Argumentemniezerowej liczby zespolonej z = a+bi (ozn

dr Krzysztof ›yjewski MiBM; S-I⁰.in». 4 pa¹dziernika 2015

Liczby zespolone

Posta¢ z = a+bi nazywamypostaci¡ algebraiczn¡liczby zespolonej, gdzie liczb¦ a nazywamycz¦±ci¡

rzeczywist¡ liczby zespolonej z, oznaczamy Re z = a; liczb¦ b nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ liczby zespolonej z, co oznaczamy Im z = b.

Denicja. Liczb¦ sprz¦»on¡ do liczby zespolonej z = a + ib oznaczamy poprzez z i okre±lamy wzorem:

z = a − ib.

Denicja.Moduªem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ nast¦- puj¡co:

|z| =√

a²+ b².

Denicja. Argumentemniezerowej liczby zespolonej z = a+bi (ozn. arg z) nazywamy ka»d¡ liczb¦

ϕ ∈ R speªniaj¡c¡ warunki:

cos ϕ = a

|z| oraz sin ϕ = b

|z|.

Wówczas posta¢ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) nazywamypostaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej.

Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Niech z1, z₂ ∈ C oraz z1 = r₁(cos ϕ₁+ i sin ϕ₁), z₂ = r₂(cos ϕ₂+ i sin ϕ₂),gdzie r1 = |z₁|, r₂ = |z₂|.

Wówczas:

• z₁· z₂ = r₁· r₂[cos(ϕ₁+ ϕ₂) + i sin(ϕ₁+ ϕ₂)]

• ^z_z¹

2 = ^r_r¹

2[cos(ϕ₁ − ϕ₂) + i sin(ϕ₁ − ϕ₂)].

Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a)

Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) b¦dzie dowoln¡ liczb¡ zespolon¡ oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór zⁿ= rⁿ(cos nϕ + i sin nϕ).

Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczb zespolonych z0, z₁, . . . , z_n−1 takich, »e (zk)ⁿ= z. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem:

z_k = √ⁿ r



cosϕ + 2kπ

n + i sinϕ + 2kπ n



dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa si¦ ze zbiorem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu √ⁿ

r i o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych. Wierzchoªki wyznaczone s¡ w punktach z0, z₁, ..., z_n−1,a k¡t pomi¦dzy ich s¡siednimi promieniami wodz¡cymi wynosi ^2π_n.

Pewne warto±ci funkcji trygonometrycznych

ϕ 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ sin ϕ 0 ¹₂ ^√₂^{2 √}₂³ 1 cos ϕ 1 ^√₂^{3 √}₂^{2 1}₂ 0

tg ϕ 0 ^√₃³ 1 √

3 brak ctg ϕ brak √

3 1

√3

3 0

1

dr Krzysztof ›yjewski MiBM; S-I⁰.in». 4 pa¹dziernika 2015

Wzory redukcyjne

ϕ ^π₂ − α ^π₂ + α π − α π + α ^3π₂ − α ^3π₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

Zadania

1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.

(a) (−4 + 3i) + (8 − 7i) (b) (4i − 3) − (1 − 10i) (c) (1 +√

2i) − (√

3 − 6i) (d) (√

2 + i)(3 −√

3i) (e) (√ 7 +√

3i)(√ 7 +√

3i) (f ) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|

(g) ^i(2−3i)_5+4i (h) ⁽²⁻³ⁱ⁾_1−i² − ³⁻⁷ⁱ_2−3i (i) ⁽¹⁻ⁱ⁾_(1+i)³3⁻¹+1

2. Znajd¹ liczby a i b speªniaj¡ce dane równania.

(a) a(2 + 3i) + b(4 − 5i) = 6 − 2i (b) (2 + ai)(b − 3i) = 7 − i (c) ^2a−3i_5−3i +^3b+2i_3−5i = 0 (d) ^1+ai_b−2i = 3i − 1

(e) (a − i)(2 − bi) = 11 − 23i

3. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡» podane równania.

(a) z²− 4z + 13 = 0 (b) z + i − z + i = 0 (c) (i − 3)z = 5 + i − z (d) z²+ (2 + 2i)z + 3 − 2i = 0 (e) _z−2i+1³⁺ⁱ = _2−izⁱ⁻¹ (f ) _(i+1)^{Re z−iz−2i}_{Im z−i} = 1 − 3i (g) z²+ (1 + 3i)z + i − 2 = 0 (h) z⁴ + (1 + 3i)z²+ i − 2 = 0

4. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡ce podane warunki.

(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3

(d) ^π₃ <arg z < ⁴₃π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f ) |z²| ≥ |Im (4z)| + 5 (g) Re^1−z_1+z = 1 (h) 

³ⁱ⁺⁴_z−2i  ≥ 5

5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone.

(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i (e) 1 − i (f )√

3 − i (g)√ 2 −√

6i

6. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

(a) sin 135^o (b) cos²₃π (c) tg⁵₆π (d) cos 180^o (e) ctg ⁵₄π (f ) sin 210^o (g) sin³₂π (h) ctg 315^o (i) cos 330^o (j) sin⁷₃π (k) cos¹¹₃ π (l) tg 510^o (m) ctg³²₃π (n) sin 37²₃π (o) cos 58⁴₃π (p) tg 1001⁷₄π

7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.

(a) (√

3 − i)³² (b) (2√

3 − 2i)³⁰ (c)

√1−i 3+i

6

(d) (cos 33⁰+ i sin 33⁰)¹⁰ (e) (1 + i)⁻⁶ (f ) ^(1+i)22

(1−√ 3i)⁶

(g) 

1+i√ 7 2

4

+

1+i√ 7 2

4

(h) (1 + i)⁸· (1 − i√

3)⁶ (i) (1 + i)⁸+ (1 − i)⁸ (j) ^(1+i)42

(√

3−i)¹⁷ (k) ⁽¹⁻ⁱ

√ 3)⁶

i⁹(1+i)³ (l) 

−√ 3+i 1−i

20

8. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej.

(a) √³

1 (b) √⁶

64 (c) √⁴

116i (d) √⁵

1 + i (e) p 1 −√

3i (f ) √⁵

−1 − i (g) p√⁸

3 − i (h) √⁴

1 + i (i) √

3 − 4i (j) √

−3 − 4i 2