Zadania przygotowawcze do ćwiczeń z matematyki dla I r WIMIR- studia zaoczne.

bi a z= + )

1 )(

3 2

( − i +i



 



 +

= +

 =



 



 +

= 10

sin3 10 cos3 5 3

5 sin 8 cos

8 sin cos

2 _{2 3}

1

π π

π π

π

π i z i z i

z ) 3 ( +i

Zadania przygotowawcze do ćwiczeń z matematyki dla I r WIMIR- studia zaoczne.

Zestaw 1. Liczby zespolone.

1. Przedstawić w postaci a)

c) ( )

i i

i i

+ +

−

−

2 2

) 1 (

1

b)

i i +

− 2

1 d) ₂

) 1 (

) 3 1 )(

3 (

i i z i

+ +

−

= +

2. Rozwiązać równanie ( a=, b=?):

a) 1

2 3 3

2 =

+ +

− i

b i

a b) a(2+3i)+b(4−5i)=6−2i

3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej ( bez tablic i kalkulatorów) a)

b)

Wskazówka.

Obliczyć:

c)

4. Dla

a) z₁⋅z₂

b)

3 2

z

z c)

3 2

2 1

z z

z

5. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej:

a) 1 3

1 i

i +

−

b)

3

2 3 2

1 

 +

− i

c)

( )

i i +

− + +

3

2 6 2

6 d)

12

1 3 1 

 +

− i i

6. Rozwiązać równanie w dziedzinie zespolonej

a) z² +3z+3+i=0 b) z² +3z+3+i=0 c) z³ +z² +z+1=0

7. Obliczyć pierwiastki stopnia n z liczby z:

a) z=−1 b) z=i c) z=1−i dla n=3

π ϕ ϕ

ϕ 2 0

2 sin

2 cos

<

≤

=

= dla )

3

( −i (−1+i 3) (−1−i 3)









− +

−

− +

−

3 2 3 2

) 2 6 ( 2 6

i i

d) z=2− 2i e)

i z i

3 1

1 +

= + dla n=4

8. (*) Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona ^{k n k}

n

k

n a b

k b n

a ⁻

∑

= +

0

)

( oraz wzoru Moivre’a

przedstawić za pomocą sinx i cosx (oraz ich potęg) wyrażenia a) sin 4x b) sin 7x c) cos6x

(*) dla dociekliwych ( zainteresowanych)

Zestaw 2 Granice ciągów, granice funkcji, pochodne funkcji.

1. (*) Obliczyć z definicji granice ciągu:

a) 1 ( 0)

lim _→∞ 3 g=

n n b) ( 1)

1

lim 1 =−

+

−

∞

→ g

n n

n c) ( 5)

) 3 (

lim 5 ³ ₃ =

∞ −

→ g

n n

n

2. Obliczyć granice ciągu:

a) n

n

n



 





∞

→

sin 2 lim

π

b) 1 2 3₂ ...

lim n

n

n

+ + + +

∞

→ c)

3 1 3 1) ( lim

+ +

∞

→

n n

n

n

d) ^limn→∞

(

)

n n

n 1 2

lim 2

−

−

∞

→ f)

) 1 2 )(

1 (

1

lim ₂8 ⁴ ₂

− +

+ +

∞

→ n n

n n

n

g) ²

2 1 3 lim

n

n n



 

 +

∞

→ h)

2

5 lim 2

−

∞

→ 



 



 +

− ⁿ

n n

n

3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a)

n

n n 



 

 −

∞

→ 2

1 1

lim b)

n n

a n

3 ... 1 9 1 3 1 1

... 1 4 1 2

1 1 ₂

+ + + +

+ + + +

=

c) (*) Wykazać, że

• ^limn→∞( )n ¹n ⁼¹ •• 0 lim _→∞ ! =

n aⁿ

n ••• (**) _→∞ =+∞

lim ! n nⁿ

n

d) Obliczyć

n n

n a

a ₁ lim _→∞ ⁺ dla

• n! a n

n

n = ( odp. e) •• ( )

n n

n

a = 2₂n! (odp.

2 2



 





e ⁾

4. Zbadać granicę ciągu

a) a_n =³ n+ n − n− n ^{b) b}n ⁼ⁿ

[

]

5. Przegląd funkcji elementarnych – zadanie domowe do samodzielnego (!!) przygotowania- powtórzenie wiadomości ze szkoły średniej.

a) sporządzić wykresy funkcji

• y= x ••y= x +2 •••y= x−2 •••• y=3− x+1

b) y=2(x−1)(x+2)(x−2) , (przynajmniej przebieg w przybliżeniu) c) • y=3^x ••

X

y 



 



= 3

1 •••y=e^x , y=e^−x ••••y=3^2−x

d) • 2

sin 4+



 

 +

= π

x

y ••^y=sin(^−2x) ^••• 



 

 +

=cos π3 x

y , y=e^−x ••••y=tgx

•••••y=ctgx ••••••y=arcsinx •••••••y=arccosx ••••••••y=arctgx

••••••••••y= sinx •••••••••y=sin² x

e) • y=lg₂ x ••y x

2

lg1

= •••y=lnx

f) Wyznaczyć okres następujących funkcji

• y=sin3x ••

sin3x

y= •••y=tg( xπ ) ,

4 tgx

y= ••••y=sin² x •••••y=sinx+cos2x

6.Obliczyć granicę funkcji

a) 3 14 5

5 11 lim ₅ 2 ₂²

−

− +

−

→ x x

x x

x b)

x x

x 3

2

cos 1 lim sin

→π + c)

x x

x

1 lim ₀1− +

→

d) 3 2 1

lim ₄ 2

+

−

−

→ x

x

x e)

x x

x −

−

→ 1 lim 1

3

1 f) _{3 3}

2 2

lim a x

x a

a

x +

−

−

→

g) lim ₀ 2 4

+

→ −

x x

x h)

x x

x 1 cos

lim

2

0 −

→ , wskazówka (

sin 2 2 cos

1 ² x

x=

− )

i) x a

a x

a

x −

−

→

cos

lim cos j)

ϕ ϕ

ϕ

ϕ π sin cos 2 lim cos

4 −

→ k)

1

1 2

5 lim 2

−

∞

→ 



 



 +

− ^x

x x

x

l) x

x

x

1 2

lim +

∞

→ m)

lim 1

2+

−∞

→ x

x

x n)

x x x

x

lim + ²−1

∞

→

7. Zbadaj granicę

a) _x e^x

1

lim _→0 b) _x→ ^1−x

1 12 lim

8. Wykazać, że równanie ma w danym przedziale rozwiązanie

a) 



∈

=

− ⁻

,2 0 0

sin π

x e

x ^x

b) ^{x7−3x3+2x2+1=0 x∈}

[ ]

9. Określić dziedzinę funkcji f: R→R, obliczyć pochodną i określić jej dziedzinę.

a) ₂

3

) 1 ( −

= x

y x b) y=x⁻³e^−x2 c)

1 x2

y x

= + d) ^y=ln

(

)

e)

x y sin

= 1 ^f) y= xarctgx ^g) y=sin³2x ^h)

x arctg

y 1

=

10. Obliczyć pochodną funkcji

a) y=x^x b) y=x^lnx c) y=x^x−x2 d) y=a^xx dla a,x>0 e)

x

y x



 

 +

= 1

1 f) y ^x

1

2⁻

=

11. Obliczyć granicę funkcji

a) + +

+

−

→ arcsin( 1 lim 1

3

1 x

x

x b)

) 2 1 (

lim ₁ x

tg

x x

− π

→ c) lim_x→0+ x^x

d) ( )^{tg x}

x sinx ²

lim

2

→π e) lim_x→0^x1+sinx

12. Napisać równanie stycznej i normalnej do krzywej w punkcie x0

a) y= sinx x₀ =π b)

0 4

sin =π

=e x

y ^x c) y²−2x² =1 x₀ =2

13. Zbadać funkcje i sporządzić ich wykresy:

a) ₂

1 3

x

y= −x b) ²

x2

xe y= ⁻ c)

) 1 (

2 ²

3

x y x

= − d) y=x²e^−x

14. Wyznaczyć asymptoty krzywych:

a) x

x x

y= +sin b) y=xe^−x c)

4 1

5

= − x

y x d) 



 

 +

=x e x

y 1

ln

e) x

y x

1+ 2

= f) y=x+ x²−1

15. Zbadać wypukłość i punkty przegięcia dla f(x)=xlnx

16.Na podstawie twierdzenia Taylora i Maclaurina obliczyć z dokładnością do 0,01 a) sin18⁰ b) e c) ³ e d) cos10⁰ e) 84 z dokładnością do 0,001 f)

5

ln6 z dokładnością do 0,0001

17. Napisać 5 pierwszych wyrazów rozwinięcia ( szeregu) Maclaurina dla a) y=sin²x b) y=sin3x c) y= 1+x

Powodzenia J. Zalewski