Wyka˙z, ˙ze je´sli f : R → R ma m-krotne zero x∗ to metoda jest lokalnie zbie˙zna do x∗ z wyk ladnikiem 2

Zadania domowe 1-5

(termin: 1 kwietnia 2016)

Zadanie 1.

Zaproponuj metode iteracyjn_, a obliczania 1/a dla a > 0 nie u˙zywaj_, ac_, a dzielenia. Jak wybra´_, c przybli˙zenie poczatkowe, aby metoda by la zbie˙zna? Jaki jest wyk ladnik zbie˙zno´sci?_,

(Wskaz´owka: zastosuj metode Newtona do funkcji f (x) = 1/x − a.)_, Zadanie 2.

Rozpatrzmy metode iteracyjn_, a dan_, a wzorem_,

x_k = x_k−1− m f (x_k−1) f⁰(x_k−1).

Wyka˙z, ˙ze je´sli f : R → R ma m-krotne zero x^∗ to metoda jest lokalnie zbie˙zna do x^∗ z wyk ladnikiem 2.

Zadanie 3.

Niech 0 < a₁ < a₂ < · · · < a_n. Czy z punktu widzenia b led´_, ow w fl_ν lepiej jest policzy´c sume_, tych liczb w kolejno´sci od najmniejszej liczby do najwiekszej czy odwrotnie? Odpowied´_, z uzasadnij odpowiednia analiz_, a b l_, ed´_, ow.

Zadanie 4.

Wyka˙z, ˙ze naturalny algorytm obliczania cosinusa kata pomi_, edzy wektorami ~a,~b ∈ R_, ⁿ, cos(~a,~b) =

Pn j=1ajbj

r Pn

j=1a²_j

 Pn j=1b²_j

 ,

jest numerycznie poprawny. Oszacuj b lad wzgl_, edny wyniku w fl_{, ν}. Zadanie 5.

Je´sli dla macierzy nieosobliwej A ∈ R^n,n i wektora ~b ∈ Rⁿ zachodzi (1) (A + E)~x = ~b, gdzie kEk₂ ≤ K ν kAk₂, to dla residuum ~r = ~b − A~x mamy

(2) k~rk₂ ≤ K ν kAk₂k~xk₂.

Wyka˙z, ˙ze prawdziwe jest te˙z twierdzenie odwrotne: je´sli spe lniony jest warunek (2) to istnieje macierz E taka, ˙ze kEk₂ ≤ KνkAk₂ oraz spe lniona jest nier´owno´s´c (1).