POZIOM ROZSZERZONY – ZESTAW 3 50 punktów
1. [5 pkt]
Uzasadnij, że
1 < π27· 353
23
1 − (0, 5)5 · 925 < 512 81 · 8
5
23 .
2. [3 pkt]
Sprawdź tożsamość:
sin2x
sin x − cos x+sin x + cos x
1 − tg2x = sin x + cos x.
3. [5 pkt]
Liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu P(x) = x4+ x3− 7x2+ ax + b. Wyznacz a, b oraz rozwiąż nierówność P(x) ¬ 0.
4. [8 pkt]
Zbiór A opisany jest układem nierówności:
x2+ y2− 10x + 21 ¬ 0 x − y − 5 0
Zbiór B jest obrazem zbioru A w symetrii względem prostej x − 2y = 0.
Podaj układ nierówności opisujący zbiór B.
5. [5 pkt]
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x+ax+b . Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja odwrotna do funkcji f istnieje i jest równa funkcji f ? Odpowiedź uzasadnij.
6. [4 pkt]
Na półce jest n książek, w tym 7 o tematyce historycznej. Dla jakiej najmniejszej liczby n praw- dopodobieństwo przypadkowego wybrania dwóch książek o tematyce historycznej jest mniejsze od 0,2 ?
7. [6 pkt]
W trójkącie ABC długości boków AC i BC są równe odpowiednio4 i 2√
2. Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka C jest równa 2. Wyznacz miarę kąta ACB.
8. [4 pkt]
W okrąg o promieniu R wpisano kwdrat i trójkąt równoboczny, mające wspólny wierzchołek.
Wyznacz kąty wielokąta będącego częścią wspólną obu figur. Wyznacz stosunek pola trójkąta do pola kwadratu.
9. [3 pkt]
Jaka jest cena brutto kalkulatora, którego cena netto wynosi 55zł 50gr, a stawka VAT 22% ? Jaka byłaby cena tego kalkulatora gdyby stawka VAT wynosiła 7% ?
10. [4 pkt]
Znajdź liczby całkowite, które różnią się o 2, a różnica między kwadratem większej i mniejszej jest o 1 większa od jednej z nich.
11. [3 pkt]
Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 76zł. Najdroższa z tyvh książek kosztowała o 4 zł mniej niż dwie pozostałe razem. I;e kosztowała każda z książek?
