Wst¦p do matematyki

Wst¦p do matematyki

Opis przedmiotu

Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j¦- zyka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych poj¦¢ dotycz¡cych zbiorów, relacji i funkcji.

Program wykªadu

Elementy logiki. Zdania proste i zdania zªo»one, warto±¢ lo- giczna zdania, tautologie, metoda zero-jedynkowa. Funkcje zda- niowe i kwantykatory, funkcje zdaniowe wielu zmiennych, prawa rachunku kwantykatorów. Metody dowodzenia twierdze«, me- toda indukcji matematycznej.

Zbiory i odwzorowania. Dziaªania na zbiorach, iloczyn karte- zja«ski, dziaªania uogólnione. Funkcje ró»nowarto±ciowe, na i wzajemnie jednoznaczne, skªadanie funkcji, funkcja odwrotna, obraz i przeciwobraz zbioru poprzez funkcj¦.

Relacje. Wªasno±ci relacji binarnych, funkcje jako relacje, grafy i macierze relacji binarnych. Relacje cz¦±ciowego porz¡dku, ele- menty ekstremalne, porz¡dek liniowy, g¦sty i ci¡gªy, zbiory dobrze uporz¡dkowane. Relacje równowa»no±ci, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy.

Konstrukcje zbiorów liczbowych. Konstrukcja zbioru liczb wy- miernych i zbioru liczb caªkowitych, informacja o konstrukcjach zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór liczb naturalnych, aksjomatyka Peana.

Teoria mocy. Zbiory sko«czone i niesko«czone, równoliczno±¢

zbiorów, poj¦cie liczby kardynalnej, zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum. Twierdzenie Cantora, twierdzenie Cantora  Bernsteina, informacja o lemacie Kuratowskiego  Zorna, pew-

Literatura podstawowa

Jan Kraszewski, Wst¦p do matematyki, WNT 2007.

Helena Rasiowa, Wst¦p do matematyki wspóªczesnej, PWN 2005.

Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mno- go±ci w zadaniach, PWN 2005.

Literatura uzupeªniaj¡ca

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykªady ze wst¦pu do ma- tematyki, PWN 2005.

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wst¦p do matematyki: zbiór zada«, PWN 2005.

Roman Murawski, Kazimierz ‘wirydowicz, Wst¦p do teorii mno- go±ci, UAM 2006.

Julian Musielak, Wst¦p do matematyki, PWN 1970.

Kenneth Ross, Charles Wright, Matematyka dyskretna, PWN

Oznaczenia zbiorów:

N = {0, 1, 2, 3, . . .}  zbiór liczb naturalnych z zerem, N1 = {1, 2, 3, . . .}  zbiór liczb naturalnych bez zera, Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}  zbiór liczb caªkowitych, Q  zbiór liczb wymiernych,

R  zbiór liczb rzeczywistych.