Zadania domowe 1-5
(termin: 1 kwietnia 2016)
Zadanie 1.
Zaproponuj metode iteracyjn, a obliczania 1/a dla a > 0 nie u˙zywaj, ac, a dzielenia. Jak wybra´, c przybli˙zenie poczatkowe, aby metoda by la zbie˙zna? Jaki jest wyk ladnik zbie˙zno´sci?,
(Wskaz´owka: zastosuj metode Newtona do funkcji f (x) = 1/x − a.), Zadanie 2.
Rozpatrzmy metode iteracyjn, a dan, a wzorem,
xk = xk−1− m f (xk−1) f0(xk−1).
Wyka˙z, ˙ze je´sli f : R → R ma m-krotne zero x∗ to metoda jest lokalnie zbie˙zna do x∗ z wyk ladnikiem 2.
Zadanie 3.
Niech 0 < a1 < a2 < · · · < an. Czy z punktu widzenia b led´, ow w flν lepiej jest policzy´c sume, tych liczb w kolejno´sci od najmniejszej liczby do najwiekszej czy odwrotnie? Odpowied´, z uzasadnij odpowiednia analiz, a b l, ed´, ow.
Zadanie 4.
Wyka˙z, ˙ze naturalny algorytm obliczania cosinusa kata pomi, edzy wektorami ~a,~b ∈ R, n, cos(~a,~b) =
Pn j=1ajbj
r Pn
j=1a2j
Pn j=1b2j
,
jest numerycznie poprawny. Oszacuj b lad wzgl, edny wyniku w fl, ν. Zadanie 5.
Je´sli dla macierzy nieosobliwej A ∈ Rn,n i wektora ~b ∈ Rn zachodzi (1) (A + E)~x = ~b, gdzie kEk2 ≤ K ν kAk2, to dla residuum ~r = ~b − A~x mamy
(2) k~rk2 ≤ K ν kAk2k~xk2.
Wyka˙z, ˙ze prawdziwe jest te˙z twierdzenie odwrotne: je´sli spe lniony jest warunek (2) to istnieje macierz E taka, ˙ze kEk2 ≤ KνkAk2 oraz spe lniona jest nier´owno´s´c (1).
