bi Bi

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XI (1977)

HENRYK MIKOS (Lublin)

Weryfikacja hipotez w nieortogonalnej potrójnej klasyfikacji

krzyżowej

przy

^użyciu

operatorów rzutowych*

(Praca przyjęta do druku 27.8.1975)

1. ^Wstęp. Obliczenia związane z weryfikacją hipotez w przypadku danych nie- ortogonalnych podlegających klasyfikacji krzyżowej są zwykle kłopotliwe. Dokładne

metody opracowywania takich danych eksperymentalnych ^wymagają odwracania wielu macierzy (por. Federer i Zelen [2]), obliczania macierzy uogólnionych odwrot- nych (por. Vuagnat [5]), ^bądź znalezienia operatorów rzutu ortogonalnego (por.

Seber [4]). W ostatniej z wymienionych metod traktuje się próbę losową jako element przestrzeni wektorowej. Obliczenia związane z weryfikacją hipotez w modelach liniowych sprowadzają się wtedy do znalezienia rzutów ortogonalnych wektora obserwacji na odpowiednie podprzestrzenie przestrzeni prób. Yamamoto i Fujikoshi [7] zastosowali ^metodę operatorów rzutowych do nieortogonalnej podwójnej klasy- fikacji krzyżowej. W niniejszej pracy uogólniono wyniki Yamamoto i Fujikoshi na przypadek potrójnej klasyfikacji krzyżowej.

2. Model ogólny. Rozważmy klasyfikację krzyżową trzech czynników A, Bi C odpowiednio o poziomach a, bi c. Niech Ytikm oznaczam-tą obserwację w (i,j, k)-tej podklasie, to jest, przy i-tym poziomie czynnika A,j-tym poziomie czynnika Bik-tym poziomie czynnika C. Niech ponadto niik oznacza ^liczbę obserwacji w (i,j, k)-tej podklasie.

Załóżmy, że nij. > O, ^n.ik > O, ^ni.k > O oraz że istnieją podklasy, w których niik ;?; 2. Kropka wstawiona w miejsce wskaźnika oznacza, jak zwykle, sumowanie po tym wskaźniku.

Na ^przykład,

* Praca wykonana w ramach problemu ^węzłowego 06.1.l koordynowanego przez Instytut Matematyczny PAN.

[59]

Model matematyczny klasyfikacji potrójnej można napisać w postaci (2.1)

gdzie 'Y/tik oznacza ^średnią w populacji w (i ,j, k)-tej podklasie, a etikm - ^błąd ekspery- mentalny ^związany z obserwacją Ytikm. Zakładamy, że błędy eksperymentalne ^są

niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych ze ^średnimi zero i tą samą wariancją

a;.

^Niech

(2.2) 'Y/tik = µ+at+ af

+

^af

+

ajB

+

^afkc

+

^tXfkc

+

^aj~c,

gdzie µ oznacza średnią ogólną, at, af, af - efekty ^główne czynników A, B i C odpowiednio, af/, a1f, a1f - efekty interakcji dwuczynnikowych, a ^aj~c - efekt interakcji trójczynnikowej.

Dla uzyskania jednoznaczności podziału (2.2) załóżmy, że składniki spełniają

dodatkowe warunki. Niech Wtik ^oznaczają nieujemne wagi ^związane ze ^średnimi 'fJtik i niech

(2.3)

2:w

_i ^{1 •• af =O,} Lw.j.a1 =O,

j

~i AB k" h

Li

wij. aii

=

O dla wszyst 1c ^j,

i

).w,. a-1-fl =O

~ J. ^l} dla wszystkich i, j

Lw.jka1f =O dla wszystkich k,

I

j ^{w.jkafkc =O} dla wszystkich j,

k

L _{wt.kaik -}AC -o dla wszystkich k,

4=

i ^{wi.katr =o} dla wszystkich i,

L

. Wtjk aijk ^ABC = 0 dla wszystkich j, k,

L

I ^{Wijk aijk ABC = o} dla wszystkich i, k,

4=

j ^{w tik}

^aj~c

⁼ O dla wszystkich ^{i, j,}

przy czym w1j. > O, w.jk > O, wi.k > O.

Zależności (2.2) i (2.3) mają następujący zapis macierzowy:

(2.4)

Weryfikacja hipotez

gdzie

(2.5) A = [Jabc' la®Jbc' Ja®lb®Jc, Jab®fc, lab®Jc, Ja®fbc' la®Jb®fc, labc], fJ

=

[1'}111' 1'7112' „.' 'l'JabcJ',

61

Wielkości a ^są wektorami zawierającymi odpowiednie efekty, np. aA = [at,

„., CX:J'.

Wektorem nazywamy macierz jednokolumnową, której elementami są współrzędne

wektora, a n-wymiarową przestrzeń euklidesową wektorów typu n x 1 oznaczamy symbolem En. Ponadto „®" oznacza iloczyn kro-neckerowski macierzy, znak' -

transpozycję macierzy, Jn - wektor złożony z n jedynek, a In - macierz jednostkową

n x n. H jest macierzą mającą wzdłuż głównej przekątnej macierze HM, HA, Hn, He, HAn, H8c, HAc, HAnc, a ^pozostałe elementy równe zero, gdzie HM jest ^macierzą

jednoelementową o elemencie równym zero,

(2.6)

Dw oznacza tu macierz typu abc x abc ^mającą na głównej przekątnej wagi

W111' W112, •.. , W abc' a poza przekątną zera.

TWIERDZENIE 2.1. Układ równań (2.4) jest zgodny, to znaczy dla ^każdego wektora fJ ^E Eabc oraz każdego układu wag { wiid istnieje wektor

fJ

spełniający układ równań

(2.4).

Do wód. Dla wykazania zgodności układu wystarczy dowieść, że

(2.7) R[A']nR[H'] =O,

to znaczy, że podprzestrzenie rozpięte na wierszach macierzy A i wierszach macierzy H są rozłączne (por. Yamamoto i Fujikoshi [6]). Przypuśćmy, że istnieje niezerowy wektor ~ E R[A']nR[H']. ^Jeśli tak, to istnieją wektory u= [u_{111 ,} u_{112 ,}

„.,

^UabcJ'

v = [vA, v8 , Vc, v~8, v~c, V~c, v~8^cJ', gdzie

5 Matematyka Stosowana XI

V~c = (q1' q2, ... , qc, r1, r2, ... , ra],

V~BC

=

(s11, S12' ... , Sbo 111, 112' ... , fuc' Z11' Z12, ... , Zab], takie że

~ = A'u = H'v.

Po wymnożeniu otrzymujemy stąd następujące równości:

(*) u ...

= o,

^{ui ..} = vAwi.., U.j. = ^VBW.j., u .. k = ^{VcW .. b} (**) uii. = (mi+ni)wij., u.ik = (ok+Pi)w.jb ui.k = (qk+ri)w1.b (***)

gdzie i = 1 , ... , a, j = 1 , ... , b, k = 1 , ... , c.

Jeżeli wszystkie wiik =O, to~ = O i koniec dowodu.

Załóżmy więc, że w ... > O. Wtedy z uwagi na (*) otrzymujemy u ... = ^vA w ... , u ... = ^v8 w ... , u ... = vcw .. „ a stąd v A = O, ^'l-'8 = O, vc = O, a co za tym idzie, ui.. = O, u.j. = O, u .. ^k = O. Podobnie postępując z zależnościami ('~*) i (***)można wykazać, że uu. = O, u.jk

=

^{O oraz ui.k} = O, a następnie, że uiik = O dla każdego i, j, k. Rów-

ności te oznaczają, że ~ = O, a to ^kończy dowód.

TWIERDZENIE 2.2. Układ wag { wiid daje jednoznaczne rozwiązanie równania (2.4) wtedy i tylko wtedy, gdy

(2.8) rząd Dw[Ja®lbc' la®Jb®lc, lab®Jc] = ab+bc+ac-a-b-c+ 1.

D o w ó d. ^Układ wag { wiid daje jednoznaczne rozwiązanie równania (2.4) wtedy i tylko wtedy, gdy ^rząd[A', H'] = I +a+b+c+ab+bc+ac+abc. Z (2.7) oraz (2.3) wynika, że rząd[A', H'] = abc+2a+2b+2c+rząd[DwH~8^{c]. Stąd} teza twierdzenia.

W dalszych rozważaniach przyjmujemy, ^że efekty µ, cxA, IJ.B, ac, rxA8, cx8c, cxAc, i 1J.A8c zdefiniowane ^są przez zależności (2.2), (2.3) oraz (2.8).

Niech y ^będzie wektorem, którego współrzędnymi są kolejne obserwacje

Y1111, )' 1112 , ... , Yabcnabc' a e - wektorem, którego współrzędnymis ą błędy etikm ustawione w tej samej kolejności jak obserwacje. Wtedy model (2.1) z warunkami (2.2), (2.4) i (2.8) można zapisać w następującej postaci:

G: y = (}

+

e, (} E Q c En, e ,..._, N[O, a; In].

Przestrzeń Q określona jest następująco:

(2.9) gdzie

X= [Jn, XA, XB, Xe, XAB' XBc, XAc, XABcl·

Dla zapisania macierzy X w po5taci wyraźnej przyporządkujmy obserwacjom Y ^{1111, Y} 1i12, · · · , Yabcnabc kolejne numery 1, 2, ... , n, a (i, j, k)-tej kombinacji pozio-

Weryfikacja hipotez 63 mów czynników A, B, C przyporządkujmy jeden numer reprezentowany przez

wskaźnik q obliczony ^według wzoru:

q

=

(i-l)bc+ (j- l)c+k:

Macierz XABC jest ^macierzą typu n x abc o elementach ^Yvą, przy czym _ J 1, ^jeżeli v-ta obserwacja ^należy do q-tej podklasy, Yvą -

l

^O, w przeciwnym przypadku,

natomiast

X A = XABe(la®Jbc), XB = XABe(Ja®lb®Jc), Xe = XABc(Jab®fc), (2.10) XAB = XABe(Iab®Jc), XBc = XABc(Ja®lbc), XAc = XABc(la®Jb®lc).

Łatwo wykazać, że ze wzorów (2.10) wynikają następujące relacje:

(2.11) XA = XAB(Ia®Jb), XB = XBc(lb®Jc), XB

=

XAB(Ja®lb), Xe= XBc(Jb®lc),

XA = XAc(la®Jc), Xe = XAc(Ja®lc).

W potrójnej klasyfikacji ^krzyżowej interesuje nas zwykle weryfikacja hipotez postaci:

Ht: rxt =O, t =ABC, AB, BC, AC, A, B, C, M

przeciwko założeniom ogólnym G. Dla uproszczenia zapisu hipotez przyjęto, że

µ

=

^(/.,M. Hipotezy H1 można zapisać podobnie jak ^założenia G w sposób ^nastę­

pujący:

gdzie

wt= {fJ E E„: ()

= xn1t,

Ht*Pr =o}.

Macierz Xt* powstaje z macierzy X przez ^usunięcie macierzy Xt. Wektor

Pr

powstaje z wektora

p

przez ^usunięcie wektora (/.,t, a macierz Ht* powstaje z H przez ^usunięcie wierszy i kolumn odpowiadających usuniętemu wektorowi ^lit.

Jak wiadomo (por. Seber [4]), funkcją testową opartą na ilorazie wiarogodności weryfikującą hipotezę Ht przeciwko założeniom G jest funkcja

F

=

ll(P.o-Pwt)Yli² :

ll(J„-Pa)Yll

^{2 '}

r-qt n-r

gdzie r jest wymiarem przestrzeni Q, a qt - wymiarem przestrzeni wt. ^Wielkość

ll(Pa-Pa>tYll

²

=

y'(P.o-Pw)Y nazywa się sumą kwadratów dla hipotezy H0 a

ll(J„-P.o)Yll

² = y'(I„-P.o)Y-sumą kwadratów dla błędu. Funkcja F ma przy ^zało­

żeniach G niecentralny rozkład Fr-ąi. n-r,<5' gdzie ^~ = (a;)-¹ fJ'(P.o-Pw,)fJ.

TWIERDZENIE 2.3. Wybór wag { wiid nie ma ^wpływu na funkcję testową weryfiku-

jącą hipotezę lfABC·

Do wód. Analogicznie jak w twierdzeniu 2.1 można wykazać, że

R[X']nR[H'] =O, R[Xi~cJnR[Hi~cJ =O.

Oznacza to, ^że (por. Yamamoto i Fujikoshi [6])

Q

=

R[X], WABC

=

^R[X1Bcl·

Z uwagi na (2.11)

R[X]

=

R[XABcL a R[X.hc]

=

R[XAB' XBc, XAc].

W ten sposób przestrzenie Q i wA 8c określone są przez podmacierze macierzy X, których ^postać nie ^zależy od wyboru wag {wud·

Pozostałe przestrzenie ^wt nie dadzą się określić w tak prosty sposób jak Qi wA 8c, gdyż dla ^żadnej z nich nie jest ^spełniony warunek analogiczny do warunku (2. 7).

Dlatego ^też przestrzenie te są zależne od wyboru wag { wud, a wzory określające

je dla dowolnych wag ^są skomplikowane. Zajmijmy ^się na początek przestrzenią

WAB:

WAB = {8 ^E En: 8 = X~ttJ~i, H~~/l~t = O}+

+

{ll E En: 8 = XABCCXABl' HABCaABC =O}, gdzie X'.:.ii powstaje z X18 przez usunięcie X ABC, a /l~i i H~~ określone są analo- gicznie.

Łatwo wykazać, że R([X~U)nR([HA8^{]') =} O. Stąd oraz z (2.11) otrzymujemy

gdzie (por. Yamamoto i Fujikoshi [6]) (2.12)

Tabela 1

Analiza wariancji dla nieortogonalnej potrójnej klasyłikacji krzyżowej w przypadku dowolnych wag W1Jk

•--H_z~-~

⁰

- ⁰ ~-ez-aa

^_______ s_t_op_n_i_e _s_w_o_b_od_y ______ I _____

~~=~ k~-a-dr~~~-w

^{____ _}

H,rnc: ocABC =O vABc= f-(ab+bc+ac- -a-b-c+ 1) HAB: OCAB

=o

HBc: OCBc =O HAc: OCAc =O HA: OCA

=o

H/j: OCB

=o

He: ^OCc =O HM: µ

=o

Błąd

'VAB = f-r[XBc, XAc, Q]

VBc = f-r[XAB• XAc, Q]

VAc = f-r[XAB, XBc, Q]

VA= f-r[XBc, QAB. QAc, Q]

VB = f-rfXAc, QAB. QBc, Q]

Vc = 1--r[XAB, QBc. QAc, Q]

VM = f-r[QA, QB, Qc, QAB•

QBc, QAc, Q,]

'Ve = ^n-f

SSAB = y'(P[XABc1-P[XBc, XAc, Q])y SSBc = y'(P[X.4Bc1-P[XAB, XAc, Q])y SSAc = y'(P[XABc]-P[XAH, XBc, Q])y SSA = y'(P[XABc1-P[XBc, QAB, QAc, Q])y SSB = y'(P[XABcl-P[XAc, QAB• QBc, Q])y SSc = y'(P[XABc]-P[XAB, QBc, QAc, Q])y SSM = y'(P[XABc1-P[Q, QA, QB, Qc,

QAB, QBc, QAc])y SSe = y'(l- P[XABcDY Uwag a. Literą f oznaczono w tabeli liczbę niepustych podklas (i,j, k), a symbolem r[X]-rząd macierzy X

Weryfikacja hipotez 65 zaś S'

=

A'(l-P[B]), A'

=

P[X~Bc]H~Bc, B'

=

(I-P[X~Bc])H~BC· W przypadku gdy wszystkie niik są większe od zera, macierz XABC jest pełnego rzędu, a P[X~Bc]

=

= ^labc· Wtedy (2.12')

W analogiczny sposób można wykazać, że

wBc = R[XAB' XAc, Q], wAc = R[XAB' XBc, Q], wA = R[XBc, QAB' QAc, Q],

we= R[XAB' QBc, QAc, Q],

wB

=

R[XAc, QAB' QBc, Q],

wM = R[QA, QB, Qc, QAB' QBc, QAc, Q], gdzie macierze QA, QB, Qc, QAB, QBc, QAc są zdefiniowane analogicznie jak macierz Q we wzorze (2.12').

W oparciu o powyższe rozważania otrzymujemy ^tabelę analizy wariancji dla przypadku dowolnych wag { wiid (tabela 1).

3. Wagi proporcjonalne do liczebności w podklasach. Analiza wariancji dla modelu (2.9) i hipotez Ht upraszcza ^się znacznie w przypadku, gdy, dla ^każdego i, j, k, wiik = pniib gdzie p jest dowolną stałą większą od zera. Ponieważ wtedy Dw =

= pX~BcXABc, macierze Ht przyjmą z uwagi na wzory (2.10) następującą postać:

(3.1)

[ ^{X~] rX~cl}

HAc

=

X~ X Ac, H~Bc

=

X~c XABC.

XAB_

Macierze A i B ze wzoru (2.12) dadzą się teraz określić znacznie prościej:

A' = P[XABclXABc[XBc, XAc, XAB] = XABc[XBc, X4c, XAB], natomiast B jest macierzą złożoną z samych zer. ^Stąd

Q

=

P[XABc]-P[XABc(X~BcXABc)-XABc[XBc, XAc, XAB]

=

=

P[XABc]-P[XBc, XAc, XAB].

Podobnie można wykazać, że (3.2)

QAB

=

P[XAB]-P[XA, XB], QAc

=

P[XAc]-P[XA, Xe],

QB = P[XB]-P[Jn],

QBc = P[XBc]-P[X8 , Xe], QA = P[XA]- P[Jn], Qc = P[Xc]-P[Jn].

Z uwagi na to

PWAB

=

P[XBc, XAc, Q]

=

P[XBc, XAc]+P[(I-P[XBc, XAc])Q]

=

= P[XBc, XAc]+P[(l-P[XBc, XAc])([XABc]-P[XAB' XBc, XAc]) =

=

P[XABc]-P[XAB' XBc, XAc]+P[XBc, X,te].

W podobny sposób można otrzymać wzory określające pozostałe operatory. Osta- teczne wyniki przedstawione ^są w tabeli 2 zawierającej analizę wariancji w przypadku wag proporcjonalnych do liczebności w podklasach.

Tabela 2

Analiza wariancji w przypadku wag proporcjonalnych do liczebności w podklasach Hipoteza

zerowa Stopnie swobody Sumy kwadratów

HABc: ocABC =O I ^i•abc = f-(ab+ be+ ac-a- SSABC = y'(P[XABc]-P[XAB• XBc, XAcDY -b-c+l)

HAB: iXAB =O vAB = ab-a-b+ 1 HBc: OCBc =O vBc = bc-b-c+ 1 HAc: ocAc =O vAc = ac-a-c+1 HA: ocA = ^O vA = a-1 HB: OCB

=

o VB = b-1 He: etc = ^{O Vc = c-1}

HM:µ=O VM=1

- - - 1

Błąd Ve = n-J

SSAB = y'(P[XAB• XBc, XAc]-P[XBc, XAcDY SSBc = y'(P[XAB, XBc, XAc]-P[XAB, XAcDY SSAc = y'(P[XAB• XBc, XAc]-P[XAB• XBc])y SSA = y'(P[XA, XB, Xc]-P[XB, Xc])y SSB = y'(P[XA, XB, Xc]-P[XA, Xc])y SSc = ^{y'(P[XA, X}8 , Xc]-P[XA, XB])y SSM = y'(P[J„]y)

SSe = y'(l-P[XABcDY Uwag a. Jak poprzednio, f oznacza liczbę niepustych podklas.

Dla znalezienia sum kwadratów niezbędnych dla weryfikacji postawionych hipotez, ^niezbędna jest ^znajomość kwadratów ^długości rzutów wektora y na odpo- wiednie podprzestrzenie przestrzeni En. Znalezienie kwadratu ^długości rzutu wektora y na przestrzenie R[Jn] i R[XAncl jest proste, gdyż (por. Mikos [3])

f 2

"--, y. 'k

y' P[XABc]Y

= ) -- 4

_1.1.k ^{llijk 11 -}

gdzie sumowanie przebiega po tych podklasach (i,j, k), dla których

Dla znalezienia kwadratów ^długości rzutów wektora y na ^pozostałe podprze- strzenie należy skorzystać z metody iteracyjnej dla przypadku sumy dwóch i trzech podprzestrzeni o bazach ortogonalnych (por. Corsten [I]). Obliczenia sprowadzają się do wielokrotnego obliczania średnich ważonych i ^{mogą być} wykonane nawet przy ^użyciu kalkulatorów biurowych. Szczegółowe wzory ^zostaną opublikowane osobno.

Weryfikacja hipotez 67

Literatura cytowana

{1] L. C. A. C or s te n, Vectors, a tool in statistical regression theory, Meded. Landbouwho- geschool Wageningen 58 (1958), str. 1-92.

[21 W. T. Federer and M. Ze Ie n, Analysis of multifactor classifications with unequal numbers of observations, Biometrics 22 (1966), str. 525-552.

[3] H. M i kos, Operatory rzutowe w analizie wariancji, Trzecie Coli. Metodo!. z Agro-Biometrii,

Wrocław 1973, str. 78-142.

{4] G. A. F. Se ber, The linear hypothesis, London 1966.

[5] P. V u agnat, Analysis of variance of a non-orthogonal three-factor experiments using a com- puter, Institute of Statistics Mimeo Series 803, University of North Carolina, 1973.

[6] S. Yamamoto, and Y. Fuj ikos h ^1, The linear hypothesis and contstraints, J. Sci.

Hiroshima Univ. A-1. 31 (1967), str. 211-219.

[7] - - Two-way classification designs with unequal cell frequencies, ibidem A-1. 32 (1968), str.

357-370.