Geometria analityczna w R

Poni»sze zadania zostaªy wybrane z list zada« przygotowanych przez prof. Krystyn¦ Zi¦tak, prof.

Wiesªawa Dudka i dra Stanisªawa Roguskiego oraz z listy  Wst¦p do algebry i geometrii opu- blikowanych na stronach internetowych Instytutu Matematyki i Informatyki PWr pod adresem http://prac.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/listy-zadan.html.

Stanowi¡ one uzupeªnienie listy zada« obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach do mojego wykªadu i maj¡

pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª Algebry z geometri¡ analityczn¡.

Paulina Frej

Geometria analityczna w R

1. Punkty A(3, −1, 2), B = (1, 2, −4), C = (−1, 1, 2) s¡ kolejnymi wierzchoªkami równolegªobo- ku ABCD. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne punktu D.

2. Punkty B = (2, 0, 2) i C = (5, −2, 0) dziel¡ odcinek AD na trzy równe cz¦±ci. Wyznaczy¢

wspóªrz¦dne punktów A i D.

3. W rombie ABCD dane s¡ przek¡tne AD = ~a i BD = ~b. Wyrazi¢ wektory odpowiadaj¡ce bokom rombu za pomoc¡ wektorów ~a i ~b.

4. Obliczy¢ dªugo±ci wektorów ~a = (3, −4, 12), ~b = (√ 3, −√

5, 2√

2), ~c = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, h), gdzie ρ ≥ 0 oraz ϕ, h ∈ R.

5. Wyznaczy¢ wektor ~e o dªugo±ci jeden oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem wektora ~a = (3, 4, −12). Jak nazywamy wektor o dªugo±ci jeden?

6. Obliczy¢ iloczyn skalarny ~a ◦~b wektorów ~a = 4~i − 3~k oraz ~b = −~i + 3~j + 2~k, gdzie ~i = (1, 0, 0),

~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) s¡ wersorami osi ukªadu wspóªrz¦dnych Oxyz.

7. Dla jakich warto±ci parametru p ∈ R k¡t mi¦dzy wektorami ~u = (0, 1, 1) oraz ~v = (p, 4, p) jest równy ^π₃?

8. Wektor ~a = (3, −1, 2) przedstawi¢ w postaci sumy wektorów, z których jeden jest równolegªy, a drugi prostopadªy do wektora ~b = (−1, 4, 5).

9. Wyznaczy¢ warto±¢ parametru p ∈ R, dla którego punkty A = (2, 4, 6), B = (0, 0, 2) oraz C = (0, p, p)s¡ wierzchoªkami trójk¡ta prostok¡tnego o k¡cie prostym przy wierzchoªku B.

10. Znale¹¢ wektor ~a wiedz¡c, »e jest on prostopadªy do wektorów ~b = (2, 3, −1) i ~c = (1, −2, 3) oraz speªnia warunek ~a ◦ (2, −1, 1) = −6.

11. Dla jakich warto±ci parametru p ∈ R pole trójk¡ta o wierzchoªkach A = (2, 3, 2), B = (3, 5, 7), C = (p, 0, p)jest równe 4√

3?

12. Jak zmieni si¦ pole równolegªoboku rozpi¦tego na wektorach ~a i ~b, je±li oba wektory zwi¦ksz¡

swoj¡ dªugo±¢ dwukrotnie?

13. Dla jakich warto±ci parametrów a, b ∈ R punkty A = (0, 2, 1), B = (1, 2, 3), C = (a, b, 7) le»¡

na jednej prostej?

14. Jak poªo»one s¡ w przestrzeni punkty P = (x, y, z), dla których

(a) x = 0, (b) x = y = 0, (c) x = y, (d) x = y = z.

Odpowied¹ zilustrowa¢ rysunkiem.

15. Dany jest punkt P = (3, −1, 2). Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne punktów symetrycznych do tego punktu wzgl¦dem pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych.

16. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu na osi Oy, który le»y najbli»ej punktu Q = (3, −4, 2).

17. Przez które z punktów A(−1, 6, 3), B = (2, 0, 5), C = (2, 7, 0) przechodzi pªaszczyzna π dana równaniem 4x − y + 3z + 1 = 0.

18. Sprawdzi¢, czy punkty A, B, C i D nale»¡ do jednej pªaszczyzny. Je±li s¡ wspóªpªaszczyznowe, to wyznaczy¢ równanie tej pªaszczyzny.

(a) A = (3, 1, 0), B = (0, 7, 2), C = (−1, 0, −5), D = (4, 1, 5), (b) A = (1, −1, 1), B = (0, 2, 4), C = (1, 3, 3), D = (4, 0, −3).

19. Napisa¢ równania ogólne pªaszczyzn Oxy, Oxz, Oyz oraz pªaszczyzny równolegªej do pªasz- czyzny Oxz i przechodz¡cej przez punkt P = (2, −5, 3).

20. Wykaza¢ osobliwo±ci poªo»enia pªaszczyzny π wzgl¦dem osi ukªadu wspóªrz¦dnych (np. rów- nolegªo±¢ do osi lub pªaszczyzny ukªadu wspóªrz¦dnych, przechodzenie przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych).

(a) π : 3x − 5y + 1 = 0, (b) π : 9y − 2 = 0, (c) π : x + y − 5 = 0, (d) π : 2x + 3y − 7z = 0, (e) π : 8y − 3z = 0.

Narysowa¢ te pªaszczyzny, które s¡ równolegªe do osi lub pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych.

21. Zbada¢ wzajemne poªo»enie par pªaszczyzn π1 i π2 (równolegªo±¢, prostopadªo±¢) (a) π1: 4x − y + 2z = 5, π2: 7x − 3y + 4z = 8,

(b) π1: 3x − y + z − 4 = 0, π2: x + 2z = −1,

(c) π1: x − 4y − 3z − 2 = 0, π₂: 3x − 12y − 9z − 7 = 0, (d) π1: x − 2y + 3z = 4, π2: −2x + 5y + 4z = 0.

Wsk. Wyznaczy¢ wektory normalne obu pªaszczyzn i zbada¢ zale»no±¢ mi¦dzy nimi.

22. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny π1 przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i przez punkt P = (1, 2, 3) oraz prostopadªej do pªaszczyzny π2: x − y + 2z − 4 = 0.

23. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny π przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i prostopadªej do pªaszczyzn π1: 2x − y + 5z + 3 = 0oraz π2: x + 3y − z + 7 = 0.

24. Rzutem prostopadªym punktu P = (2, 1, 3) na pªaszczyzn¦ π jest punkt P⁰ = (2, 3, 1). Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny π.

25. Dla jakiej warto±ci parametru m punkt P = (1, 2, m) b¦dzie równoddalony od pªaszczyzny π : 4x + 8y + 3z + 4 = 0 oraz od pªaszczyzny zawieraj¡cej przez punkty A = (0, 1, 0), B = (1, 2, 4), C = (2, 0, 0).

26. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny symetralnej odcinka P Q, gdzie P = (5, 3, −3), Q = (3, −1, 2).

27. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu symetrycznego do punktu P = (4, −2, 3) wzgl¦dem punktu Q = (5, 1, 2).

28. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu symetrycznego do punktu P = (4, −2, 3) wzgl¦dem prostej l : x − 3

1 = y + 1

−1 = z − 1

−1 .

29. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu symetrycznego do punktu P = (4, −2, 3) wzgl¦dem pªaszczyzny π : 2x + y − 2z = 0.

30. Dane s¡ punkty A = (1, 1, 4), B = (−1, 0, 0) i C = (0, 0, −1). Je»eli punkty s¡ wspóªlinio- we, to wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej przez te punkty. W przeciwnym wypadku wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej te punkty.

31. Pokaza¢, »e prosta l : x = 0, y = t, z = t, t ∈ R, nale»y do pªaszczyzny π : 6x + 4y − 4z = 0.

32. Zbada¢ dla jakich warto±ci parametru m prosta l1 : x = 1 + 2t, y = −2, z = 3t, t ∈ R, przecina prost¡ dan¡ równaniem kraw¦dziowym

l₂:

(x − 2y + z + m = 0, x − 2y + 3 = 0.