Ćwiczenia AM II, 27.10.2017
Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - drużynowe Zadanie 1. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji f : R3→ R,
f(x, y, z) = (
ex2 +y2+z2−1 , jeśli (x, y, z) 6= (0, 0, 0), 0, jeśli (x, y, z) = (0, 0, 0).
Zadanie 2. Niech f będzie funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze A= {x ∈ R2: kxk2= 1} ∪ {x ∈ R2: kx − (1, 0)k1¬ 1}.
taką, że f(−1, 0) = −1, f(2, 0) = 17. Wykazać, ze istnieje punkt a ∈ A taki, że f(a) = 0. Czy istnieje funkcja f o podanych własnościach taka, że taki punkt a jest tylko jeden?
Zadanie 3. Niech f(x, y) = xy(x+y)x2+y2 , jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że pochodna kierunkowa fv′(0, 0) funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w kierunku dowolnego wektora v ∈ R2, v 6= (0, 0), ale f nie jest różniczkowalna w (0, 0).
Zadanie 4. Zbadać różniczkowalność funkcji f(x, y) = xp|x| + 4 − |y| w punkcie (0, 0).
Zadanie 5. Wyznaczyć gradient funkcji
f(x, y) = ecos(x2−y2)ln(1 + sin(tgx+ y 2 )) w punkcie (0, 0).
Zadanie 6. Czy funkcja f : R2\ {(0, 0)} → R,
f(x, y) = x2+ y2 p1 + x2+ y2− 1 jest jednostajnie ciągła?
