𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝐸 𝐹
𝐻 𝑌 𝐺 𝑋
LISTA 55 Zadanie 1.
Pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3+ 3𝑥2− 𝑥 − 3 są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego rosnącego. Które wyrazy tego ciągu są podzielne przez 7?
Zadanie 2.
Wierzchołek paraboli 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 − 8 wraz z punktami jej przecięcia z osiami układu współrzędnych wyznaczają pewien czworokąt. Oblicz pole tego czworokąta.
Zadanie 3.
Uzasadnij, że wykresy funkcji 𝑦 = 2 +𝑥−14 oraz 𝑦 =3−𝑥𝑥+1 są przystające.
Zadanie 4.
Niech 𝑛 będzie liczbą naturalną większą od 1. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, … , 2𝑛 + 1} losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzystą,
suma wylosowanych liczb będzie większa od 2𝑛 + 1.
Zadanie 5.
Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg 𝑥2+ 𝑦2− 8𝑦 + 12 = 0 w dwóch punktach 𝐴 i 𝐵. Uzasadnij, że liczba |𝑂𝐴| ∙ |𝑂𝐵| nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu.
Zadanie 6.
W trójkącie o bokach długości 1, √3, 2 oblicz odległość środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od najdalszego z punktów trójkąta.
Zadanie 7.
Niech 𝑚 > 0. W zależności od parametru 𝑚 zbadaj liczbę liczb całkowitych spełniających jednocześnie nierówności 𝑥2− 3 ≤ 0, |𝑥 − 5| ≥ 𝑚.
Zadanie 8.
Nie korzystając z kalkulatora uzasadnij, że: 1,5 < log23 < 1,75 . Zadanie 9.
Wśród maturzystów pewnej szkoły stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wnosi jak 3 ∶ 2. Wśród dziewcząt maturę rozszerzoną z matematyki zdaje 20% wszystkich dziewcząt, wśród chłopców odsetek ten wynosi 40%. Jaką część wszystkich zdających maturę rozszerzoną z matematyki stanowią dziewczęta?
Zadanie 10.
W sześcianie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 niech 𝑋, 𝑌 oznaczają odpowiednio środki krawędzi 𝐸𝐻 i 𝐺𝐻. Jaką figurą jest przekrój sześcianu płaszczyzną 𝑋𝑌𝐶? Przy danej długości krawędzi sześcianu 𝑎 oblicz pole tego przekroju.
