Pytania zamknięte

€4.ć€

Imię

i

nazwisko Nrrmer inrleksrr

Studia stacionarne, spec.jalność

Kolokwium z AM3 - termin IV, luty

2016

Uwaga, Ka;żde pytarrie zamknięte jest puaktowałre w *kali (t]-3pkt) (lpkt za każdą poprawną odpowiedź cząptkową). Kaź,de pytanie otwarte jest punktovane w ska,li (&2pkt). Warurkiem zaliczenia kolokwium jest zdobycie co najmniej 18 pkt w cz$ci teoretycznej (za,da.rria zamknięte) araz cQ najmniej 12 pkt w cąści ^otwartej. W tabeli odpowiedzi na pytania zamknięte należy wpisywac (tylko raz!) odpowiedź w darre pole ?AK lułr iilE. lnne odpowiedzi lub ich skrótv będą traktowżr,rre jako _odpowiedź błędna. Szcz,egóły punkllacji i ocen są na sttonie: http://math.uni.iodz.pt/ karpinł-/index.php?go:AiV{3N{aierialyPomocnicze

Pytania zamknięte

1. Następujące zdanie jest prawdziwe:

\1 a) Dowolny podzbiór w przestrzeni ^jR.'' jest zwarty wtedy i tylko rvtedy gdy jest on domknięty,

a

^b) Domknięcie zbioru ogTaniczonego w przestrzeni IR' jest zbiorem zwartym.

1

^{c) Domknięty podzbiór}

^kuli

^{o promieniu}

^r

^{> 0}

^(r

^ustalone) jest zbiorem zwaxtym w przestrzeni ]R,,

2. Jeśli _.f ,

R'

^{---+ ]R} jest różniczkowalna, to

1 _") f

^jest ciągła w kazdym punkcie ss,"ojej dziedziny.

T ^b)

^posiada, pochodne kierunkowe w do*-olnym punkcie należącym do dziedziny we wszystkich kierunkach.

11 c) istnieją pochodne czą,stkowe tej funkcji nr każdyrn punkcie dziedziny

i

są ciągłe.

3.

\A,'arunkiem koniecznym dwrrkrotnej różniczkowalności firnkcji

f

^{wielrr zmiennych w punk-}

cie rg € ^{IR' jest:}

N

^a) jednokrotna różniczkowalność tej funkcji w każdym punkcie dziedziny.

T

^b) istnienie wszystkich pochodnvch czą§tkowych drugiego rzędu tej funkcji w punkcjie 16.

N

c) istnienie i ciągłoŚć wszysikicir pochdnych cząstkolg1,3fu cirrrgiego rzędu tej funkcji w otoczeniu punktu rg.

4. Dyfeomorfizmem

/

^{, R2 --+ R2 jest:}

Ń

a) każde odwzorowanie regularne

/

^{: lR2 --* ]R2.}

T

^b) odwzorotanie

f

^{, ]R2}

^--

R2 określone wzorem:

!(r,r1 :

_{2r

_{- u,r}

_{+ a).}

T

_") każde odwzorowanie

/.

które jest Iokalnie <lyfeomorficzne ^,lr otoczeniu każdego punktrr

r

€ ]R2.

Odp. a b c

Pkt

Odp. a b c

Pkt

Zad.

Pkt

Zad. Pkt.

Pyt.1

N T T ^Pń.6 l\

r{

I ^{Zad.1 Zad.6}

Pyt.2

T T ^{Ń ?yt.7} T T T ^{Zad.2 Zad.7}

Pyt.3

Ń T Ń

^Pyt.8

T Ń

^I

^{Zad.3 Zad.8}

P_vt.4

lV f T

^Pyt.9 Ń

T- 1 ^Zad.4

^Zad,.9

Pyt.5

N

f{

1

^{Pvt.10 l}

rł

^{}.l Zad,.5}

^Zad.70

Suma Suma Ocena

}l

T

Ń

N

}l

1

(

5. Twierdzerrie Lagrarrge'a o wartości śretlniej a) stosuje się do odwzorowań

b) przenosi się na funkcje jeclnej zmiennej o wartościach wektorovrych.

c) stosuje się dla funkcji wielu zmiennych o wartościach rzeczywisĘch.

6.

Niech

l(t}:

("(t),

y(t),z(t))

będzie funkcją różniczkowalną dla

ź >

0. Wówczas, jeśli tego purrktu opisany jest funkcją.f, to

a)

f'(t)

^{opisuje szybkość punktu} materialnego w przestrzeni,

b) wektor prędkości punktu materialnego wynosi za$rsze

/S,

^jeśli

^r(t) :

_aft)

:

z(t)

:1.

ryil

^{c) punkt porrrsza,}

sĘ

ruchem prostoliniowym.

7. Kryterium Sylvestera

a) jaśli _nie zachodzi dla formy kwadratowej (w pewnym punkcie krytycznym funkcji

/),

^{to funk-} cja

/

nie posiada w tym punkcie minimum lokalnego.

b) określa znal< formy kwadrato*-ej na przestrzeni lR'.

c) pozwala wyznałzyć ekstremum lokalrre funkcji wielu zmiennych w danym punkcie.

8. Niech _f

,g, ^D

^--+]Rn

^(D c

^m.&,

kłn)

będąodwzorowaniami różniczkowalnymi

wpunkcie

a.

Wtedy

a) (/ +

g)'t"):

"f'(o) + g'(a}.

b)

(/

_"

d'{") : _f'b@D

^o g'(a), gdzie symbol o oznacza złożenie.

c) (c,

f)'{") : _{c, f'(a),}

gdzie c- stała.

9. Jakobianem nazywamy

a) macierz pochodnych cząptkowych drugiego rzędu odqrzorowania

/

^{: IR'--+ ]R*.}

b)

wyznałznik macierzy Jacobiego-

c) wyznacznik macierzy pochodnych cząptkowych pierwszego rzędu odwzorowania

/

^{: lR" ---+ ]R.',}

10. Jeśli dla pewnego punktu (ro,go) załhodz\

l'(*o,yo):0

^{dla funkcji}

/

dwóch zmiennych o wartościach rzeczywistych, to

a) (ro,96) jest punktem kryĄycznym dta

/.

b) w punkcie (16,96) funkcja ma ekstremum lokalne.

c) w punkcie ^(u6' _{uol f} (ro,uo)) nie istnieje płaszczyzna styczna do powierzchni określonej rów- naniem

z:

f

(r,g).

-T

Ń

t

Ń

1

a

1

Ń

l,|

pytania otwarte

Zad"anie

t.

Obli!,z granżcę (ł: źle źstnieje)|im'.-a*.f (rr), ^gd,zźe _f (n)

: (*r,{2,+3-)" k *

{oł^,Je'dh'^t H-= Wr;#= d#k 3§ .ldt,| #,,^|=7,r ^&rę

&łc+*<1 _,

0,"*' I:Y.O ^(oiń u4erą ąfue+"alt va,,wd!),

?s{rep}qn

3=n@ <rf,rr1m<.{ą_Tr,= n6,błó,h Ęgob",,o' ^(Ęd

Y 2 ^{vl v} Wt^)=( ol ^})

Ą

Zadanie 2.

Obli,cz granżcę (o ile istńeje)|im",,,g1*(0,0) "f(r, y), gd,zi,e f

(r,ń : #.

^Od,pońedź

uzasadni,j. dnr,,łralruł,

ćc

0ś l-"-*

'- ffi a+*= łI^lł§o,o) _t2Ątę,,,|

W, ^{f (r,9)} -o

^.

(r,9)-)Q,o)

Zadanie 3.

Czg d,la funkcjź f

@,a) : _{lnr * siny}

zachodzi równość:

V/(1,0)h : _f'l,Q,0)

d,la d,owolnego

h:

_{ht.,h2) e ⁿ² ? Odpowied,ź uzasadnij rachunkam,i,.

aoiu^b: jfc"'9)= + _fr(r,r) ^{= cml7} ffi{,t,o)= *=l Frcr,r)r*o=J

ąd ^{Vf [r,o) h. rT-&0 ,&} 0,óJfl,,,v,,) ₌ Lł,6).Th,, h,l ₌ al*h.

^.

łl^ćr,o), _l

_rĄl

_|lv ' i->O ł/_! łco,,;-Łrl"'P- Ł +r*)- b)Q ---- h^ ^{*(rth,, łrn)} -o _,htłL +żo l,*(łłtr,,),ń{ł,

-

:

= Ld9'' bo ^{Ó,'r''',* *')' ho = pś"} _wr,* ^{h.cooth)= \nłhx E\d} '

Zadanie 4.

Pod,aj (wyznacz)

i

narysuj aaeazłnę

i

zbiór uańośc,i

funkcji, ^V{,,o)h

⁼

_{| l(}

_',O1 ^.

(L.,h,Y łJnsL\l

VŁFftł,IŃu,ą

ffi,!-ffi

ĄĄrłIrlol4llĄ,

.rhL ^{[n,,1)=6.

(,.,,|-zlp,j;

^J

E -t-.r

Zadarńe

7.

*n,r> ^eIo{S.rłr

S ^c.,;;,

^un'tJ.,[

Wyznacz macźerz Hessego dta funkcji f (*,a}

-

^e"+g.

ff-ą= 8n'o1.Jrgxt ćrlf$. j, _{= enun(qn,C}

ffi(,.,r), ^e"*t

#,,,r-.ffi-t,r)= ^{e "'U, J}}

Zadanie 8.

?Yyznacz (o ^i,Ie i,stni,ejq) wańość najmni,ejszq ^i, najwi,ększq dla funkcji f

tn,ń :

13

-

^y2. Odpowźed,ź

uzasailnij. _Dt

⁼

Q'

ffidruo(Ć *1*t^ łIę- rVłuiEt ,h. &t ^{(or-f) -- d)} ,+'W ^,,,.b. _;-+

$o^,ńło^^e v _"P-1

(xlx);(* c)

lfurrt,oŁt *1,*ć{* _^lc ^{,*k iBir} ,b"

^0r

^*

' (r,,|a10, o) (*'{ _{= -ąl} ) ^,*/. ł,,l"Ą"t

Zad,anie

9.

Podaj różni,czkę d3 f

(0,Ą

dla funĘcji ^.f (*,a)

:

_{ę" +}

_a'.

sś,+ .,

^"

^{" *-} _&ć,l ^{p i'."' " n'} -*''#{Y_:ł;J_

^" p=#,to,o\, b tó' _^o',

{rG,il= Ę ^&:,rr'ffirS'|=ff,G'g_)=c ⁽

'

;":Wto,o)',

ffi,)n' 'fr,Glrr,Il. Ń',ń.#oy'^Ó-Pft^Gv)ą l ^{= L,b.o+, łto=Ą} W*,+

^.

r \_., ^{ąV'r):^?. ,_(L * pf ,nor>)}

|h,ifu

[. ^o"(r. x2tł) _e*'-51l

b"'rn ^{e^'rż} )

Ń d oyo^ńał,,lvl dń, I

'Ń'ł]rkGą.

o . ^{ą'' \''} _ni+,;r

⁼

& ^{- *i'ęrooY} J

ąfJb -Z.d"!ri. _1o.

_Wyznacz, o,ile,istniejq, ekstreynalokalne funkcji f

(r,ń::x2 -2r*y3 -3a-2.

rffi;,,Si;,r*- ^{l:;: 1:,=: sg} d",nwĄĄl ?=(l ,), ^9,=(Ąt1), L2ń",::;^ W,,u lt'=,?y",

'M.YP o

n=L:Ll W}l #ł:riWW.

H{r,O.i'ź L (l L- -J -v,",=:tr ^,

*p,r,=ffil-ł, T| _A ^{".,-l d,*A,--,,}

LO1] ff;n,Y:m,

ą;xĘ ^v,,-* V W ęhnĘwl^-,l ientłO

^ĄĄj),t,

l&nt^a ń,yę. 5 ^dln W

7,'(4, ,t)

^,