtt',wą urĄrłluou,w,:

1a)n

^łwłx,a.^e

(, włtip< t tdlł,tłl'o Ń^dri;ffi';iii' _y

CiffiWa-l ł"J-" _I

N{o,..,.u";t:|t,..1..ie.ż'.:E,u,ą--tLolnlł],łgeJti==?,,ŁetŁ_Wry

Hą'r.o

Ę t^Ą

1"n-^,łuę\dn

w@l^r)-k\ ,W _Ąw:lt:ł _{ft+,_} ^q,;n* ^pdt)

Zadalnie 4.

Podać wymi,ary hi,per"powi,erzchni,

H,

prz{strzeńi, st'ycznej ^i,normalnej do tej hiper- powźerzchni, jeśli, jest ona określona następujqco

?(t,s) :

(ź+s, siqt, ź2^-s) , t,

s ż 0,

Odpowi,edź

krótko

uzasad,ni, ^i/V\'

^{v"^'}

^\'-v'

-;:T,Ś']'Wł;}1,

[-'r 1

^ułT|

^(ł.s) "J,-.Jd'Jł]*ono ^otrn ⁴ ⁷ 9

^.

[tr'Cr,rrJ Ę ^-ł ) Jn}ł," dt,vn[=l" i otinłĘIł=!ł D dl*p=dćrłĘH

tdtp.

d.aw

.?eu ) ^fiaŁ dĘwNpht-,ll bo

{rtłrfVp$i

00v,n

ĘH* dl" ⁽ tÓ*b.

Zadanie ó.

Wyznaczyć war"tość całki,

IIl' -, d,(r,g,z),

U

gilzi,e obszar

U ^jest

ograniczony powi,erzchni,ami,:

r * ^z

z

:0,

_U

:3.. ^1, r*z:2rr:OrU:0,

lo ,V,,h.twiela

t=ł^r _Y=O ,t-l,,/ ^1*zCI

l5=O lt*3 ^JJ§ u ^}x ^dQ,41ł)

fry"lU,dfuń,^Ł ' ^fĘ -[-[s,-}6dĄ=

i({ ^{":., ^{dłd,^{,} i|^,*Ą

k, =t'(t'n5[ł-xł,DdĄ*

f-*tł-ł -ł _Ą-

3x ⁼ 5"Tńr^- _J,6-u- r,t)*)Ą ^ż

,dlołe( -l"' _raiulol + ,hl;'* ,

'br'ul,' )Ą.

=

\: _?r%* !lb'x- _ł _un _'/*ńĄ=

łu bvłr)Ą,

=tjęn] t*)ą, ^§:

^#

!Ą- _Łti ^" ^ao= t.

(3)

I

n^l-,q-,. -,jl;::"

1/r1

,< YL t

(trńu

6

- _rry ^q' ^

^T4

Zadanie 6.

Obli,czyć całkę podwójnq

I ^{D, D}Di}

D D^ DP

h...-*l^r\łn-r_^.ro =-L-Ęrt"E-o:kłl

^,

rr ^drdu

ll "

lj lltą,

gd,zi,eDjestobszaremokreślonymnźerównościamigś12+a'śri,yżO.Sporzqdzi,Ćrysunek zbioruD

{ ffi=frę ^ovd,(.f _flH ^obd,A=

I

Ą,/,,'

,: _' ł,lslii" _ffi W, ⁼ =

^_

^\'r,r:ł'5 ^-ir.li-V -Ł[ tĘi[;"":sj ^, ^,;lorrt ^ffi:lJ: ^trP łlg,pałi.ł=- ^zw|iioti] ^# L--l$.

⁼

^*= ,rl,Ę

Ł, *P,MYqę

_D1:

ruł7,V,cglł,,ww

^L

F;v<łłL, tr|fqt)-v x=łrn( i ^v§}ttqŁ

, ".:ti;i ^),-f#i, mł,#śź ^a> ^I ffffi"' ^ćJ

ąlr _ś

)ę{._( o# 4-W t-n.,W

,-yrr'IrąT'

_"1

ldt.loi) (V)-

^>l

l--r?

(,a)' _t>,aż

_|

O

l-\/L-eź

t a" ! ^l(r,ńdu. ⁼

-1 ł-L

=-! 5T-,ł**, ffffi- i ^j,L,N

Ą: ^w ^.qla)

D:

^ Db,,

xel-ą|-fl-r{-.l ) ye ^Gtla>

ha 4|Ń)

xQ 4z,-t)

h

c Głl\tt)

(4)

tĄ ) lrąor?ł ^+rrŁtr\XL źX,'vłnL

_

/ rL śxv.ńąl

ł-{.+

* *,,rr.,.łrC

rę.(Pl _łłrłwń>

Zadanie 8,

Obli,czyć,

jaka

część

fr2+a2-z2:0.

;111oY abr"o{u

objętości,

'+a'+z2 ^ś2z

^jest

rl+yzt 6łr)Łś !ąrłL

wyci,ęta

przez

stożek

Ł y,rlt/tvltt ęrł7rtł ^S\

rdłnYl,"l

{ E

^{_?^Ę.,{ł}

=) ! ^|Ą ^ł,*,ła,rdt

Tu,= 5§§lacrł1 ,i= W

eanooUłrutr

^łra.

rłłp,dĘałłl _il.rĄr = ['J1

Jl!

lr.9 I! ^o6,t

a:"

łŁql, _o]d(r= _f.j,YolŁ _a*1

=

\Or?Ń :r:kŁ 7Yk,łlF= ł",-,tJ "§!'S',lłn, =J-Są ₇ _ś'+*dŁ dr, -J^'n + _Ło'|i ł ^ap, ilr,ż(,-t)=

Zadanie 9.

Wykórzystujqc odpowi,ed,ni,q regułę Guldźna, wyprowadz,ić wzór na pole powźerzchni, torusa o promi,eni,ach

a

^źb, a,

ś

^b.

&Ó ^- łd" yw,łvłua

4 ^(r) ⁼ ^Afią.? łg}ool.ęOio)c.. #t*ła ,Ę**"'' _"&

vn' &rclą,uura| ń}e^ Ę= b źW" il.(t) , _If ^,b" L{vrl1Tiłalu

_,

Zadanie tO.

Obli,czyć

masę

obszaru

D

ograni,czonego krzywgmi,

y : lffi, ^g : _ł5r,

U

:

O, jeżeli, gęstość powi,erzchnźowa masy w punkci,e

(r,y)

tego obszaru wyraża s,ię wzorem

p@,a) - ^ra.

1=[-6J- t

^,ctr7l0

qZ.'z$ x-xZ

j* _Vłd*Ńri _i4= _[rx,4d(r,Ąąufihłń"tó (t=Ąu Ę

' 3f", ^dldĄt &i, " c f lĘ-'; ⁼ ⁽ ^*rł'onn ^{f ,} ?z ^r,"re= ^'0

, (łrx.foł; ^- t ^-,.-] ^='$u- ry-,ł,)d*=

7 ?,ąr,\l:'o* €; ^b9Ę,= TW ^ź, Y'(ą),"@.

: _IF;u _+Gl(Ą, _ę),13Y= _tt,(D'-PJ _" _Gr"nĄ

₌

= ?,\'(,Ąrą,ą)r ^6'Uą= il ^(-ąl ^rf ⁼ ^-* ^*#'=

x't1' -614 t/Y1'=g

tłff

gxZ ₌_{(o r--}_t<L

k xl=6y

},łl-,tx

= !t(:].tłŁ - X=# ^lł,Lb ^_

^+ł\

_;r ^+,( ^+, €)tł

POWODZENIA.

xe{o$) il(fl.l-j;=6

X-O v Y.7Ł [t)1d,Ęł ure.p^łłllt,Mt ą W**

(5)

u,F, $-:}*1ke

y,=rcłll _*ŁCą łsr

?M ^0- dco,{

cr: vrł91ń% ^{awhłłą-dn}

€roaJ-D)tr ^Qntłt)a.t

^g

L,nf,L.,

łr%#d ą

^rąre,,

^l,ł ⁹ ^{ł^r} ^całćL ^L

^Q

of'ntw>LąO n( r-ŁłnL\ ęo

{ę<916 ^r,erLŻ

n§,

^ufr1,9)

= f

'łi--rn\ł,ł,.

y _dw

_oĄI

₌

"]f

'j'*' rrłęl{trĘl _&,ł,t -

{U ,/łoq,trl,:*'dń.

" 5r |Ę6a,,c{no{ d,Ł hd;r ę, §uo,Ą_r'|łrcd*\=

;, ry"Łf łt, ^,,n, ^§;, _?rbcdt, ^3.36. _r*V,

=

IV termin

Zadarie

i

indeksu

Kolokwiurn z ana|W"Trlillffznej 4

IV termin

Każde

skali

Warunkiem

jest

najmniej

Zadanie I.

punkcierg (

: a@)

- ra ł a'

2r - L:

g(ro) : t. W,.

qą w: ql"YW,ŁY^'

;fłilrruJ:i t_*ri'(l"fi+o-'-Yąo

f, rxą

#ń ,1,,,'ŁĘff)=l,,Tryę=ffi=-ąb

|(D*l, łHTr**,spei*l

{u(.)=

(a-Du F il,3':? jn -re@ś rc

Zadanie2,Wyznaczyćmetod,qmnożni'kówt,og,oM,i,=7ę|,1ffi,:,#=* : warunkur*92:g,

ftl,r, Ą)=

9},rĆr.,l) - xlt

Ą(*t,1)

lFl = zrti rl*iv=o F2"=X r . iloq r,*łrł *:g t,ir==T,i- V",F: t}$ł",*[i" Tk dlc,x,c,

(o,o,o)=Ź r}r{0,o,o)^o %dałęnąWą'au dgąŁw,r,ra

F§(oo,o1=o

Ę'^(olo,o)=r7 -tĘ

ł; Łl= Ll Ż il #c:'**,dIł kł=-Ą

4"T"*,a*

I ,_ ^

łnćrrinr,łrt,rr*r,",}rał

Ąi |r,oto\,9

,#rrn',..*l* ń' - ---

U;povpllłta,U*

Zadanie 3.

normalne

(0,-2,zn)

,

normalnq

z :

Krrq,ł),o Łu .

qrt\Ł 7<|tlLtŁ

p,lrił.,,rl,aił,,L :

tX l F(r,l l>\-o}

Fl(n,q,4=f 4rtątą1

F'(o,-1,zJr [ 0r-Ę,4] P z" rde

1a)n

(, włtip< t tdlł,t*łl'o Ń^dri;ffi';iii*' y

CiffiWa-l ł"J-" I

N{o,..,.u";t:|t,..1..ie.ż'.:E,u,ą--tLolnlł],łgeJti==?,,ŁetŁ_Wry

Ę t^Ą

w@l^r)-k\ ,W Ąw:lt:ł ft+,_ q,;n* pdt)

Zadalnie 4.

H,

?(t,s) :

s ż 0,

uzasad,ni, i/V\'

\'-v'

-;:T,Ś']'Wł;}1,

[-'r 1

(ł.s) "J,-.Jd'Jł]*ono otrn 4 7 9

[tr'Cr,rrJ Ę -ł ) Jn}ł," dt,vn[=l" i otinłĘIł=!ł D dl*p=dćrłĘH

tdtp.

.?eu ) fiaŁ dĘwNpht-,ll bo

{rtłrfVp$i

ĘH* dl" ( tÓ*b.

Zadanie ó.

IIl' -, d,(r,g,z),

U jest

r * z

:0,

:3.. 1, r*z:2rr:OrU:0,

lo ,V,,h.twiela

t=ł^r Y=O ,t-l,,/ 1*zCI

l5=O lt*3 JJ§ u }x dQ,41ł)

: _a@)

- ^ra ł a'

^2r - L:

qą _w: ql"YW,ŁY^'

(a-Du _F _il,3':? ^jn _-re@ś _rc

lFl ⁼ zrti _rliv=o F2"=X r . ^iloq ^r,łrł ^:g t,ir==T,i- V",F: t}$ł",[i" Tk ^dlc,x,c,

ł; Łl= ^Ll ^Ż il #c:'**,dIł ^kł=-Ą

4"T",a

I _{,_} ^

Ąi ^|r,oto\,9

,#rrn',..l ń' ^- ^---

Krrq,ł),o ^Łu ^.

tX l ^F(r,l l>\-o}

F'(o,-1,zJr [ 0r-Ę,4] P z" ^rde

(, włtip< t tdlł,tłl'o Ń^dri;ffi';iii' _y

CiffiWa-l ł"J-" _I

w@l^r)-k\ ,W _Ąw:lt:ł _{ft+,_} ^q,;n* ^pdt)

uzasad,ni, ^i/V\'

^\'-v'

^(ł.s) "J,-.Jd'Jł]*ono ^otrn ⁴ ⁷ 9

[tr'Cr,rrJ Ę ^-ł ) Jn}ł," dt,vn[=l" i otinłĘIł=!ł D dl*p=dćrłĘH

.?eu ) ^fiaŁ dĘwNpht-,ll bo

ĘH* dl" ⁽ tÓ*b.

U ^jest

r * ^z

:3.. ^1, r*z:2rr:OrU:0,

t=ł^r _Y=O ,t-l,,/ ^1*zCI

l5=O lt*3 ^JJ§ u ^}x ^dQ,41ł)

fry"lU,dfuń,^Ł ' ^fĘ -[-[s,-}6dĄ=

i({ ^{":., ^{dłd,^{,} i|^,*Ą

f-*tł-ł -ł _Ą-

3x ⁼ 5"Tńr^- _J,6-u- r,t)*)Ą ^ż

,dlołe( -l"' _raiulol + ,hl;'* ,

\: _?r%* !lb'x- _ł _un _'/*ńĄ=

=tjęn] t*)ą, ^§:

!Ą- _Łti ^" ^ao= t.

- _rry ^q' ^

I ^{D, D}Di}

rr ^drdu

{ ffi=frę ^ovd,(.f _flH ^obd,A=

,: _' ł,lslii" _ffi W, ⁼ =

^\'r,r:ł'5 ^-ir.li-V -Ł[ tĘi[;"":sj ^, ^,;lorrt ^ffi:lJ: ^trP łlg,pałi.ł=- ^zw|iioti] ^# L--l$.

^*= ,rl,Ę

F;v<łłL, tr|fqt)-v x=łrn( i ^v§}ttqŁ

, ".:ti;i ^),-f#i, mł,#śź ^a> ^I ffffi"' ^ćJ

ąlr _ś

(,a)' _t>,aż

t a" ! ^l(r,ńdu. ⁼

=-! 5T-,ł**, ffffi- i ^j,L,N

Ą: ^w ^.qla)

xel-ą|-fl-r{-.l ) ye ^Gtla>

tĄ ) lrąor?ł ^+rrŁtr\XL źX,'vłnL

rę.(Pl _łłrłwń>

'+a'+z2 ^ś2z

=) ! ^|Ą ^ł,*,ła,rdt

rłłp,dĘałłl _il.rĄr = ['J1

lr.9 I! ^o6,t

łŁql, _o]d(r= _f.j,YolŁ _a*1

\Or?Ń :r:kŁ 7Yk,łlF= ł",-,tJ "§!'S',lłn, =J-Są ₇ _ś'+*dŁ dr, -J^'n + _Ło'|i ł ^ap, ilr,ż(,-t)=