Zadania maturalne z geometrii (dowody)
25 pa´ zdziernika 2018
1. Wyka˙z, ˙ze je´sli stosunek promienia okregu wpisanego w tr´ojkat prostokatny do promienia okregu opisanego na tym tr´ojkacie jest r´owny√
2 − 1, to tr´ojkat ten jest r´ownoramienny.
2. W tr´ojkacie ABC poprowadzono dwusieczne AD (D ∈ BC) oraz CE (E ∈ AB) kat´ow CAB i ACB. Dwusieczne te przecie ly sie w punkcie P . Wyka˙z, ˙ze je´sli na czworokacie P EBD mo˙zna opisa´c okrag, to |6 P AC| + |6 ACP | = 60o.
3. Dany jest r´ownoleg lobok ABCD. Na bokach AB i CD obrano odpowiednio punkty P i Q. Odcinki AQ i DP przecinaja sie w punkcie R, a odcinki BQ i CP - w punkcie S. Wyka˙z, ˙ze suma p´ol tr´ojkat´ow AP R i P BS jest r´owna sumie p´ol tr´ojkat´ow DQR i QCS.
4. W kule wpisano sto˙zek. Wyka˙z, ˙ze objeto´s´c sto˙zka Vs i objeto´s´c kuli Vk spe lniaja warunek Vs≤
8 27Vk.
5. W tr´ojkacie o bokach a, b, c kat α le˙zy naprzeciwko boku a, a kat β naprzeciwko boku b. Wyka˙z,
˙ze je´sli bc = a2− b2, to α = 2β.
6. Dany jest tr´ojkat r´ownoramienny ABC o bokach d lugo´sci: |AB| = 12, |AC| = |BC| = 10. Na boku AC zbudowano tr´ojkat ACD w taki spos´ob, ˙ze punkt D nale˙zy do p´o lprostej BA i |DB| = 21.
Punkt E nale˙zy do odcinka DC. Wyka˙z, ˙ze je´sli |DE| = 727, to AE k BC.
7. ´Srodek okregu wpisanego w trapez prostokatny jest odleg ly od ko´nc´ow pochy lego raminia o e i f . Wyka˙z, ˙ze pole trapezu jest r´owne (e+f )·efe2+f2 .
8. Dany jest prostopad lo´scian ABCDEF GH. P laszczyzna przechodzaca przez krawedzie AD i F G jest nachylona do p laszcyzny podstawy pod katem α. Pole prostokata AF GH jest r´owne P . Wyka˙z, ˙ze pole powierzchni ca lkowitej tego prostopad lo´scianu jest wieksze od 2√
2P cos(α − 45o).
9. Wysoko´sci w pewnym tr´ojkacie maja d lugo´s´c 13,14,15. Wyka˙z, ˙ze jest to tr´ojkat prostokatny.
10. Na czworokacie ABCD mo˙zna opisa´c okrag. Dwusieczna kata przy wierzcho lku A i dwusieczna kata przy wierzcho lku B przecinaja sie w punkcie E le˙zacym na boku CD. Na boku CD wybrano punkt F taki, ˙ze |DA| = |DF |. Wyka˙z, ˙ze |BC| = |CF |.
11. Dany jest ostros lup ABCD taki, ˙ze |AB| = |CD| = 2x i |BC| = |BD| = |AC| = |AD| oraz
|6 ACB| = 2α. Uzasadnij, ˙ze objeto´s´c V = 2x
3√
cos(2α) 3 sin α .
12. Dany jest odcinek o ko´ncach A = (a, 0) i B = (b, 0), gdzie a 6= b. Uzasadnij, ˙ze zbi´or punkt´ow p laszczyzny P = (x, y) takich, ˙ze |AP | : |BP | = 1 : 3 tworzy okrag.
1
