18 ∙sin 30 °∙ tg30 ° :(cos 30 °∙ tg 60°)=18∙ 1 2 ∙ √ 3

6. TRYGONOMETRIA

3. Temat: Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 30^o , 45^o , 60^o .

Bardzo ważna jest tabela (skupiamy się tylko na kątach 30 ^o , 45 , 60^{o o} )

Jest ona w tablicach matematycznych, natomiast koniecznie przerysujcie ją do zeszytów. Ale… nie ma w niej wartości funkcji cotangens?! Spokojnie. Spójrzcie na tabelę. Jak wyglądają wartości funkcji sinus a jak cosinus dla kątów 30^o, 45^o, 60^o? Linijka z wartościami funkcji cosinus jest dokładnie taka sama jak funkcji sinus, tylko że napisana od tyłu! Dokładnie tak samo będzie z wartościami funkcji cotangens dla katów 30^o, 45^o, 60^o– to te same wartości jak w funkcji tangens, ale napisane od tyłu.

UWAGA! Będziemy korzystać z wartości funkcji trygonometrycznych danych w tej tabeli ZAWSZE jeśli będziemy mieć kąty: 30^o, 45^o lub 60^o.

Zad. 6.34/164 c)

18 ∙sin 30 °∙ tg30 ° :(cos 30 °∙ tg 60°)=18∙ 1 2 ∙ √ ³

3 : ( ^√ 2 ³ ∙ √ ³ ) ^{= 18} 1 ∙ 1 2 ∙ √ ³

3 : ( ^√ 2 ³ ∙ √ ³

1 ) ^{= 18} 6 ^{√ 3} : √ ⁹

2 = 18 √ ³

6 : 3

2 = 18 √ ³

6 ∙ 2

3 = 36 √ ³

18 =2 √ ³

Zad. 6.35/164 b)

(3 sin 45 ° +tg 60 ° ) ∙(3 sin 45 °−tg 60 ° )= ( ^{3 ∙ √} 2 ² + √ ³ ) ^∙ ( ^{3∙ √} 2 ² − √ ³ ) ⁼

( ³ 2 ^{√ 2} + √ ³ ) ^∙ ( ^{3 √} 2 ² − √ ³ ) ^{= 9 √} 4 ⁴ − 3 √ ⁶

2 + 3 √ ⁶

2 − √ ^{9= 9} √ ⁴

4 − √ ^{9= 9 ∙2}

4 −3= 18

4 −3=4,5−3=1,5

e)

4 (ctg 45°+sin 60 °) ∙(cos 30°+tg 45 °)=4 ( ^{1+ √} 2 ³ ) ^∙ ( ^√ 2 ³ +1 ) ⁼⁴ ( ^√ 2 ³ +1+ √ ⁹

4 + √ ³

2 ) ^{= 4} ( ^{2 √} 2 ³ +1+ 3

4 ) ⁼⁴ ( ^{√ 3+1 3} 4 ) ^{= 4} ( ^{√ 3+ 7} 4 ) ^{=4 √ 3+ 28} 4 = 4 √ ³⁺⁷

Zad. 6.38/165 b)

Skupmy się najpierw na trójkącie z lewej strony. Mamy dany kąt 45^o oraz przyprostokątną leżącą naprzeciwko tego kąta. Skorzystamy zatem z takiej funkcji trygonometrycznej, która wykorzystuje przyprostokątną leżącą naprzeciwko danego kąta. Będzie to albo funkcja sinus, albo tangens. Ja skorzystam z funkcji sinus.

sin45^o=

3

y

√ 2 2 = 3

y

√ ^{2 y =6}

√ ²

y= 6

√ ²

y= 6

√ ^{2 ∙}

√ ²

√ ^{2 =}

6 √ ²

√ ^{4 =}

6 √ ²

2 =3 √ ²

Ile wynosi długość odcinka x? 3cm. Skąd taki wniosek? Nasz trójkąt jest równoramienny ( oblicz brakującą miarę kąta w trójkącie pamiętając że suma kątów wewnętrznych w trójkącie to 180^o).

Teraz zajmiemy się trójkątem z prawej strony. Mamy dany kąt 60^o oraz przyprostokątną leżącą naprzeciwko tego kąta. Skorzystamy zatem z takiej funkcji trygonometrycznej, która wykorzystuje przyprostokątną leżącą naprzeciwko danego kąta. Będzie to albo funkcja sinus, albo tangens.

Skorzystajmy znów z funkcji sinus:

sin60^o=

3

p

√ ³

2 = 3

p

√ ^{3 p=6}

√ ³

p= 6

√ ³

p= 6

√ ^{3 ∙}

√ 3

√ ^{3 =}

6 √ 3

√ ^{9 =}

6 √ 3

3 =2 √ ³

Wartość odcinka m możemy doliczyć z Tw. Pitagorasa. Ale ja doliczę dla treningu z funkcji

trygonometrycznych. m to przyprostokątna leżąca przy kącie 60^o. mogę zatem skorzystać z funkcji cosinus lub tg kąta 60^o. Ja skorzystam z funkcji tangens:

tg60^o=

3

m

√ ³⁼ _m ³

√ ^{3 m=3}

√ ³

m= 3

√ ³

m= 3

√ ^{3 ∙}

√ ³

√ ^{3 =}

3 √ ³

3 = √ ³

Obwód trójkąta ABC: Obw=

3 √ ²

² √ ³

√ ³

³ √ ²

√ ³

Praca domowa: zad6.34 a,e,f zad6.38a