MODELE STRUKTURALNE MECHANIZMÓW RÓWNOLEGŁYCH

(1)

MODELE STRUKTURALNE MECHANIZMÓW RÓWNOLEGŁYCH

Krystyna Romaniak

^1a

1Wydział Architektury, Politechnika Krakowska

akrystynaromaniak@gmail.com

Streszczenie

Pierwszym i jednym z ważniejszych zagadnień w projektowaniu nowych mechanizmów jest określenie ich struktury. Ustalane są wówczas podstawowe parametry mechanizmu, takie jak: liczba ogniw, liczba par kinematycznych (ich klasa) czy liczba stopni ruchliwości. Konieczne jest tu wyodrębnienie zbioru możliwych rozwiązań speł- niających narzucone przez konstruktora warunki. Pozwala to na wybór rozwiązania optymalnego. Na tym etapie jednym z ważniejszych zagadnień jest wyłonienie struktur izomorficznych (dublujących się) oraz tych, które w swojej budowie zawierają podłańcuchy sztywne i przesztywnione. Ostatnim etapem w tworzeniu mechanizmów jest budowa ich modeli. Jest to również ostateczna weryfikacja otrzymanych rozwiązań.

Praca poświęcona jest syntezie mechanizmów równoległych z uwzględnieniem wymienionych zagadnień. Szczegól- ną uwagę poświęcono problemowi budowy modeli wirtualnych mechanizmów. Zaproponowano takie rozwiązania konstrukcyjne par kinematycznych, aby platforma (zależnie od grupy) posiadała 6, 5, 4, lub 3 stopnie swobody.

Słowa kluczowe: mechanizmy równoległe, synteza strukturalna

STRUCTURAL MODELS OF PARALLEL MECHANISMS

Summary

When designing new mechanisms the first and surely most important task is to define their structure. The mechanisms’ most basic parameters such as the number of links and kinematic pairs (their class) as well as the number of mobility degrees are being established at this stage. It is necessary to produce a set of possible solutions that fulfill all the conditions imposed by the constructor. This facilitates the selection of the most optimal solution. Then proceeding to the next stage, the identification of isomorphic structures i.e. the ones that duplicate as well as those with the structure containing rigid and over-rigid sub-chains becomes of paramount importance. The last step in the mechanism creation is the construction of its model, which ultimately verifies the solutions ob- tained. This work focuses on the synthesis of parallel mechanisms including the issues mentioned. In particular it discusses the model construction of virtual mechanisms. Such solutions regarding the construction of kinematic pairs have been proposed, in which the platform, depending on a group, features 6,5,4 or 3 degrees of freedom.

Keywords: parallel mechanisms, structural synthesis

1. WSTĘP

Jednym z ważniejszych zagadnień dotyczących me- chanizmów równoległych, jest określanie położeń jego ogniw, a w szczególności obszaru roboczego efektora.

Zagadnienie wyznaczania położeń ogniw dotyczy kinema- tyki mechanizmów, jednak ściśle związane jest z jego strukturą. Klasy par kinematycznych oraz przynależność łańcucha kinematycznego do określonej grupy decydują o liczbie stopni swobody, co wiąże się z określaniem przemieszczeń jego ogniw. Liczba stopni swobody defi-

niowana jest jako liczba niezależnych parametrów, za pomocą których można opisać ruch ogniw w przestrzeni. Są to trzy obroty i trzy przesunięcia wzdłuż osi układu współrzędnych. Mechanizm należący do grupy III jest mechanizmem płaskim, a jego pary kinematyczne są wyłącznie klasy piątej i czwartej. Przy- należność do tej grupy oznacza, że jego ogniwa posiadają trzy stopnie swobody (dwa przesunięcia i jeden obrót).

Liczba niezależnych parametrów potrzebna do jedno-

(2)

znacznego określenia położenia ogniw mechanizmu, wyznaczana względem podstawy, nazywana jest liczbą stopni ruchliwości. Oblicza się ją z zależności:

i W i

H i

W)n (i H )p

-H ( W

W













5

1

6

' (1)

gdzie:

HW – liczba dodatkowych parametrów więzi kinematycz- nej nałożonych na wszystkie ogniwa mechanizmu, n – liczba ogniw,

pi – iczba par kinematycznych klasy i (i = 1, 2, 3, 4, 5).

Liczbę stopni swobody, zgodną z przynależnością do określonej grupy, prześledzono na przykładzie mechani- zmów równoległych o platformie trójłącznej, i gałęziach zbudowanych z jednego ogniwa dwułącznego. Dla wyznaczenia wszystkich możliwych rozwiązań przeprowadzono syntezę strukturalną łańcuchów kinematycznych mechanizmów. Wykonano ją w kolejnych etapach, w których:

1. przeprowadzono syntezę łańcuchów kinematycznych o zerowej liczbie stopni swobody zbudowanych z czterech ogniw,

2. wyznaczono zbiór rozwiązań łańcuchów kinematycznych mechanizmów równoległych,

3. dokonano eliminacji rozwiązań nieracjonalnych strukturalnie,

4. zbudowano modele mechanizmów – określono roz- wiązania konstrukcyjne poszczególnych par kinematycznych.

W badaniach wykorzystano zapis struktury mechanizmu, w którym klasy par kinematycznych przedstawiono w postaci etykiet obok schematu (rys.1).

2. SYNTEZA STRUKTURALNA MECHANIZMÓW

RÓWNOLEGŁYCH

Syntezę strukturalną mechanizmów można przepro- wadzić, stosując metody: inwersji [2], łańcucha pośredni- czącego [3], metodę, w której używany jest zapis mechanizmu w postaci grafu [1]. W prezentowanych badaniach syntezę strukturalną wykonano, wykorzystując łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody [4, 5]. Na rys. 1 przedstawiono sposób przeprowadzania syntezy strukturalnej łańcucha kinematycznego mechanizmu równoległego grupy 0 o platformie trójłącznej, dla W’ = 3. W pierwszej kolejności wyznaczono zespoły kinematyczne klasy II (łańcuchy kinematyczne zbudowane wyłączne z ogniw dwułącznych), z których zbudowano czteroogniwowe łańcuchy kinematyczne o zerowej liczbie stopni swobody. W rozważanym przypadku wyodrębnio- no dwa zespoły kinematyczne: jednoogniwowy (rys.1a) oraz trójogniwowy (rys.1b). Z zespołów tych utworzono

czteroogniwowy łańcuch kinematyczny o zerowej liczbie stopni swobody, stosując metodę M1, w której należy:

M1. Zamienić ogniwo k-łączne na k+1-łączne i połączyć go z łańcuchem kinematycznym po- przez parę kinematyczną zewnętrzną.

W zespole kinematycznym z rys. 1b zamieniono ogniwo dwułączne 2 na trójłączne i połączono je z jed- noogniwowym zespołem kinematycznym (rys.1a) poprzez parę kinematyczną zewnętrzną. Uzyskano czteroogniwowy łańcuch kinematyczny (rys.1c). W celu wygenerowa- nia wszystkich możliwych klas par kinematycznych, które mogą występować w rozważanym łańcuchu kinematycznym grupy 0, wykorzystano zależności:

i W i

H i

W)n (i H )p

-H (

W













5

1

6 (2)





5

1 i

pi

p (3)

gdzie: p – liczba par kinematycznych.

Otrzymany łańcuch kinematyczny tworzą cztery ogniwa (n = 4) i sześć par kinematycznych (p = 6) klas: trzeciej, czwartej i piątej. Stąd w grupie 0 (HW = 0), wzory (2), (3) przyjmują postać:

3 4 5+4p +3p 5p

=

24 (4)

3 4 5 +p +p p

=

6 (5)

Zgodnie z zależnościami (4) i (5) wyznaczono zbiór etykiet zawierający cztery etykiety (rys.1c).

Łańcuch kinematyczny mechanizmu równoległego (rys.1d) uzyskano, wykorzystując metodę M2, w której należy:

M2. Połączyć łańcuch kinematyczny o zerowej liczbie stopni swobody z jednym ogniwem (pod- stawą) poprzez pary kinematyczne zewnętrzne i zmniejszyć o jeden klasę n par kinematycznych.

W rozważanym przykładzie n = 3.

(3)

a)

51 42 33

b)

3

1 2 ⁵⁵⁵³

5544

M1 c)

1 2

3

4

555333 554433 544443 444444

M2 d)

1 3

2

4

0

543333 444333

Rys.1. Schemat syntezy strukturalnej łańcucha kinematycznego mechanizmu równoległego o platformie trójłącznej (d) otrzymanego z czteroogniwowego łańcucha kinematycznego o zerowej liczbie stopni swobody (c) który zbudowano

z dwóch zespołów kinematycznych klasy II (a, b)

Łańcuchy kinematyczne mechanizmów równoległych w pozostałych grupach różnią się klasami par kinematycznych, natomiast schemat pozostaje ten sam. W celu wyznaczenia całkowitego zbioru etykiet w poszczegól- nych grupach należy zwiększyć o jeden klasę dwóch par kinematycznych przy przejściu z grupy do grupy (tab.1).

Pamiętać należy, że w grupie III występują wyłącznie pary kinematyczne klasy czwartej i piątej.

Tab. 1. Zbiory etykiet łańcuchów kinematycznych mechanizmów równoległych w poszczególnych grupach

Grupa 0 I II III

Etykiety 543333 444333

554333 544433 444443

555433 554443 544444

555444

W wyniku przypisania klas par kinematycznych po- szczególnym pozycjom w schemacie strukturalnym otrzymano w kolejnych grupach zbiór możliwych, nie- izomorficznych rozwiązań. W tabeli 2 zamieszczono po jednym przykładzie z każdego typu przyporządkowania.

Tab. 2. Łańcuchy kinematyczne mechanizmów równoległych Lp. Grupa Schemat strukturalny

1 0

a) b)

4 4 4

3 3 3

3 3

3 5 3

4

2 I

a) b) c)

5 4 5

3 3 3

4 4 4 5

3 3

4 3

4 4

4

(4)

Tab. 2. c.d.

3 II

a) b) c)

3 3 5

4 5 3

4 4

4 5

4 III

Po ustaleniu podstawy i ogniw napędzających z łań- cuchów kinematycznych mechanizmów wyznaczono mechanizmy. Przeprowadzono następnie badania w zakresie występowania w ich budowie podłańcuchów sztywnych i przesztywnionych. Wykazały one, że w otrzymanych rozwiązaniach łańcuchy tego typu nie występują.

3. MODELE MECHANIZMÓW RÓWNOLEGŁYCH

Przedstawione w tabeli 1 schematy strukturalne łań- cuchów kinematycznych mechanizmów równoległych wykorzystano do budowy ich modeli komputerowych (tab.2). Wykonano je w programie Inventor 11. Przyjęto taką budowę modeli, aby widoczne były obroty i przesu- nięcia ogniw wzdłuż osi układu współrzędnych. W celu wyeliminowania rozwiązań o nieracjonalnej budowie wyodrębniono ogniwa powodujące występowanie ruchli- wości lokalnej. W przypadku, gdy gałąź połączona była z podstawą i platformą parami tej samej klasy, przyjęto inne rozwiązania konstrukcyjne. Oprócz par kinematycznych obrotowych, przesuwnych i sferycznych wprowadzono pary kinematyczne łańcuchowe klasy czwartej i trzeciej [2]. W mechanizmach grupy III, II, I i 0 użyto pary łańcuchowej P4, umożliwiającej ruch obrotowy wokół jednej osi i przesuwny wzdłuż drugiej osi. Pary kinematyczne łańcuchowe klasy trzeciej wprowadzono w mechanizmach grup II, I i 0. Umożliwiają one jeden obrót i dwa ruchy przesuwne.

Ogniwa ruchome mechanizmów równoległych w po- szczególnych grupach posiadają adekwatną do numeru grupy liczbę stopni swobody. I tak:

- w grupie III - trzy stopnie swobody - dwa przesunięcia wzdłuż osi x, z oraz obrót wokół osi y,

- w grupie II - cztery stopnie swobody - trzy przesunięcia wzdłuż osi x, y, z oraz obrót wokół osi y,

- w grupie I – pięć stopni swobody - trzy przesunięcia wzdłuż osi x, y, z oraz dwa obroty wokół osi y, x, - w grupie 0 – sześć stopni swobody - trzy przesunięcia oraz trzy obroty wokół osi x, y, z.

4 4 4

5 5 5

(5)

Tab. 3. Modele mechanizmów równoległych o platformie trójłącznej poszczególnych grup Gru

pa Modele mechanizmów

III

555444

II

555433 554443 544444

I

554333 544433 444443

0

444333 543333

Na rys. 2 przedstawiono zmianę położenia ogniw ruchomych jednego z mechanizmów równoległych grupy II.

W kolejnych ujęciach mechanizmu w widoku głównym (rys.2a) można zaobserwować ruch obrotowy ogniw ruchomych wokół osi y oraz ich przesunięcia wzdłuż osi x i z. W widoku prawym bocznym (rys.2b), pokazane jest przesunięcie ogniw mechanizmu wzdłuż osi y.

Wszystkie ogniwa ruchome mechanizmu równoległego grupy II z rys. 2 posiadają zatem cztery stopnie swobody.

(6)

a)

b)

Rys.2. Zmiana położenia ogniw mechanizmu równoległego grupy II: (a )widok główny, (b) widok prawy boczny

4. UWAGI KOŃCOWE

Przy użyciu przedstawionych w opracowaniu metod syntezy strukturalnej M1, M2 można uzyskać wszystkie teoretycznie możliwe rozwiązania mechanizmu o dowol- nej strukturze, określonej grupy oraz o określonej liczbie stopni ruchliwości. W pracy [4] metody te wykorzystano do wyznaczenia mechanizmów równoległych. Otrzymane

teoretyczne wyniki zweryfikowano poprzez budowę ich modeli komputerowych. Wybrane przykłady otrzymanych mechanizmów przedstawiono w niniejszym opracowaniu. Przyjęto takie rozwiązania konstrukcyjne par kinematycznych, aby mechanizm posiadał zgodną z przypisaną danej grupie liczbę stopni swobody.

Literatura

1. Ding H., Hou F., Kecskeméthy A., Huang Z.: Synthesis of a complete set of contracted graphs for planar non- fractionated simple-jointed kinematic chains with all possible DOFs.”Mechanism and Machine Theory” 2011, Vol. 46, No. 11, p. 1588-1600.

2. Gronowicz A., Miller S.: Mechanizmy: metody tworzenia zbiorów rozwiązań alternatywnych; katalog schematów strukturalnych i kinematycznych. Wrocław: Pol. Wrocł., 1997.

3. Miller S., Gronowicz A., Adamczyk E.: Some remarks on finding a solution for the structure when designing a mechanism. “Mechanism and Machine Theory” 1981, Vol. 16, No. 6,p. 645-651.

4. Romaniak K.: Synteza strukturalna mechanizmów równoległych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 42, t. 11, s.359 - 367.

5. Romaniak K.: Generalized methods of kinematic chains structural synthesis. “International Journal of Applied Mechanics and Engineering” 2010, Vol. 15, No. 3, p.821-829.